搭思維支架 構數學概念

李鑫 文斌

【摘 要】 數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的基礎，是數學核心素養的重要構成要素.科學合理的數學概念生成過程是發展學生數學抽象最好時機之一.基于有效教學的過程屬性，以思維型課堂教學理論為指導，構建 以“引發沖突-生成需要-自主建構-形成概念-類化規則”為核心的數學概念教學模式，旨在幫助學生順利構建數學概念，提升數學抽象能力.

【關鍵詞】 數學抽象;支架式教學;思維階梯

數學抽象是數學核心素養的重要構成要素，學生的抽象思維發展影響其理性思維發展與邏輯推理能力水平.普通高中課程標準（2017年版2020年修訂，以下簡稱新課標）指出“數學抽象是從數量或圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，并用數學語言予以表征……數學抽象主要表現之一為獲得數學概念和規則[1].”這既是對數學抽象之重要性的肯定，又為數學教學培養學生的抽象能力指明方向.然而，高中數學繁、雜、難的特征使得數學課堂過于追求高分數結果的落實，忽視了學生抽象能力的發展，特別是學生數學概念的生成過程被虛化.而數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，是培養學生數學抽象的最好時機之一.因此，探索如何提升數學概念教學質量，踐行注重概念生成過程和學生抽象能力發展的教學道路，是數學教育中值得關注的問題.

1 有效教學的過程性闡釋

杜威在其教育無目的論中提到“教育的過程，在它自身以外沒有目的，它就是自己的目的”，這是一種實在的教育過程論[2].也就是說，離開了教育過程，就無法存在真實意義上的教育目的，過程是教育活動的存在方式和展開形式，故過程性是教育的基本屬性.教學作為教育的主要手段，其是教師的教和學生的學所構成的人類特有的人才培養活動，故教學也是一種人為的過程性存在[3].要知道教學結果“是什么”，或要實現“是什么”的目標，就必須歷經結果是“如何生成的”的過程.

數學概念是人腦對現實對象數量關系和空間形式的本質特征的思維形式，是構成數學知識體系的“細胞”，是建立數學理論的基礎.數學概念的生成過程是學生調動抽象思維，概括事物共同屬性、抽象本質特征的過程，是發展學生數學抽象能力的契機.從結果上看，數學概念雖是對本質特征“是什么”的闡釋，但這一結果應由生成過程獲得.因此，在數學概念教學中，學生的數學抽象能力的發展只能在教學過程中實現，而非教學結果，教學過程比教學結果更具有價值.

2 重過程的數學概念教學探索

思維型課堂教學理論中指出思維活動是課堂教學的核心活動，并提出“認知沖突”、“自主建構”、“自我監控”、“應用遷移”四個基本原理[4].該理論是經過各學科教學實踐證明了的能夠有效提升學生思維能力的課堂教學理論.因此，基于思維型課堂教學理論，提出以“引發沖突-生成需要-自主建構-形成概念-類化規則”為核心的支架式概念教學，如圖1所示.

引發沖突是支架式概念教學的起始階段.依據思維型課堂教學理論，引發認知沖突是指學生在認知發展過程中，因原有認知結構與現實情境不相符而在心理上所產生的沖突或矛盾[5].這是一種內部矛盾或內部動機，促使學生進行積極思維和主動思考，是學生數學抽象能力發展的動力.因此，在數學概念教學中，為學生搭建“引發沖突”的支架，創設能夠產生學生認知沖突或與已有經驗和現實生活相矛盾的情境，激發學生學習新概念、參與思維活動的欲望.

恩格斯曾說：“數學像所有其他的科學一樣，起因于人們的需要.”新課標將數學文化融入到課程內容中，提出數學文化包含“數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展…… ”等多方面的內涵.因此，在引發學生認知沖突的基礎之上，為學生搭建“生成需要”的思維支架，激發學生對數學家發現真理歷程的思考.一個數學概念不會憑空產生，其一定是來源于現實社會生活的思考與需要，當現實生活與未來應然生活之間產生不滿足感、欠缺感，于是需要便產生了.在數學概念教學中，以數學概念的起源激發學生對概念生成的需要，引導學生像科學家一樣思考，是數學概念習得的關鍵，也是對新課標對學生提出的要求的落實.

自主建構是支架式概念教學的核心階段，也是學生數學抽象能力得以鍛煉的關鍵階段.建構主義理論認為學習是學生從已有知識結構出發，進行自主建構知識體系的過程;知識建構與思維建構同步進行，且只有知識的建構和思維的建構協同發展，知識才會被接受、理解、內化為能力.在數學概念教學中，為學生搭建“自主建構”的支架，目的是讓學生的思維從形象思維向抽象思維過渡，引導其概括感性材料的共同屬性、抽象出所學概念的本質特征.基于數學概念自身的特殊性，即大都有抽象的文字符號構成，因此，引導學生主動將符號轉化為圖像等具體的易于理解的思維形式至關重要.

形成概念是學生完成對感性材料的抽象過程，發現問題的本質，形成對先前矛盾或沖突的正確解釋，并用準確簡練的文字或符號化語言表達.在此階段，學生已經通過分析、抽象、概括、綜合等思維品質經歷如何得出這個數學概念的過程，進而得出這個概念是什么的結果.除此之外，教師也應該在此階段引導學生回顧探究概念的過程，回答三個問題：（1）為什么要引入這一概念;（2）怎么樣生成這一概念;（3）概念在學科結構中的地位或作用是什么.這是引導學生反省總結得出這一概念的思想方法，將內隱的思維過程外顯化，同時為概念的遷移應用打下思維基礎.

