由“鐵球下落”引發的思考

蔡 鉗

（華南師范大學附屬中學，廣東 廣州 510000）

在課堂教學和命題考試中，經常碰到“忽略空氣阻力”“忽略物體的大小”等字眼.這種將研究對象抽象成理想化模型的方法，多數教師和學生已經習以為常.在講“自由落體運動的規律”一課時，筆者設計了這樣一個情境：“一個鐵球從H=80 m高處自由下落，重力加速度g=10 m／s2，忽略空氣阻力.求小球落地前最后1 s下落的高度.”

這是一個簡單的問題，多數學生很順利解出答案：h=35 m.出乎意料地是，有一位學生站起來提問：“這么高的地方下落，空氣阻力能忽略嗎？重力加速度會不會隨高度變化？”

筆者對這個習慣性地作出回應：“由于鐵球密度足夠大，當鐵球較小時空氣阻力應該可以忽略.80 m 的高度不算太高，重力加速度的變化應該可以忽略.”學生聽完后疑惑地點點頭，雖然勉強說服了學生，筆者感覺這個答案顯然無法說服自己.

經過一番思索后，筆者認為有必要對這個問題深入探討.

1 空氣阻力的影響到底多大，什么情況下可以忽略？

基于學生的問題，假設一個半徑為r=1 cm 的鐵球從h=49 m 的高度靜止下落，重力加速度g=9.8 m／s2，求鐵球落地的速度.

顯然阻力在變，小球的加速度也在變，只能通過微分方程求解.

表1

顯然，上述數據分析回答了課堂上學生的問題，下落高度越小，空氣阻力造成的誤差影響就越小.當h=80 m 時，忽略空氣阻力計算落地速度，造成的誤差將達到11.23%.

基于上述表格數據分析，平時教學考試中如果對誤差要求不超過5%，那么當落地高度小于30 m 時，忽略空氣阻力，將小球下落過程視為自由落體運動模型是合理的.

當然，上述運算過程忽略了空氣阻力系數C隨速度的變化.查閱資料表明，空氣阻力系數在上述速度范圍內的值在0.40 和0.50之間，因此取C=0.45是比較合理的.如果要進一步修正，可以在不同高度下，C 取較準確的值進行運算.當然，如果鐵球下落過程中存在轉動，對運算結果也會有影響.

2 重力加速度g 的大小隨高度的變化可以忽略嗎？

上述分析表明，完全可以忽略重力加速度隨高度的變化，即在沒有空氣阻力作用的情況下，鐵球的運動是自由落體運動.

3 引發對類似問題的思考

受鐵球落地問題的啟發，有必要對一些經常“忽略不計”的問題重新審視，找到令人信服的“可忽略不計”的理由.

3.1 小球的電場力能忽略嗎？

例如，在課堂教學和命題考試中，帶電粒子在電場、磁場和重力場中受力的問題，通常都會有這樣的提示：“忽略重力”，通過前文的對比分析，難免有這樣的思考：重力真的可以忽略嗎？

對于微觀粒子，如質子、電子和α 粒子等在電場和重力場中運動，其重力可以忽略嗎？以電子為例：電子質量為9.1×10-31kg，電荷量為1.6×10-19C，假設它所處的空間存在電場強度E=10 N／C的電場和g=9.8 N／kg的重力場.電子受到的電場力Fe=qE=1.6×10-18N，重力為G=mg=8.9×10-30kg.這兩個數據在數量級上相差1012，電場力完全可以忽略.反觀該問題：在常見的微觀粒子中，電子質量是較小的存在，而10 N／C的電場不大，即使電場微弱到10-5N／C（幾乎不存在），電場力的計算值與重力的數量級仍然相差106.由此可見，微觀粒子在電場中受力的問題，重力完全可以忽略.

對于宏觀粒子，如在電場和重力場中的帶電小球，其重力和電場力哪一個可以忽略？賦予小球這些數據：半徑r=1 cm，密度ρ=4.5×103kg／m3，重力加速度g=9.8 N／kg，電場強度大小為E=1000 N／C，小球電荷量為q=10-8C.

第1個問題容易回答：由上述計算可知，當電場強度為E=10000 N／C時，電場力與重力屬于同階數量，不能忽略；進一步增大電場強度到一定大小時，小球的重力可以忽略.

綜上所述，對于直徑大小為厘米級別的金屬球，在重力場和電場強度低于104N／C級別的電場中，在小球帶電量合理的情況下，忽略電場力對小球運動的影響是可取的.

3.2 摩擦力可以忽略嗎？

“忽略摩擦力”是常見的理想化處理試題的方式，仔細推敲，在一些具體的情境中忽略摩擦力是否合理？例如，2021 年廣東高考物理試題第13題設計了這樣一個情境：如圖1所示，水平放置的算盤中有甲、乙兩顆算珠未在歸零位置，甲靠邊框b，甲、乙相隔s1=3.5×10-2m，乙與邊框a相隔s2=2.0×10-2m，算珠與導桿間的動摩擦因數μ=0.1.現用手指將甲以0.4 m／s的初速度撥出，甲、乙碰撞后甲的速度大小為0.1 m／s，方向不變，碰撞時間極短且不計，重力加速度g取10 m／s2.

圖1

算珠的厚度約為d=1.2 cm，根據題目的設計意圖：碰撞時間極短而忽略，由此得碰撞過程內力遠大于摩擦力，因而認為系統動量守恒.經過計算，在碰前的初速度v1=0.3 m／s、碰后v2=0.1 m／s，這么小的速度下，碰撞時間能夠忽略嗎？一個算珠大概m=0.01 kg，題目假設算珠發生非彈性碰撞，下面計算碰撞發生的時間.

圖2

從物理觀念的角度反思上述運算過程：在這么狹小的空間，給予算珠如此小的速度，算珠的碰撞時間相對于這個空間和速度大小應該不能忽略.因此，該高考題忽略摩擦力對碰撞過程的影響，有待商榷.

4 總結與反思

綜上所述，在課堂教學和命題考試中，應該基于科學的理論依據對所研究的物理過程進行理想化處理，不能將一些不能忽視的因素“忽略不計”.這樣可能會導致學生今后處理問題盲目地將物理過程理想化處理，而對其理論依據不假思索.