基于三維溫度場快速重建的傳感器節點優化部署研究*

李 欣，龐成鑫*，李 康，張 軍，黃墀志，王東亮

(1.上海電力大學電子與信息工程學院，上海200090；2.國電南瑞南京控制系統有限公司，江蘇 南京210061)

3D 溫度場重建在各領域都具有十分重要的意義。 在物聯網背景下，工業場景中可通過在部分位置放置傳感器節點實時檢測、重建溫度場，進而達到提高工業設備的工作效率、延長設備工作壽命、節約能源、找到最優控制策略以及降低事故發生率的目的。

3D 溫度場是隨著時間演變的空間分布輪廓[1]。在文獻中，使用傳感器節點重建3D 溫度場的方法包括聲學測溫法[2]，插值法[3]等。 其中，基于Kriging 插值算法的三維溫度場重建技術是物聯網場景下溫度場監測的重要研究方向。 Kriging 插值算法根據被測空間內部署的少量傳感器節點溫度信息進行高精度的溫度場重建，具有重建時間短，重建精度高，重建成本低等優點。 理論上，所使用的傳感器節點越多，越能詳細重建三維溫度場。 但考慮其部署方案的成本以及三維溫度場重建誤差，希望能在保證重建精度的前提下，對傳感器節點進行優化部署，以得到最優的傳感器節點數目并將其部署于最佳位置。

傳感器的優化部署計算方法包括:非線性優化規劃方法[4]、序列法[5]、隨機類方法等。 非線性規劃方法適用于形狀規則的結構，若采取轉化離散變量為連續變量求解的方法則易陷于局部最優化。 序列法也往往只能得到局部最優解。 李凡等[6]通過ANSYS 建立有限元模型，通過分析相關參數進行模擬退火算法，得到有效的傳感器部署位置優化方案。田莉等[7]提出了一種自適應模擬退火遺傳算法的混合算法進行某復合材料的傳感器優化布置。 算例將目標函數、一定數目傳感器節點優化特性結合遺傳算法以及模擬退火算法，優化了傳感器節點的數目。 模擬退火算法[8]作為一種適合求解大規模組合優化問題的隨機搜索算法，能夠以一定概率接受惡化解，從而使算法免于陷入局部最優值，達到較好的尋優結果。

由此，本文提出一種傳感器節點部署優化方案:以Kriging 插值算法生成的三維溫度場重建誤差最小為目標函數，傳感器節點數目為限制條件，采用模擬退火算法優化傳感器節點的位置。 重建結果表明本文所使用傳感器節點優化部署方法的有效性:溫度場模型重建均方根誤差有明顯降低。

本文章節安排為:第一節將簡要介紹傳感器節點優化部署的原則；在第二節將建立使用模擬退火算法和克里金(Kriging)算法重建溫度場的方案；第三節結合仿真結果進行數據分析；第四節總結本文研究內容。

1 傳感器節點部署原理

1.1 數學模型

在有中心熱源的三維空間內部署傳感器節點以達到最優效果可以采用動態規劃求解。 動態規劃算法通常用于求解決策過程中具有某種最優性質的問題。 在這類問題中，可能會有許多可行解。 每一個解都對應于一個值，我們希望找到具有最優值的解。其基本思想是拆解問題為各最優子結構，從而避免重復計算。 而本文更符合動態規劃[9]的經典問題—背包問題。

將三維空間內部的傳感器節點最優部署歸結為背包0-1 規劃問題[10]，其只有一個傳感器節點數目的限制條件。 將整個三維空間劃分得到n個候選點，假設傳感器節點數目為m。 在部署矩陣(1×n)中，如果第i個位置為1，即將傳感器節點布置在第i個候選點上；如果第i個位置為0，即該候選點處不布置傳感器節點。 以傳感器節點數目為限制條件，其數學模型可表示為下式，求解xi使得目標函數X最小化。

1.2 Kriging 插值算法

Kriging 是一種適用的插值方法[11-12]。 基于變量理論和結構分析，Kriging 對有限區域的區域化變量進行最佳的相關性加權估計[13]，具有誤差小、方差小的顯著特征。

對于任意空間變量x，其響應值y(x)可以表達為:

其協方差矩陣為

式中:σ2是Z(x)的方差，R(xi，xj，θ)是以θ為參數的相關函數，表示樣本點xi與xj之間的空間關系。相關函數的選擇對模擬結果精度影響較大。 相關函數采用高斯函數表示:

式中:θ=(θ1，θ2，…，θn)T為相關函數參數，n為變量的維數。

一般的插值步驟是:①網格化，根據選擇的區域創建適合的網格。 ②計算坐標，計算每個網格點的水平坐標、垂直坐標。 ③擬合模型，Kriging 工具箱提供了具有0、1、2 階多項式的回歸模型，以及相關模型。

1.3 模擬退火算法

1982年，Kirkpatrick 等將退火思想引入組合優化領域，提出模擬退火算法。 其源于對固體退火過程的模擬，采用Metropolis 接受準則[14]，并用冷卻進度表的參數控制算法進程，使算法在多項式時間里給出一個近似優化解。

