基于離線卡爾曼的目標高度估計算法研究

閆 龍，張成寶，班陽陽，姚 遠，王偉光

(中國船舶集團有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

預警、航管等雷達探測空中目標的大地高度對目標識別、飛機引導和多源信息融合等有至關重要的作用。常用的空中目標大地高度計算方法有等效地球半徑近似法[1]、地理坐標迭代法[2]和地理坐標轉換法[3]等：第1種方法考慮到大氣折射，一般采用固定折算比例，受氣象環境和高度變化影響較大；第2種方法逐步迭代計算緯度高度并控制誤差，迭代次數不確定。估算的大地高度存在隨機誤差，需要進行平滑濾波處理，通常采用α-β濾波法、交互多模型法[2]、卡爾曼濾波[4]、多項式擬合(Savitzky Golay， SG)濾波和慣性濾波等濾波算法：α-β濾波一般針對勻速模型，不適用于高速高機動目標；交互多模型法和卡爾曼濾波涉及到矩陣求逆等復雜運算，在多目標跟蹤中將影響數據處理的實時性；SG濾波采用滑窗卷積進行數據擬合，具有一定時延。

本文根據應用場景定性定量分析估算方法和平滑濾波算法特性，提出一種基于離線卡爾曼濾波和地理坐標轉換的雷達目標高度估計算法，數據處理結果表明該算法能明顯提高估算高度和精度，具有較強的適用性和魯棒性。

1 大地高度估算

等效地球半徑近似法是一種傳統的目標高度估算方法，考慮大氣折射后的地球等效半徑，并采用泰勒展開后的一階近似結果[5]。如圖1所示，假設雷達位置Or，探測空中目標T的量測為(rd,φd,θd)，其中rd、φd、

圖1 WGS-84坐標系示意圖

θd分別表示距離、方位、仰角，等效地球半徑近似法可表示為[1]

(1)

式中，Ht為目標高度；Hr為雷達高度；ae為大氣折射后的等效地球半徑。

地理坐標迭代法和地理坐標轉換法均采用坐標系平移旋轉等操作進行目標高度估計[6]。假設雷達Or和空中目標T在大地坐標系中的坐標分別為(Lr,Br,Hr)和(Lt,Bt,Ht)，在地心直角坐標系OgXgYgZg中的坐標分別為(xr,yr,zr)和(xt,yt,zt)。針對某一空間位置，大地坐標(x,y,z)和地心直角坐標(L,B,H)的關系可以表示為

(2)

首先，假設空中目標T在以雷達Or為中心的北東天直角坐標系OrXrYrZr中的坐標為(xd,yd,zd)，將極坐標下的量測(rd,φd,θd)轉換為直角坐標系量測(xd,yd,zd)：

(3)

直角空間坐標系原點不動，圍繞坐標軸OX、OY和OZ軸旋轉的基本旋轉矩陣Lx(φ)、Ly(φ)、Lz(φ)分別表示為

(4)

(5)

(6)

將坐標系OrXrYrZr通過圍繞OrXr軸旋轉φx=90°-Bt，圍繞OrZr旋轉φz=90°+Lt，平移(xr，yr，zr)，即可得到空中目標T在地心直角坐標系中的坐標：

(7)

式中，(xr，yr，zr)為雷達Or的地心直角坐標，將其大地坐標(Lr,Br,Hr)代入式(2)可得。

為了獲取空中目標的大地坐標(Lt,Bt,Ht)，將式(2)變形并代入(xt，yt，zt)可得

(8)

地理坐標轉換法是將式(8)結合三角函數轉換關系，推演獲取(Lt，Bt，Ht)，可表示為

(9)

2 平滑濾波

慣性濾波又稱低通濾波，假設k+1時刻量測為Z(k+1)，k時刻的濾波結果為Y(k)，則k+1時刻的濾波結果Y(k+1)表示為

Y(k+1)=μZ(k+1)+(1-μ)Y(k)

(10)

卡爾曼濾波器是所有線性濾波器中最好的濾波器，采用狀態變量法，將k時刻的估計狀態X(k|k)經過預測、疊加信息等過程更新到k+1時刻狀態X(k+1|k+1)。

(11)

