構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 驅(qū)動(dòng)深度學(xué)習(xí)

楊曉青

（南寧市第四十四中學(xué) 廣西 南寧 530219）

教材中的“習(xí)題”或“練習(xí)”只是知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，一般不需較高的思維過(guò)程，屬于“常規(guī)問(wèn)題”。而深度學(xué)習(xí)，是相較于淺層學(xué)習(xí)而言，它是指一種從表到里，從一般到特殊，從現(xiàn)象到本質(zhì)，再到事物內(nèi)核，從切身體驗(yàn)、個(gè)人感悟、高階思維，最后達(dá)深層理解、探索創(chuàng)新的一個(gè)過(guò)程。高階思維是高階能力的核心，主要指創(chuàng)新能力、問(wèn)題求解能力、決策力和批判性思維能力。挖掘?qū)W習(xí)者的高階思維能力，包括分析能力、評(píng)價(jià)能力和創(chuàng)造能力的教學(xué)實(shí)踐是我們教學(xué)中需要重點(diǎn)關(guān)注和探索的。初中數(shù)學(xué)階段中，有以下三種類(lèi)型的問(wèn)題需要學(xué)生具備較高的思維過(guò)程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

1.探究性問(wèn)題

需通過(guò)學(xué)生投入到探索與交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)一定探索、研究，深入了解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和真理的問(wèn)題。如對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系、圖形性質(zhì)及變化規(guī)律，數(shù)學(xué)公式、命題、定理等的探索發(fā)現(xiàn)等問(wèn)題。

著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”提出后，很多人對(duì)此很感興趣，紛紛進(jìn)行試驗(yàn)，但始終未能解決，直至大數(shù)學(xué)家歐拉的出現(xiàn)。他巧妙地把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成合理的“數(shù)學(xué)模型”，即把小島、河岸抽象成“點(diǎn)”，把橋抽象成“線(xiàn)”，接著運(yùn)用圖中的一筆畫(huà)定理為判斷準(zhǔn)則，很快地就判斷出要一次不重復(fù)走遍哥尼斯堡的7座橋是不可能的。歐拉的成功之處得益于他找到了問(wèn)題的關(guān)鍵，事物的本質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決了問(wèn)題。

在初中幾何證明中，如果我們能將一些具有一定條件或具有某種特征的基本圖形進(jìn)行歸納提煉，并賦予它們一個(gè)特定稱(chēng)謂“某某模型”，接著再深入了解這些幾何模型的基本條件和基本結(jié)論，那么對(duì)解較為復(fù)雜的幾何證明中必然能起到事半功倍的效果。特別是需要添加輔助線(xiàn)的幾何證明，很多學(xué)生不明白：為什么要添加輔助線(xiàn)？為什么要這樣子添加？其實(shí)啊，只有當(dāng)我們對(duì)模型有深刻的理解，能夠抓住題目中已知條件的切入點(diǎn)，聯(lián)想到相關(guān)聯(lián)的模型，從而去構(gòu)建模型，才能觸動(dòng)到我們添加輔助線(xiàn)的需求，最終實(shí)現(xiàn)突破解題難點(diǎn)。

2.非常規(guī)實(shí)際問(wèn)題

在數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”中，部分需將社會(huì)生活、生產(chǎn)活動(dòng)抽取出來(lái)，通過(guò)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)求解模型的方法，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)、設(shè)計(jì)、創(chuàng)新，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想或方法來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題。把實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)抽象轉(zhuǎn)化，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問(wèn)題的重要途徑。在這一過(guò)程中，強(qiáng)化和提升學(xué)生在理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、運(yùn)用反饋、構(gòu)建模型等學(xué)習(xí)能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維的過(guò)程。

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4米時(shí)，離水平線(xiàn)的高度為8米，求拋物線(xiàn)C2的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)3米時(shí)，求b的取值范圍．

這道題來(lái)自九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本P43數(shù)學(xué)問(wèn)題的改編。通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，以解決投物、射擊、噴灌等物體運(yùn)動(dòng)軌跡的某種規(guī)律，或者變量之間具有的某種函數(shù)關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，可透過(guò)實(shí)際問(wèn)題的背景，抓住本質(zhì)，挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系，抽象成函數(shù)的增減性或極值模型等。

3.開(kāi)放性問(wèn)題

答案不唯一或在設(shè)問(wèn)方式上要求學(xué)生從各層面、角度進(jìn)行探索，具有多種不同的解法、或者多種可能解答的問(wèn)題。如條件開(kāi)放、結(jié)論開(kāi)放等數(shù)學(xué)問(wèn)題。

3.1 條件開(kāi)放的類(lèi)型

此類(lèi)題目一般給定結(jié)論，缺少條件或者條件不全，需要學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，推導(dǎo)出必要的條件。常考題型有：添加一個(gè)條件__________________，使得某兩個(gè)三角形全等。