其算法流程如圖1 所示。

圖1 模擬退火算法流程圖

①編號所有測點，產生一組傳感器節點初始布點方案s0，并按下式計算出T0，則T=T0。

②令T=Ti進行Metropolis 抽樣。 計算轉移概率PT，判斷是否接受從當前解i到新解j的轉移。

③按Ti＋1=αTi方式實現退火。

④看是否滿足停止準則[6，15]，不滿足執行②；滿足則執行⑤。

⑤以si作為最優解輸出。

2 傳感器節點優化部署方案

2.1 方案描述

在工業場景中為實現某三維空間內部的實時溫度監測，得到精確的溫度場分布是十分重要的。 本文在Intel(R)Core(TM)i7-5500U CPU＠2.40 GHz、內存為8.0 GB、操作系統為Mircrosoft Windows 10 PC 機的同等條件下，通過所部署m個傳感器節點得到對應節點位置S(x，y，z)以及對應的溫度值T，使用Kriging插值算法進行整個三維空間的溫度場重建。 對比Flotherm 建模仿真，采用Kriging 算法重建溫度場仿真耗時縮短99%(圖2)，極大提升了三維溫度場重建速度，為后續通過少量關鍵傳感器節點快速準確重建區域內的三維溫度場研究奠定基礎。

圖2 CFD 與Kriging 算法仿真三維溫度場所耗時間

同時為達到縮減部署方案成本與最佳三維溫度場重建效果雙贏的目的，我們希望能在保證重建精度的前提下，對傳感器節點進行優化部署，以得到最優的傳感器節點數目并將其部署于最佳位置。

為初步取得較優重建效果，在模擬空間內部均勻放置合適數目的傳感器節點(26 個)。 利用Simcenter Flotherm 2019.2[16]軟件在空間范圍均勻建立26 個傳感器節點數據采集點，如圖3 所示。 三維空間為0.5 m×0.5 m×0.5 m 的正方體區域，單個熱源模型位于空間正中心處，設定熱源溫度恒為45 ℃。 對該三維模型進行網格劃分，各個方向網格均設置為25 個，設定空間的流體特性和邊界條件，并選用多重網格求解器進行求解，最終得出三維溫度場仿真數據。 仿真所得26 個傳感器節點的溫度數據(位置S(x，y，z)和溫度值T)，并通過Kriging 插值算法進行三維溫度場的快速重建，最終得到重建三維溫度場均勻分布26個傳感器節點的均方根誤差。

圖3 均勻布置26 個傳感器節點的三維空間模型

其次，運行得到優化部署方案的三維溫度場重建誤差。 如圖4 所示，構建0.5 m×0.5 m×0.5 m 的三維空間模型，其中心放置一個恒溫45 ℃的熱源；并在X底面，Y頂面的面中心各設置一個0.05 m×0.05 m 的打開空間。

圖4 三維空間及熱源示意圖

將整個三維空間劃分，得到25×25×25 的15625個候選點；采用模擬退火算法，設置限制條件為溫度傳感器節點個數26 個，得到1×15625 矩陣，提取元素為1 的對應坐標，根據目標函數最小即可得到三維空間內傳感器節點的優化部署方案，算法流程如圖5。

圖5 基于模擬退火算法的三維溫度場重建傳感器節點優化部署方案流程

2.2 實驗相關設定

①目標函數

最終的重建精度采用模擬溫度場的各點溫度與重建溫度場對應點溫度的均方根誤差來衡量。 該衡量標準的目標是確定傳感器節點較少個數與最優位置的最優部署方案，使得到的部分溫度場數據經過Kriging 插值后可以快速重建高精度的三維溫度場。

式中:ˉT為模擬溫度場的平均值，N為三維網格化總數，T(i，j，k)為模擬溫度場網格化后每個網格的溫度值，^T(i，j，k)為重建溫度場網格化后每個網格的溫度值。

②實驗參數

模擬退火算法能夠以概率收斂于全局最優解，其最大問題是需要選擇適當的冷卻進度表參數[17]，包括:初始溫度T0、馬爾可夫鏈長度ˉL、溫度衰減系數α、停止準則s。 算法的收斂程度主要取決于衰減函數和馬爾可夫鏈及停止準則的選擇。 衰減函數用于控制溫度的退火速度；在衰減參數α的衰減函數已選定的前提下，ˉL應選得在控制參數的每一取值上都能恢復準平衡；各種不同的停止準則對算法的性能和解的質量有很大影響。 若冷卻進度表全部參數選配得宜，則既不影響算法最終解的質量，又能明顯縮短CPU 時間。

本文中，根據多項式函數組合優化的實質以及實驗經驗[18]取ˉL=1000；經實驗，本文中T0的大小對結果影響較小，取為97；考慮到α、ˉL、T0的交互作用[19]，取α為0.95。 同時，對于插值算法Kriging[20]影響較大的因子θ[21-23]，取其為三維默認值[10，10，10]，預測模型選取為高斯模型、線性結構[24]。

