數形結合，巧解數學難題

章茹霞

【摘要】通過探討數形結合在不同題型難題中的應用可以看到數形結合能夠達到化難為易，迅速破題的良好效果.為更好的提高運用數形結合解答初中數學難題的能力，一方面，注重與數形結合相關知識的總結，認真分析初中數學哪些知識點與數形結合思想有關聯，提高數形結合思想應用意識.另一方面，做好經典例題的學習，認真揣摩相關難題的解題思路，同時積極開展專題訓練活動，積累豐富的數形結合思想應用經驗，不斷提升應用能力與應用技巧.

【關鍵詞】數形結合;初中數學;解題思路

1 用于解答幾何圖形難題

例1 如圖1，平面直角坐標系中，點A、B分別在原點兩側，以AB為邊向上作正方形ABCD，四邊形OEFG是其內接正方形，若直線OF的表達式為y=2x，則正方形ABCD和正方形OEFG的面積之比為（）.

（A）4：3.（B）8：5.（C）16：9.（D）9：4.

解 由圖可知，∠GBO=∠FGO=90°，所以∠GOB+∠OGB=90°，∠FGC+∠OGB=90°，所以∠GOB=∠FGC，因為∠C=90°，OG=FG，所以△GOB≌△FGC，所以FC=BG，CG=OB，設OB=x，GB=y，則HF=OB-FC=x-y，CB=x+y，F點的坐標為（x-y，x+y），因為點F在y=2x上，所以x+y=2x-2y，所以x=3y，正方形ABCD的面積為CB2=16y2，正方形OEFG的面積為OG2=OB2+BG2=10y2，則面積之比為16y210y2=85，選擇B項.

2 用于解答反比例函數難題

例2 如圖2，矩形ABCD的邊BC在x軸上，AB=4，AD=5，反比例函數圖象y=kx和矩形交于A、E兩點，沿AE折疊△ADE，點D恰好落在BC上的F點，則k的值為（）

（A）10.（B）11.（C）12.（D）13.

解 由題意可知△ADE≌△AFE，AD=AF，DE=EF，因為AB=4，AD=5，在直角△ABF中由勾股定理可得AB2+BF2=AF2所以BF=AF2-AB23，則FC=5-3=2，設EC=x，則EF=4-x，在直角△EFC中，由勾股定理可得EF2=FC2+EC2，即（4-x）2=22+x2，解得x=1.5，設點A（m，4），則E（m+5，1.5），將其代入y=kx，得到4m=1.5×（m+5），解得m=3，即A（3，4），則k=3×4=12，選擇（C）項.

3 用于解答二次函數難題

例3 將二次函數圖象y=x2-5x-6在x軸上方圖象沿著x軸翻折到x軸下方，圖象其與部分不變，得到一個新圖象，若直線y=2x+b和這個新圖象有4個公共點，則b的取值范圍是（）

（A）-734

（B）-734

（C）-12

（D）-694

解 二次函數圖象y=x2-5x-6在x軸上方圖象沿著x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的二次函數解析式為-y=x2-5x-6，即，y=-x2+5x+6，在同一平面直角坐標系中畫出對應二次函數以及直線圖象，如圖3所示.由圖可知直線y=2x+b在兩條直線之間移動可滿足題意.

當其過（6，0）點時，b=-12;當直線y=2x+b和二次函數相切時，將y=x2-5x-6，y=2x+b聯立整理得到：x2-7x-6-b=0，Δ=49-4×（-6-b）=0，解得b=-734，則滿足題意的b的取值范圍為-734

4 用于解答圓相關的難題

例4 如圖4，△ABC內接于圓O，BC=12，∠A=60°，點D為弧BC上一動點，BE⊥直線OD于點E，當點D從B沿弧BC運動到點C時，點E繞過的路徑長為（）

（A）83π3. （B）8π3.

（C）43π3.（D）4π3.

解 如圖5，連接OB，設點M為OB的中點，連接ME，作OH⊥BC于點H.因為OD⊥BE，則∠OEB=90°，則點E在以OB為直徑的圓上.

當點D運動到點C位置時，因為∠A=60°，所以∠BOC=120°，所以∠BOE=60°，因為MO=ME，所以∠BME=120°，因為BC=12，OB=OC，所以BH=6，∠HOB=60°，所以sin∠HOB=BHOB，則OB=43，點E運動軌跡所對的圓心角為360°-120°=240°，則路徑長度為23×43π=83π3，選擇（A）項.