3.2 結(jié)論開(kāi)放的類(lèi)型

此類(lèi)題目一般給出問(wèn)題的已知條件，讓學(xué)生根據(jù)條件大膽地猜測(cè)所有可能的結(jié)論，最后小心地求證，最后得出正確的結(jié)論。常考題型有：說(shuō)明這些角或線(xiàn)段之間的關(guān)系（位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系），并說(shuō)明理由。

3.3 條件和結(jié)論都開(kāi)放的類(lèi)型

此類(lèi)題目一般沒(méi)有明確的條件和結(jié)論，學(xué)生需要深挖出幾個(gè)關(guān)系式之間具有什么內(nèi)在的聯(lián)系，將它們串聯(lián)起來(lái)后，嘗試得到什么樣的結(jié)論。這就非常考驗(yàn)學(xué)生對(duì)基本模型的深刻了解，包括它的基本圖形特征、基本條件、基本結(jié)論。常考題型有：有三個(gè)關(guān)系式，試用其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，接著再去證明其正確性，即我們常說(shuō)的，知二求一。在我們初中數(shù)學(xué)課本上的幾何命題中也有類(lèi)似這樣的推論：比如：等腰三角形的三線(xiàn)合一；圓的兩條弦、兩條弧、所對(duì)的圓心角之間的推論。

3.4 編制開(kāi)放型

此類(lèi)題目一般是僅僅提供一種問(wèn)題情境，或者只是告訴我們需要得到一種什么效果，至于已知條件、結(jié)論、解題思路、解題方法都沒(méi)有明確給出。這種類(lèi)型就更具有開(kāi)放性了。例如：在如圖所示的三個(gè)函數(shù)圖象中，有兩個(gè)函數(shù)圖象能近似地刻畫(huà)如下a，b。

兩個(gè)情境：

情境a：小紅離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)把鑰匙忘在家里，于是返回了家里找到了鑰匙再去學(xué)校；

情境b：小紅從家出發(fā)，走了一段路程后，為了趕時(shí)間，以更快的速度前進(jìn)。

（1）情境a，b所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別是___________、___________（填寫(xiě)序號(hào)）；

（2）請(qǐng)你為剩下的函數(shù)圖象寫(xiě)出一個(gè)適合的情境。

點(diǎn)評(píng)：主要考查學(xué)生的觀(guān)察圖形的能力，同時(shí)也考查了學(xué)生的表達(dá)敘述能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想。這道題還有別于其他解決實(shí)際問(wèn)題的題目，因?yàn)樗墙o出數(shù)學(xué)函數(shù)模型，讓學(xué)生從模型中找到數(shù)量之間的邏輯關(guān)系，并且能夠用文字形式嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的觀(guān)點(diǎn)。這種逆向思維的考查方式更能鍛煉學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

以上的三大類(lèi)型，都在告訴我們一個(gè)道理：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決以上的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是很關(guān)鍵的第一步，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)最害怕的一步。甚至有學(xué)生感覺(jué)建模高深莫測(cè)，實(shí)際上，很多學(xué)生大量刷題卻很少進(jìn)行收集整理、歸納總結(jié)、反思內(nèi)化，而構(gòu)建模型就是我們?cè)谡莆栈A(chǔ)知識(shí)、方法和思路基礎(chǔ)之上的提煉和升華，是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和積累。在日常學(xué)習(xí)課本中或者課外拓展學(xué)習(xí)中或者老師課上的補(bǔ)充，我們都或多或少地接觸到模型，老師也會(huì)潛移默化地灌輸模型思想。只是有些題目中包含的模型顯而易見(jiàn)且比較簡(jiǎn)單，學(xué)生基本上一眼就看出來(lái)，并且能更好地運(yùn)用。而有一些題目包含的模型比較隱蔽且復(fù)雜，甚至是一些殘缺圖形，需要添加輔助線(xiàn)的，在解決問(wèn)題時(shí)，很多學(xué)生就找不到構(gòu)建模型的切入點(diǎn)了，可是當(dāng)別人告知原理，梳理出模型時(shí)，又恍然大悟，似乎明白了。但是下一次遇到類(lèi)似的題目，仍然沒(méi)有任何頭緒，因此學(xué)生才會(huì)“忘型生怯”，無(wú)從下手。教學(xué)過(guò)程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和新能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力，是解決問(wèn)題的過(guò)程，而不是知識(shí)與結(jié)果。而這一過(guò)程，恰恰就是學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的過(guò)程。

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。下面我先以2019年南寧市的一道中考題為例，談?wù)勅绾卧诮＿^(guò)程中，驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

3.5 原題呈現(xiàn)

（2019年南寧市中考第25題）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A,B不重合），連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F。

圖1

（1）求證： △ABF≌△BCE;

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，連接DG，求證：DC=DG；

圖2

（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DG于點(diǎn)H，分別交AD,BF于點(diǎn)M,N, 求H的值。

