線性代數(shù)教學(xué)案例設(shè)計(jì)
——向量組線性相關(guān)性

劉建豐，李秀展

(山東華宇工學(xué)院，山東 德州 253000)

隨著現(xiàn)代科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，線性代數(shù)這門(mén)數(shù)學(xué)類(lèi)基礎(chǔ)專(zhuān)業(yè)課程在多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。相較于高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)的具體內(nèi)容更加抽象化，新含義與定理比較多，非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)較為困難。在課堂教學(xué)中，要引入恰當(dāng)?shù)膶?shí)例，通過(guò)構(gòu)建難題分析模型來(lái)提升學(xué)生思考的專(zhuān)注度與深度，這是提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果的有效方法。

1 線性代數(shù)教學(xué)存在的問(wèn)題

(1)學(xué)生方面。與學(xué)生同時(shí)期學(xué)習(xí)的專(zhuān)業(yè)課程相比，線性代數(shù)的知識(shí)理解更為困難，難以用具體的圖像來(lái)直觀展示其相關(guān)概念性質(zhì)，學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的重要性認(rèn)識(shí)不夠，難以提高學(xué)習(xí)積極性；(2)教師方面。教師在教學(xué)過(guò)程中主要關(guān)注線性代數(shù)知識(shí)的理論性和系統(tǒng)性，缺乏知識(shí)實(shí)踐性和應(yīng)用性方面的拓展，難以與學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)科進(jìn)行互動(dòng)。

2 線性代數(shù)教學(xué)中使用教學(xué)案例的必要性

教學(xué)案例有現(xiàn)實(shí)意義，較為典型，能夠給學(xué)生帶來(lái)一定啟發(fā)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)行為習(xí)慣，擅長(zhǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生的刻苦鉆研精神、項(xiàng)目合作意識(shí)及科學(xué)文化素質(zhì)。

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

A.教學(xué)背景。向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中求線性方程組的重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)引入教學(xué)案例啟發(fā)學(xué)生思考，引出線性表示、線性相關(guān)等概念，讓學(xué)生能夠應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

B.教學(xué)內(nèi)容。向量組的線性組合與線性表示的概念、向量組的線性相關(guān)性與線性無(wú)關(guān)性、極大線性無(wú)關(guān)組的概念、用向量組的秩判斷向量組線性相關(guān)性的方法。

C.教學(xué)重難點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)：向量組線性相關(guān)性的定義、判斷向量組線性相關(guān)性的兩種方法、向量組線性相關(guān)性的相關(guān)結(jié)論；教學(xué)難點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性的判定。

D.教學(xué)理念。用問(wèn)題吸引學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，問(wèn)題設(shè)計(jì)要緊緊圍繞向量的線性相關(guān)性這一重要知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)生活中的例子引入知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律并掌握其應(yīng)用方法。

E.教學(xué)方式。使用“難題情境—查看反思—形成數(shù)學(xué)概念—應(yīng)用實(shí)例”的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。提出問(wèn)題：剖析問(wèn)題，創(chuàng)造問(wèn)題情境；查看反思：從學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，提出相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，逐步吸引學(xué)生進(jìn)行觀察、剖析、思考，使學(xué)生在剖析難題的過(guò)程中了解數(shù)學(xué)，探究數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)現(xiàn)象與基本規(guī)律；形成數(shù)學(xué)概念：由淺入深，讓學(xué)生用原有的向量運(yùn)算方式理解線性相關(guān)性，用相對(duì)簡(jiǎn)單的例子幫助學(xué)生形成具體的數(shù)學(xué)概念。

4 案例分析

A.引入案例。問(wèn)題引入：某藥廠使用9類(lèi)藥品，編號(hào)分別為A～I(xiàn)，按如下比例配制成了7種新的成品藥，如表1所示。

表1 成品藥配置 (單位：g)Tab.1 Finished drug configuration (unit:g)

試解答：(1)某廠家準(zhǔn)備要購(gòu)買(mǎi)成品藥，但藥廠的3號(hào)成藥和6號(hào)成藥已經(jīng)賣(mài)完，請(qǐng)問(wèn)能否用其他成品藥配制出這兩種藥品？(2)某醫(yī)院想配制3種新的特效藥，表2給出了3種新的特效藥的成分含量，請(qǐng)問(wèn)如何配置？

表2 3種新藥成分含量 (單位：g)Tab.2 3 kinds of composition content of new drug (unit:g)

利用線性相關(guān)性的概念進(jìn)一步求出3種新藥的配制方法：可假設(shè)3種新藥分別為v1,v2,v3，分別列得線性方程組求解，最終可得v1=m1+3m2+2m4，v2=3m1+4m2+2m4+m7，即可得到v1,v2兩種新藥的配制方法，而v3無(wú)法用mi線性表示，即無(wú)法用原藥品配置3號(hào)新藥。

C.典型例題講解，練習(xí)鞏固。例：討論向量組

解：設(shè)存在不全為0的數(shù)字x1,x2,x3,x4使得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，即

0×α1+(-2)×α2+0×α3+1×α4=0

存在不全為0的數(shù)字x1,x2,x3,x4使得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，即向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)。

總結(jié)性質(zhì)：從向量組線性相關(guān)性的概念推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)性質(zhì)。在推導(dǎo)的過(guò)程中，使學(xué)生進(jìn)一步理解向量組線性相關(guān)性的含義。

D.掌握算法，拓展延伸。在案例中能否配制6號(hào)成品藥的問(wèn)題與3號(hào)、6號(hào)成品藥能否同時(shí)配制成功的問(wèn)題可拓展為向量組的線性相關(guān)性在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用實(shí)例。

E.總結(jié)方法，深化理解。結(jié)合所講習(xí)題活學(xué)活用，進(jìn)行小結(jié)，掌握解題的辦法及基本規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)判別方程組線性相關(guān)的辦法。

F.課后思考。提出思考題：(1)若由向量組組成系數(shù)矩陣構(gòu)成的齊次線性方程組無(wú)解，則該向量組是否線性相關(guān)？(2)若存在一向量組線性無(wú)關(guān)，在添加部分向量組后是否會(huì)改變線性相關(guān)性？考慮向量組是否線性相關(guān)是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)向量組線性相關(guān)性定義的理解，而添加向量組判斷線性相關(guān)性則是為下一個(gè)內(nèi)容極大無(wú)關(guān)組做鋪墊，起到承上啟下的作用。

5 特色與創(chuàng)新

以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)和互動(dòng)式學(xué)習(xí)為教學(xué)形式，以學(xué)生為活動(dòng)主體，課堂教學(xué)過(guò)程由易到難，簡(jiǎn)單明了地講解了深層次的課程知識(shí)。從生活中的常見(jiàn)案例和目前的時(shí)代背景出發(fā)，啟示學(xué)生夢(mèng)想與堅(jiān)持是密不可分的，要學(xué)習(xí)持之以恒、團(tuán)結(jié)協(xié)作、永不言棄的精神，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和內(nèi)在動(dòng)力。