式中，F=[1，T，T2/2]為狀態轉移矩陣；H=[1，0，0]為觀測矩陣；K(k+1)為疊加信息的增益。

研究計算過程發現卡爾曼濾波的K(k+1)與觀測值并無直接關系，是F、Q、H和R的函數，表示為

(12)

式中，Q為過程噪聲協方差；R為觀測噪聲協方差。

在Q和R確定的情況下，K(k+1)可以離線進行預處理緩存，形成離線卡爾曼濾波。在實際應用時，根據經驗設計Q和R的值，利用式(12)計算K序列并存儲在內存中，實時處理量測序列時根據跟蹤步數讀取K值，如圖2所示。這樣離線卡爾曼濾波既可以保留卡爾曼濾波的最優性，又可以保證系統實時性。

圖2 離線卡爾曼濾波示意圖

3 仿真與試驗

3.1 定高勻速目標

某民航飛機飛行高度約8 400 m，采用廣播式自動相關監視系統采集的GPS數據進行比對分析，分別用等效地球半徑近似法、地理坐標迭代法和地理坐標轉換法處理數據，效果如圖3所示。

圖3 3種方法估算高度效果圖

可以看出，等效地球半徑近似法由于粗略地采用等效半徑，且存在近似運算，估算結果存在較大誤差；地理坐標迭代法和地理坐標轉換法估算結果誤差較小，比較接近，但是地理坐標迭代法運算次數不可控制，不利于工程實現。3種方法估算高度誤差如表1所示。

表1 3種估算方法估算高度誤差統計表(單位：m)

由圖3可知，由于量測誤差導致各種方法估算的高度存在隨機誤差，采用慣性濾波和離線卡爾曼濾波分別對地理坐標轉換法得到的結果進行平滑濾波，效果如圖4所示。可以看出，離線卡爾曼濾波結果更平滑，慣性濾波結果平滑效果一般。

圖4 定高目標高度濾波效果圖

兩種濾波結果誤差見表2。可以看出，慣性濾波的均值誤差更大，離線卡爾曼濾波結果的均值誤差和均方根誤差較小，平滑效果優勢明顯。

表2 高度平滑結果誤差統計表(單位：m)

3.2 變加速爬升目標

仿真設置目標以5 m/s2加速爬升，再以-5 m/s2減速爬升，然后定高飛行，疊加均值為0、均方根為100 m的量測誤差，分別采用慣性濾波和離線卡爾曼濾波進行平滑，結果如圖5所示。可以看出，慣性濾波結果在加速爬升時，單純依賴于歷史數據，導致平滑數據失真，誤差較大；在加速爬升和勻速運動整個過程中，卡爾曼濾波結果均具有良好的平滑性和有效性。誤差統計結果見表3。

圖5 變加速爬升目標仿真效果圖

表3 高度平滑結果誤差統計表(單位：m)

根據理論分析，離線卡爾曼濾波和卡爾曼濾波效果一致。針對圖4，在Intel Core Duo i3，2 GHz CPU，1 G RAM內存PC機上分別采用卡爾曼濾波和離線卡爾曼濾波處理200組數據，100次蒙特卡羅試驗平均耗時見表4。可以看出，離線卡爾曼濾波處理時間是卡爾曼濾波的一半，有效提高了處理實時性。

表4 濾波時間對比表(單位：ms)

4 結束語

本文通過仿真試驗數據定性定量比較分析了等效地球半徑近似法、地理坐標迭代法和地理坐標轉換法，試驗結果表明地理坐標轉換法在轉換精度和工程實用性方面優于其他兩種。同時，對比分析慣性濾波、卡爾曼濾波和離線卡爾曼濾波，理論分析和試驗結果表明：除了卡爾曼濾波的最優濾波特性，離線卡爾曼濾波還具備良好的實時性。在此基礎上，設計并實現了一種基于離線卡爾曼的地理坐標轉換方法來估計空中目標大地高度，通過仿真試驗驗證了算法的有效性。該方法已應用于工程實踐。