圖3

3.6 解法分析

第（1）問(wèn)：考查較為熟悉的正方形中的十字模型——知垂直，證全等。

第（2）問(wèn)：要證線(xiàn)段相等，常用的方法有：證全等、等角對(duì)等邊、等腰三角形的三線(xiàn)合一、等面積法、勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)等。方法很多，反倒會(huì)讓學(xué)生無(wú)所下手，因此，抓住題目中已知條件的切入點(diǎn)——中點(diǎn)，進(jìn)行模型的聯(lián)想（添加輔助線(xiàn)，完善模型），是突破此題的關(guān)鍵。

下面介紹解決本題的幾種方法。

解法一：由已知條件點(diǎn)E為AB中點(diǎn)+平行，可聯(lián)想構(gòu)造“全等三角形”，再由直角三角形的性質(zhì)得出線(xiàn)段相等。

解法二：由已知條件點(diǎn)E為AB中點(diǎn)+直角，可聯(lián)想構(gòu)造“全等三角形”解決。

解法三：由已知條件點(diǎn)E為AB中點(diǎn)+平行，可聯(lián)想構(gòu)造“平行四邊形”，再由另一組的中點(diǎn)+平行，得出線(xiàn)段相等，從而得出三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)得出線(xiàn)段相等。

解法四：由已知條件點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，可聯(lián)想到線(xiàn)段成比例，再結(jié)合正方形的對(duì)邊平行，可聯(lián)想構(gòu)造“相似三角形”模型解決。

解法五：由已知條件點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，可聯(lián)想到線(xiàn)段成比例，通過(guò)計(jì)算得出線(xiàn)段相等，從而得出三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)得出線(xiàn)段相等。

解法六：運(yùn)用解析幾何法來(lái)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度。建立平面直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式來(lái)解決。需要說(shuō)明的是：兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用屬于超綱內(nèi)容，不到十萬(wàn)分火急的情況，盡量不要使用。

第（3）問(wèn)：延續(xù)第（2）問(wèn)的思路去解決就不難了。通過(guò)設(shè)未知數(shù)，然后盡可能多的表示出其他的線(xiàn)段，構(gòu)造相似三角形，建立等量關(guān)系，從而求出未知數(shù)。這種解題思路是比較常規(guī)的，但學(xué)生苦于計(jì)算，因?yàn)榉旁谶@個(gè)位置的計(jì)算難度較大。

3.7 解題反思

我認(rèn)為，可以從以下幾方面去關(guān)注。

（1）構(gòu)建“問(wèn)題式”的深度學(xué)習(xí)課堂

學(xué)生的思維活動(dòng)狹義地說(shuō)，就是在“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——提出問(wèn)題——分析問(wèn)題——解決問(wèn)題”的過(guò)程中得到發(fā)展。因此，我們的課堂教學(xué)要以學(xué)生的問(wèn)題的主線(xiàn)，以學(xué)科的問(wèn)題為本質(zhì)，以老師的問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)有層次、有內(nèi)在聯(lián)系、可啟發(fā)、可遷移、可拓展的一系列問(wèn)題來(lái)貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。在學(xué)生未能找到模型時(shí)，老師的穿針引線(xiàn)就很關(guān)鍵。老師提出的問(wèn)題必須精準(zhǔn)，能夠幫助學(xué)生快速地在眾多已知條件當(dāng)中找到切入點(diǎn)，以此打開(kāi)學(xué)生思維的大門(mén)。

（2）培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建模型的解題意識(shí)

學(xué)習(xí)從來(lái)都是“我要學(xué)”，而非“要我學(xué)”，因此老師在培養(yǎng)學(xué)生模型思想的時(shí)候，一定要注意，切莫直接灌輸，強(qiáng)加給學(xué)生。在平時(shí)教學(xué)中，老師要盡量讓學(xué)生主動(dòng)參與到探索模型的教學(xué)活動(dòng)，深刻理解并找到了關(guān)鍵條件，從而歸納總結(jié)出模型。在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅得到切身體驗(yàn)，還獲取了情感的升華，這有助于學(xué)生遇到圖形會(huì)主動(dòng)展開(kāi)豐富的模型聯(lián)想，使得添加輔助線(xiàn)就更具有方向性和目的性了。在構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們從不同的已知條件作為切入點(diǎn)，就有可能聯(lián)想到不同的模型，也就形成了多種的解題方法。

（3）多方位培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)

古人云“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，這句話(huà)也可以理解為：同一道題，當(dāng)我們研究的角度不一樣的時(shí)候，可能得到的解題方法就多種多樣。“一題多變、一題多解、多題歸一”都是培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)展的好方法以及歸納總結(jié)能力的好方式。“一題多變”培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，“多題一解”培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。我們要求學(xué)生解決問(wèn)題要想得深、想得寬、想得透，目的不是在于“多變、多解、歸一”，而是思維的“多層次”。只有多角度地挖掘題目已知條件，找到解題切入點(diǎn)，聯(lián)想到相關(guān)模型，并嘗試從不同的角度去尋找解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究精神、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。