以一道經典例題談初中數學渡河問題

徐峰

【摘要】數學知識與生活聯系十分緊密，在現實生活中很多知識也運用數學知識來求解，尤其是初中數學，與生活更貼近，求解河流的寬度問題是初中數學中十分經典的問題，本篇文章接下來將通過一道例題幫助同學們掌握求解的不同方法，拓展同學們的思維，培養同學們的知識遷移能力.

【關鍵詞】初中數學;拓展思維;渡河問題

例1 如圖1所示，一條河流兩端有A，B兩人欲渡河，試如何通過A，B兩人位置求河床的距離？

很明顯，當河面的寬度較大時，不能直接測量，此時可以結合圖象利用三角形的知識求解.

1 利用全等三角形

用此方法解題的主要思路為：

①構造三角形，以河面寬度作為三角形的一邊，并以該三角形的一頂點為起點構造一個新的三角形;

②證明兩三角形全等，結合題意，利用證明三角形全等的條件證明兩個三角形全等，繼而解得河面的寬度.

解法1 如圖2所示，在B點所在的河岸選兩點O、C，使得C、O、B為同一直線上的三點，且OC=OB，

在C點處作線段CM∥AB，然后在邊CM上找出一個點D，使得D、O、A三點在同一條直線上，

即滿足判定定理“角角邊”，

所以△ABO≌△DCO，

因此，只需要測量出CD的距離即可求得河面寬度AB的值.

2 利用相似三角形

用此方法解題的主要思路為：

①構造相似三角形，根據題意，以河面寬度作為兩個相似三角形的一條邊，其中河面寬度恰好為一個三角形的一整條邊;

②求解河面寬度，利用相似三角形原理，根據相似三角形之間存在的比例關系求解河面寬度.

解法2 如圖3所示，在AB所在的直線上取一點D，要求DB的距離適宜，不能太長或者太短，

以A為頂點，找C、E兩點，令A、C、E三個點在同一條直線上，且滿足BC∥DE，

所以△ABC∽△ADE，

所以ABAD=BCDE，

所以ABAB+BD=BCDE，

因此，只需要分別測量出BC、DE、BD的長度，即可求解出河面的寬度.

3 利用三角函數

用此方法解題的主要思路為：

①構造直角三角形，根據題意，以河面的一點構成直角，以河面寬度作為三角形的直角邊構造直角三角形;

②計算求解，通過測量另一直角邊的長度和對應的角的度數，利用該角的正切值等于對應的直角邊長度除以另一直角邊的長度，計算求得河面寬度.

解法3 如圖4所示，假定線段AB為三角形的一條直角邊，以點B作為直角頂點，作Rt△ABC，

由圖象可知，測量出線段BC的長度和∠ACB的度數，進而確定∠ACB的正切值，

因為tanC=ABBC

所以AB=BC·tanC，

因此，只需測量BC的長度和∠ACB的度數即可求解河面的寬度.

4 利用函數圖象

用此方法解題的主要思路為：

①建立直角坐標系，根據題設條件建立直角坐標系，并將涉及到的點與坐標原點相連，得到其橫坐標或縱坐標值;

②確定點的坐標，結合題意表示出相關點的坐標;

③求解河面寬度，結合題意，利用直線y=kx解得所求線段的兩端點坐標，其縱坐標或橫坐標之差即為所求的河面寬度.

解法4 如圖5所示，過點A、B、O分別作直線OA、OB，

以O點作為坐標原點，平行于AB的直線作y軸，垂直與AB的直線做x軸.

此時，直線AB與x軸相較于D點，

此時可得A、B兩點的橫坐標，

在直線OA、OB上各取一個點M、N，并表示出此兩點的坐標，

利用直線方程y=kx解得分別直線OA、OB的解析式，

因為已知A、B兩點的橫坐標，將其代入上述直線方程，

所以解得A、B兩點的坐標

xA、yA、xB、yB，

所以d=yA-yB，

d=yA-yB即為所求的河面的寬度.

求解河面的寬度問題是初中數學中一個經久不衰的問題，當河面的寬度較大不能直接測量時，就需要同學們轉換思維，利用所學的相似三角形，全等三角形，以及三角函數等知識靈活求解，利用函數圖象也是初中解題的常用方法之一，同學們要靈活選擇，拓展自己的思維.