排除法巧解2022年高考全國理綜乙卷第16題

吳藎萱 朱建廉

（1.南京市第一中學，江蘇 南京 210001；2.南京市金陵中學，江蘇 南京 210005）

基于物理習題的解答，通常有兩種不同的目標訴求：一是在考場環境下以“得分”為訴求的所謂“應試解答”，二是在教學情境中以“明理”為目標的所謂“教學解答”.而考場上針對業已被明示為單項選擇題的試題進行解答時，如能敏銳地抓住某些“特殊數值”而切入所謂“排除法”的簡單邏輯梳理，往往就可以巧妙地避開繁瑣的一般性理論推演，從而達成迅捷完成試題解答過程而輕松“得分”之目標.

本文以2022年高考全國理綜乙卷第16題的解答分析為例而明之.

例題.如圖1所示，固定于豎直平面內的光滑大圓環上套著一個小環.小環從大圓環頂端P 點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環的速率正比于

圖1

（A）它滑過的弧長.

（B）它下降的高度.

（C）它到P 點的距離.

（D）它與P 點連線掃過的面積.

針對上述試題，本文給出的所謂“從某種‘特殊數值’而切入，采用‘排除法’的定性或半定量的分析”之方法，可以確保在幾秒鐘內便能夠迅速完成試題的解答運作.相應的分析過程如下所述.

解析：如圖2所示，設質量為m 的小環從大圓環的頂端P 點處由靜止開始自由下滑了h 高度時獲得的速率為v，于是不難根據

圖2

表明，小環速率與它下落高度的算術平方根成正比而并非與下落高度成正比，選項（B）被排除.

如圖3 所示，設大環半徑為R，環心為O 點，質量為m 的小環下滑到與O點等高處時的速率為v1、下滑到大圓環底端時的速率為v2，由

圖3

小環從P 點開始下滑，在獲得速率v1和v2的過程中滑過的弧長分別為

表明，小環速率與滑過的弧長并不成正比，選項（A）被排除.

如圖4所示，仍設大環半徑為R，環心為O 點，質量為m 的小環下滑到與O點等高處時的速率為v1、下滑到大圓環底端時的速率為v2，則依然可得到v1與v2的比值仍如（1）式所給出.

圖4

但是，小環與大圓環頂點P 的連線在小環下滑過程中所掃過的面積卻分別為

上式表明，小環速率和小環與P 點連線掃過面積不成正比，選項（D）被排除.

既然上述分析理由極其充分地依次排除了選項（A）、（B）、（D），那么我們便可以在所謂“試題命制無誤”的前提下自信而做出如是之判斷，即此題應選（C）.

照理說，建立在上述分析基礎上而給出的解答已經是基于試題“應試解答”過程的終極性判斷.但是，考慮到許多教師對該試題涉及到的理論推演眾說紛紜，所以本文擬把針對該試題以“得分”為訴求的“應試解答”進一步推進到以“明理”為目標的“教學解答”之中而對試題每一個選項均從不失一般性的角度切入進行理性的推演，如斯之工作在達成所謂“明理”目標的同時，還可以反襯“排除法”解答之巧妙，其具體的分析如下.

解析.如圖5 所示，設大圓環半徑為R，大圓環圓心為O 點，質量為m 的小環下滑了h 高度時滑過的弧長為L、與P 點相距為d、與P 點連線掃過的面積為S、與O 點連線轉過的角度為θ，在如是之“不失一般性”的假設前提下，讓我們理性推演而導出試題4個選項分別提及的下述關系，即速率v 與弧長L 間的函數關系v=f1（L），速率v與高度h 間的函數關系v=f2（h），速率v與距離d 間的函數關系：v=f3（d），速率v 與面積S 間的函數關系v=f4（S）.

圖5

解析：由機械能守恒和圖5 所示的幾何關系可得

看上去，由（4）式給出的“S 表示為θ 的函數”而獲取其反函數后代入（3）式便可完成所謂“速率v與面積S 間函數關系”的構建，但是形如（4）式所示之超越函數的反函數無法給出顯性表達，所以我們只能做出如下判斷.

小環下滑獲得的速率與小環和P 的連線掃過面積間的一般性函數關系只能隱性存在而不能給出顯性表達，而這種隱性存在的函數顯然不可能是正比例函數.

在結束本文之際想強調指出：針對被明示為單項選擇題型的試題在考場的環境中作所謂以“得分”為目標訴求的“應試解答”時，從某種“特殊數值”切入到“排除法”所對應的邏輯梳理過程，從而避開不失一般性的繁雜理性推演，顯然是一種上佳的選擇.