基于循環相關的相干信源角度估計

金芳曉，孫元峰

(1． 中國電子科技集團公司第三十八研究所，合肥 230088；2． 汽車智能網聯與主動安全技術國家地方聯合工程研究中心，合肥 230088)

0 引 言

研究表明，許多人造和自然界中的信號都是由周期現象產生，雖然這些信號不是時間的周期過程，但其統計特征隨時間呈現周期性變化，被稱為廣義循環平穩過程[1]，已廣泛用于通信、雷達、無線電等領域。基于信號循環平穩特性的選擇性測向算法，如Cyclic MUSIC、SC-SSF、Cyclic ESPRIT等，由于其能夠提高信號檢測能力，在雷達和通信系統中得到了廣泛關注[2-4]。此外，循環平穩類DOA估計算法只要求在特定感興趣循環頻率下的信源數少于陣元數，因此，即使總信源數大于陣元數，算法也能正確估計出期待信號角度。也就是說，基于此類DOA估計算法可以提高陣列自由度，已成為陣列信號處理的研究熱點之一。

建立在子空間上的MUSIC、ESPRIT等DOA估計算法不適用于存在同頻干擾的情況，此外還有一個很大的局限性：在實際環境中多徑效應或人為設置干擾等導致的一種相干環境下的DOA估計問題。對于傳統超分辨算法，當接收信號存在相干性時，子空間特征值分解后無法得到與信號源對應的特征向量。這也是超分辨的重點研究對象之一。為了準確分辨相干信號，主要采用子空間擬合法、空間平滑法、奇異值分解法、矩陣分解法等幾種解決方法。改進的MUSIC算法[5-6]采用數學方法對數據協方差矩陣做變換處理，使其相關協方差矩陣秩個數與相干信號源個數相等，進而分辨相干信號的來波方向。為了進一步提高抗噪性，文獻[7]、[8]基于壓縮感知理論，提出了幾種稀疏重構的DOA估計算法，利用空域的稀疏特性重構空間譜，不受信號相干性的影響。這類算法普遍存在初始參數難以設置和計算量較大的問題，一定程度上限制了其應用。

針對同頻干擾和相干信號同時存在的復雜環境，本文利用信號的循環平穩特性解決相干信號DOA估計問題，提出一種基于循環相關的相干信源角度估計算法，并通過仿真實驗驗證了其有效性。

1 信號模型

1.1 循環相關函數

循環平穩過程是一類特殊的非平穩隨機過程，其統計函數隨時間呈現周期變化，廣泛應用于雷達、無線電、遙感等領域。依據期望信號和同頻干擾往往具有不同的循環頻率這一特點，實現對干擾信號的抑制。

對于一個具有二階周期特性的非平穩信號x(t)，其時變自相關函數可表示為[9]

為避免隨機性，令N趨于無窮，可以得到

(2)

進一步將rx(t,τ)展開成傅里葉級數的形式：

(3)

(4)

將式(2)代入式(4)，有

=〈x(t+τ/2)x*(t-τ/2)e-j2πmt/T0〉t

(5)

設信號x(t)包含多個互不可約的周期信號，則式(3)和式(5)可分別表示為

(6)

=〈x(t+τ/2)x*(t-τ/2)e-j2πεt〉t

(7)

1.2 陣列模型

假設K個遠場窄帶期待信號和干擾信號xk(t),k∈{1,…,K}，入射到均勻線陣上，其中Kε≤K個信號為期待信號，具有相同的循環頻率ε，且期待信號間存在相干性。均勻線陣由M個陣元組成，相鄰陣元間距D，則在t時刻陣列接收數據表示為

(8)

(9)

式中，υmk為第k個信號到達第m個陣元相對于參考陣元的時延，且υmk=(m-1)Dsinθk/c，θk為第k個信號的方向角，c為波速；nm(t)為第m個陣元在t時刻的噪聲，該噪聲為獨立源，且與信號統計獨立。

1.3 相干信源的信號模型

傳統的超分辨算法僅能估計非相關信號源，且隨信號源間相關性(或相關系數)的增加，其性能逐漸惡化，直至失效。在實際應用環境中，很可能存在多徑反射或人為設置導致的相干信號。對于兩個平穩信號s1(t)和s2(t)，其相關系數可以表示為

(10)

對于不同信號的關系可以做出如下定義：

(11)

因此，當兩個信號相干時，兩者的區別僅僅是差一個常復數。

2 相干信源角度估計算法研究

2.1 線性預測模型

從式(9)可以看出，第M個陣元的接收信號可看作是由其他M-1個陣元接收信號的相移組合而成，即

(12)

式中，βi=(i-1)Dsinθk/c；eM(t)為預測誤差。

基于式(12)求取yM(t)的循環相關函數，可得LP模型如下：

(13)

進一步，可將式(13)表示為向量形式：

(14)

