剖析武漢中考題,揭秘二次函數最值求法

李桂艷

【摘要】武漢中考數學題第24題是比較典型的二次函數最值問題，在初中階段數學學科的學習過程中，二次函數是數學學習的一大重點和難點，考試題型也涉及十分廣泛，不管是選擇題還是填空題，還是最后的壓軸題計算題都有二次函數題型，因此這部分內容所占的分值比例也比較大，數學考試要想拿高分，就一定要攻克這類題型.而關于二次函數題型的突破，不是胡亂做題就可以的，這樣不僅浪費學習的時間，也達不到想要的效果，做題訓練提升一定要典型集中，考試怎么考，考哪種題型，重難點是什么，搞清楚這些再去針對性的練題提升，才能夠輕松攻克難題.本文通過不同的解法詳解闡述二次函數最值得求法，以供參考.

【關鍵詞】二次函數;初中數學;中考解題

原題 如圖1，直線 l： y=3x-3 分別與 x 軸， y 軸交于點 A，點 B，拋物線 y=ax2-2ax+a-4 過 點 B .

（1）求拋物線的解析式;

（2）點 C 是第四象限拋物線上一動點，連接 AC，BC.

①當△ABC 的面積最大時，求點 C 的坐標及△ABC 面積的最大值;

②在①的條件下，將直線 l 繞著點 A 逆時針方向旋轉到直線 l′， l′與線段BC 交于點 D，設點 B，點 C 到 l′的距離分別為d1 和d2，求d1 + d2的最大值，求直線l旋轉的角度.

第（1） 問： 求出點 B 的坐標（0，-3），再代入列方程得 a=1，最后求出解析式.

解：令 x=0，y=-3;令 y=0，x=1，

所以 A點坐標為（1，0），B兩點坐標為（0，-3）.

又因拋物線 y=ax2 -2ax+a-4 過點 B.

所以a-4=-3，

解得a=1，

所以拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

第（2）問：這類題型：主要有 3 種常見解法.平行切線法、鉛垂法、割補法

解法1 平行切線法

如圖2，過點C作CF∥AB，交x軸于點F.

依題意有：當直線CF與拋物線有唯一公共點時，△ABC的面積最大.

設直線CF的解析式為y=3x+b，

則聯立直線CF與拋物線的解析式所得的方程組y=3x+by=x2-2x-3只有一組解.

即方程x2-5x-（3+b）=0有兩個相等實數根.

所以Δ=b2-4ac=25+4（3+b）=0，

解得b=-374.

所以直線CF的解析式為y=3x-374.

令y=0，則x=3712所以F點的坐標為（3712，0）;

將b=-374代入上方程組，解得

x=52y=-74.

所以C點的坐標（52，-74）.

因為CF∥AB;

所以S△ABC=S△ABF=12AFⅹOB=12×3712-1×3=258.

解法2 鉛垂法

如圖3，過點C作CN∥y軸，交直線l于點N.

需要分類討論

N 點坐標（x，3x-3），C 點坐標（x，x2 -2x-3）

第一種情況：點N在線段BA的延長線上，如圖3.

S△ABC=S△NBC-S△NAC （x>1）

=12 （- x2 + 5x） x-x-1

=-12x2+52x

=-12x-522+258≤258，

所以當 x=52 時，S△ABC有最大值為258.

NC=3x-3- （x2 -2x-3）=-x2+5x.

第二種情況：點N在線段BN上，如圖4.

S△ABC=S△NBC+S△NAC （0<x≤1）

=12 （- x2 + 5x） x+1-x

=-12x2+52x

=-12x-522+258.

當 x =1 時，S△ABC有最大值2.

綜上S△ABC最大值為258.

解法3 割補法

（種類較多，最簡單的是連接AC）連接 OC，如圖5.

S△ABC=S△OAC+S△OBC-S△AOB

=12×1×[-x2 - 2x - 3]+12×3x-12×1×3=-12x2+52x，

因為a =-12 <0所以S△ABC有最大值;

即當 x=-522×-12=52時，

S△ABC =-5224×-12 =258.

S△ABC有最大值258.

（2）②如圖6作CN ⊥AD，BM⊥AD，

則 BM= d1 ，CN=d2，

d1+d2=BM+CN≤BD+CD=BC

當l′⊥BC時，d1+d2最大.

解法1

因為A（1，0），B（0，-3），C（52，-74），

所以OA=1，OB=3，

則AB=10，

過點C作CE⊥y軸于點E，如圖7，

所以CE=52，BE=OB-OE=54，

所以BC=BE2+CE2=554，

所以S△ABC=12×BC×AD

=12×554×AD=258.

解得 AD=5.

所以BD=AB2-AD2=5=AD，

所以∠BAD=∠ABD=45°，

所以當d1+d2最大時，

直線l旋轉的角度為45°.

解法2

因為點D在直線BC：y=12x-3上.

所以D（m，12m-3）.

根據勾股定理得： AB=10.

構造 K 型圖：

AF2 + FD2=AD2，BE2+DE2=BD2，

而AB2=AD2+BD2

=AF2+FD2+DE2+BE2，

所以102= m-12+-12m-32+m2+12m-3--32.

整理得52m2-5m=0.

解得m=0（不合題意，舍之）、m=2，

所以D（2，-2），AF=1，DE=1.

從而K型圖是全等三角形，

得AD=BD，△ABD是等腰直角三角形;

故直線l旋轉的角度∠BAD=45°.