3 模擬結果

3.1 傳感器節點位置優化

在傳感器節點部署方案的20 次實驗中，三維溫度場重建平均溫度相差十分小；經計算，20 次實驗的均方根誤差平均值為1.71%，較Flotherm 仿真所得均方根誤差平均降低4.42%。 整體SA-Kriging 算法模擬所得的三維溫度場較Kriging 算法插值所得三維溫度場在準確度上有較大提高。 從圖6 中看出，除個別異常點(圖中三角標注)外，其余實驗的均方根誤差均在平均值上下浮動，且所有數據均明顯小于均勻布置26 個傳感器節點重建三維溫度場所得到的均方根誤差平均值6.12%(圖7)。

圖7 采用均勻布置傳感器節點位置的三維溫度場重建均方根誤差

其中圖6 第4 次的三維溫度場重建均方根誤差最小，為1.5837%。 其具體部署方案三維空間圖為圖8。

圖6 采用模擬退火算法優化傳感器節點位置的三維溫度場重建均方根誤差

圖8 實驗中均方根誤差最小的傳感器節點部署方案三維空間圖

對比仿真與模擬所得的三維溫度場圖(圖9，圖10)，左側為Flotherm 仿真所得三維溫度場圖，右側為傳感器節點位置優化后的模擬三維溫度場圖。溫度區域分布類似，熱源點和開放空間定位準確，表明其所使用的模擬退火算法能夠有效地優化傳感器節點部署方案，而降低使用26 個傳感器節點重建三維溫度場的誤差，得到更準確的三維溫度場重建相關溫度數據。

圖9 溫度場三維切片

圖10 溫度場X 軸切片

3.2 傳感器節點個數優化

為了探究三維空間內部署的傳感器節點個數對三維溫度場重建精度的影響的一般規律，按照模擬退火算法的隨機部署方案，本文對傳感器節點總數為10 ～25 的不同部署方案的三維溫度場重建誤差進行分析。

圖11 為所得20 次實驗所得17 組數據的箱線圖[25]。 每個箱盒圖由五個數值點構成，由下到上依次為:最小觀察值(下邊緣)，25%分位數(下四分位數，樣本數據中所有數值由小到大排列后第25%的數字)，中位數(箱體中間線)，75%分位數(上四分位數，樣本數據中所有數值由小到大排列后第75%的數字。)，最大觀察值(上邊緣)。 除此外，超出最大或者最小觀察值的離群點數據，即異常值，以十字形式進行表示。

圖11 傳感器節點布置個數對三維溫度場重建均方根誤差的影響

可直觀得到如下結論:①異常值。 個別組數據出現過大或過小的異常值，出現過大異常值的次數更多。 與隨機選取的傳感器節點位置相關；②中位數，反應樣本數據的平均水平。 三維溫度場重建均方根誤差在使用10 個傳感器節點部署方案時處在平穩于0.018 的狀態，隨著傳感器節點數增加，均方根誤差先略有上升而后呈下降狀態。 在25 個傳感器節點處又趨于0.017 的平穩狀態；③分布區間，即箱子的上下限，在一定程度上反映了數據的波動程度。 部署方案中所使用的傳感器節點數目增多時，其數據波動程度也更大。 在超過20 個傳感器節點時，數據波動開始減小，并在25 個傳感器節點處取得數據波動較小且三維溫度場重建均方根誤差小的理想狀態。

根據箱線圖反饋結果，進行同等數目的傳感器節點均勻部署與采用算法優化部署對比，如表1 所示。

表1 相同數量傳感器節點統一部署重構的均方根誤差與算法優化部署對比

將同等實驗條件下采用GA 優化Kriging 參數Θ的三維溫度場重建參數與采用Flotherm 仿真、Kriging 插值、SA 優化傳感器數目及位置的三維溫度場重建參數進行對比，如表2 所示。 各算法仿真所得重建溫度場的平均溫度、最高溫度、最低溫度的數據較Flotherm 模擬數據誤差小，而最重要的重建指標均方根誤差:GA-Kriging 優化后較Kriging 插值降低22.88%，SA-Kriging 優化后較Kriging 插值降低72.06%。

表2 重建三維溫度場參數對比

4 總結

為得到較優的傳感器節點部署方案，快速、高精度地重建三維溫度場，本研究提出基于Kriging 算法與模擬退火算法的三維溫度場快速重建算法。 通過相關模擬以及定量分析，得到以下結論:

(1)當三維空間內部的傳感器節點數目為26時，均勻布置方案取得較優的重建效果，而采用模擬退火算法優化的傳感器節點器節點部署方案，在相等傳感器節點數目及條件下，能夠有效降低擁有中心恒溫熱源的三維溫度場重建誤差。

(2)三維溫度場的重建誤差隨傳感器節點數目的增加呈先上升后下降的趨勢，可在重建誤差與成本中尋找合適的最優平衡點。

(3)模擬退火算法與Kriging 插值算法相結合，可對三維空間內的傳感器節點數目與位置實現優化，得到精度與傳感器節點數目均優化的三維溫度場快速重建部署方案。

本次實驗數組較少，對于傳感器節點個數的優化效果不明顯，可后續增加實驗數組觀察傳感器節點個數優化結果。 由于實驗模型構建較為理想化，在后續研究中將進一步完善模型。