式中，

在有限快拍數下，假設陣列接收信號y(t)的離散表示形式為y(n)，且陣列信號的快拍數為N，可以得到各陣元的離散循環相關函數：

m=1,…,M

(15)

式中，a=(ε/fs)N∈[0,fs]為數字循環頻率；e-jπ/Nal為校正因子；l=0,1,…,L-1為數字時延，且L≤N。

令l=0,1,…,L-1，從而得到信號模型的離散循環相關熵矩陣：

r=Φq

(16)

式中，

2.2 相干信號角度估計

由于矩陣q中包含角度信息，問題便轉為對矩陣q的估計問題。為此，求解式(15)矩陣Φ的協方差矩陣：

Σφ=ΦHΦ

(17)

由于接收到的不同方向陣列信號存在相干性，相干信號導致協方差矩陣的秩虧缺。為此，利用Toeplitz矩陣的性質[10]修正矩陣Σφ，可以得到Σφ的Toeplitz協方差矩陣估計值：

Σ=Σφ+IvΣφIv

(18)

再對該無偏估計Σ進行特征值分解，有

Σ=UΛUH

(19)

由于期待信號個數是Kε，所以取前Kε個特征值對式(16)中的矩陣q進行求解：

(20)

最終，所要求的期望信源的DOA估計值便為下面預測多項式(21)所對應的譜峰位置：

(21)

式中，w=ej2πεDsinθ/c。

算法的整體步驟如下：

步驟2：根據式(17)計算Φ的協方差矩陣Σφ；

步驟3：根據式(18)計算Σφ無偏估計矩陣Σ；

步驟5：根據式(20)計算目標矩陣q；

步驟6：利用式(21)求解空間譜P(θ)，進而采用譜峰搜索的方式求得期望信號DOA估計值。

3 仿 真

計算機仿真實驗采用10陣元均勻線陣，陣元間距為c/2ε，ε為入射信號的循環頻率。設定存在3個期待信號和1個同頻干擾，其中3個期待信號中有2個為遠場BPSK相干信號，且與第3個信號不相干；2個相干信號入射角度分別為19°和52°，另一個不相干信號入射角度為32°。陣列中還存在同載頻的AM干擾信號，其入射角為40°。信號的采樣頻率為fs=500 MHz，快拍數N=500，信噪比SNR=0 dB。

實驗中采用L1-SVD和SC-SSF兩種算法與本文算法進行對比，以檢測DOA估計的性能：L1-SVD算法采用壓縮感知重構思想對角度進行估計，對各個方向的入射信號進行稀疏重構，可較好地解決相干問題，對相干信號進行DOA估計，但該算法同樣對同頻干擾的影響也較大；SC-SSF對比算法采用循環頻率構建線性模型進行角度估計，可以抵抗同頻干擾的影響，但是不具有解相干的能力。

在上述同頻干擾和相干信號共存的條件下，實驗仿真結果如圖1所示。可以看出，L1-SVD算法雖然很好地解決了相干信號問題，但是受同頻干擾影響，在干擾的入射方向旁瓣抬高；本文算法和SC-SSF算法利用兩個期望信號與干擾源信號具有不同的循環頻率這一循環平穩特性，較好地抑制了同頻干擾信號，實現了對期待信號來波方向的估計； SC-SSF算法由于不具有解相干，無法估計相干信號的角度。綜合來看，本文算法較好地抑制了同頻干擾，且受相干信號影響較小，很好地估計出了3個期待信號的來波方向。

圖1 3種算法DOA估計空間譜對比圖

DOA估計中的信噪比是影響算法性能的重要因素。為此，本文進一步就信噪比對DOA估計的影響做了仿真實驗，信噪比-10～10 dB，其他條件不變。由于在上述仿真條件下，SC-SSF算法無法估計出具有相干性的2個信號，因此在信噪比實驗中，僅對比本文算法和L1-SVD算法的估計均方根誤差隨信噪比變化情況，獨立實驗100次，仿真結果如圖2所示。可以看出，L1-SVD算法受同頻干擾的影響，在低信噪比下DOA估計誤差較大。隨著信噪比的提高，2種算法的估計誤差均在減小，且在信噪比大于5 dB后，算法性能都趨于穩定。而且，L1-SVD算法由于采用稀疏重構，在高信噪比條件下估計誤差要略小于本文算法。

圖2 均方誤差隨信噪比變化

4 結束語

為抑制同頻干擾，本文基于陣列接收通道間的線性關系，構建信號接收循環相關矩陣模型，采用最小二乘法對參數進行估計。同時，將陣列接收循環相關協方差矩陣的無偏估計納入所提LP模型中，解決了循環平穩相干信號的高分辨角度估計問題。仿真實驗表明，在受同頻信號干擾且信噪比較低的情況下，本文算法性能更好，且受相干信號的影響較小。