類化規則是支架式概念教學的最后階段.“類化”依據心理學生的解釋為：“概括當前問題與原有知識的共同本質特征，將所要解決的問題納入到原有的同類知識結構中去，將問題加以解決.”在其他學科教學中，類化通常是在概念得出之前，使學生易于對新概念的理解，將新概念與學生認知結構中已有的舊概念進行類化.而在支架式概念教學過程中，最后為學生搭建“類化規則”階梯，其原因是數學概念是數學運算與應用的基礎，在學生習得概念之后，引導學生對概念進行運算規律或命題等進行類化.

3 支架式概念教學的實踐——以《復數的概念》為例

支架式概念教學細化了學生構建數學概念的過程，將有效教學的理念由重結果轉向重過程，促進學生數學抽象能力的發展，可實現教育的過程價值.復數是一類重要的運算對象，相較于實數是一個較抽象的概念，讓學生理解引入復數的必要性、了解數系的擴充進而掌握復數的概念需要經歷思維的加工過程.因此，基于支架式概念教學，以《復數的概念》為例展開教學實踐.

【引發沖突】

師 先讓學生求解方程1：x2=1;后求解方程2：x2=-1.

生 對于方程1可以輕易說出答案，而對于方程2的求解“舉棋不定”，有的人認為無解，有的人認為答案是……

師 繼續拋出問題：兩根之和為10，兩根之積為40，那么這兩個數、分別是多少呢？

生 順利列出方程組，但因根的判別式而無法求解.

設計意圖 巧設兩個問題，超出學生的認知范圍，但又在“最近發展區”之內.其中，第一個問題是根據數學家歐若拉在其《代數基礎》中提到的以負數的平方根引入虛數概念;第二個問題是根據五百多年前意大利數學家卡爾丹的“分十”問題設置[6].重現經典數學史問題，產生思想碰撞，激發學生的認知沖突，使學生帶著疑問與目標學習.

【生成需要】

師 從求解方程的視角，板書幫助學生回顧認知結構中已有的數域的擴張過程，如圖2所示.

生 回顧數域擴充的過程.

設計意圖 通過回顧數系的擴充過程，使學生生成進一步擴充數系、引入新的數學概念的需要，同時，從求解方程的視角，運用類比思想，清晰地呈現了數系的擴充規則.這一階段是培養學生的邏輯推理、數學抽象能力的契機.

【自主建構】

師 ?呈現本節課目標，即解決兩個“？”的問題.

生 引入的新數，使得這個數的平方和是1.

師 ?提出虛數單位，是數學家歐拉引入并使為的解.

生 習得新數.（解決第一個“？”）

師 引導學生運用類比思想，將實數系的運算方法與虛數單位相結合.并完成實數與虛數的組合問題：（1）實數：-1、0、2、5 ;（2）新數.

生 自由組合出多個數：-1+2、-1+5、5-、5+2、2、0……

師 引導學生尋找規律，將組合的數寫成統一的數學表達式.

生 小組討論，各組展示答案.

設計意圖 學生對本節課的目標已經非常清晰明朗.通過引入新數解決無解的問題，再通過學生對實數與虛數單位的任意組合，為學生創造積極思考、主動探索的空間.對自由組合數進行形式的統一概括，為建構“復數”概念提供支撐，培養學生數學歸納與數學抽象能力.

【形成概念】

生 確定組合數的統一形式：.

師 對同學的回答進行補充與規范，引出復數的概念：形如的數叫做復數，復數通常用字母表示.

生 閱讀教材，自主探究復數的虛部和實部，形成概念結構圖，如圖3所示.

師 ?向學生提出三個問題：（1）復數是什么？（2）為什么引入復數？（3）如何引入復數的？

生 ?小組討論交流三個問題.

設計意圖 對學生的探究結果予以肯定的同時，進行補充，形成最終復數的概念.將新的復數概念納入到原有認知體系中，產生有意義聯系使得學生的所學概念不再是孤立的，形成完整的知識體系.最后引導學生回顧概念引入的作用與生成過程.

【類化規則】

師 ?引出下一節內容，引導學生進行填寫復數運算方法和運算規律的表格，如表1所示.

生 根據類比規律填寫表格.

師 答案將在下一節課揭曉，鼓勵學生做好預習.

設計意圖 自然引出下節課對復數運算方法與運算規律的探究，既給學生預留足夠的時間對新概念進行遷移應用，又對下一節內容留足懸念.從原有認知結構出發，再一次鼓勵學生進行知識的類比與方法的遷移.

4 總結

教學既是一門科學，又是一門藝術.支架式概念教學依照學生的認知發展規律，將概念教學細節化、過程化，以搭建支架式的方式授之學生以“漁”.從慢節奏的概念引入，引發認知沖突、生成對概念學習的需要，到以學生的原有認知結構為腳手架，進行主動建構概念，最終習得概念.同時，支架式概念教學以數學概念“是什么”為目標，以數學概念“如何生成”為過程，培養學生的數學抽象能力，落實數學學科核心素養的提升.

【基金項目：1.2020年黑龍江省高等教育教學改革項目《高校數學課程教學與“思政教育”有機融合研究與實踐》（SJGY20200694）;2.2020年佳木斯大學教育教學改革研究項目《高校數學課程教學與“思政教育”有機融合研究與實踐（2020JY1-04）】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]郭元祥.論教育的過程屬性和過程價值——生成性思維視域中的教育過程觀[J].教育研究，2005（09）：3-8.

[3]羅祖兵.有效教學的過程性闡釋[J].教育研究，2017，38（09）：99-105.

[4]林崇德，胡衛平.思維型課堂教學的理論與實踐[J].北京師范大學學報（社會科學版），2010（01）：29-36.

[5] 狄邁，汪曉勤.美英早期代數教科書中的復數引入方式[J].數學教學，2021（05）：1-6.