幾個存在反例的數(shù)學(xué)猜想

李小萍

在大多數(shù)時候，我們是通過尋找規(guī)律得出數(shù)學(xué)猜想.但是這種做法并不嚴(yán)謹(jǐn).在數(shù)學(xué)研究中，錯誤的數(shù)學(xué)猜想不占少數(shù).關(guān)鍵在于，有時反例中涉及的數(shù)據(jù)太大、太多，找出全部的反例實在是太困難了.下面我們來看看存在反例的幾個猜想.

中間出現(xiàn)了兩個-2.這是一個反例，說明該結(jié)論不成立.為什么會出現(xiàn)n=105的反例呢？

2.Polya猜想

對自然數(shù)列的質(zhì)因數(shù)分解.2=2;3=3;4=2x2;5=5;6=2x3; 7=7; 8=2x2x2; 9=3x3; 10=2x5; 11=11; 12=2x2x3; 13=13; 14=2x7; 15=3x5; 16=2x2x2x2; 17=17;……

可以看到，4、6、9、10、14、16這6個數(shù)包含偶數(shù)個質(zhì)因子，其余11個數(shù)都含奇數(shù)個質(zhì)因子.

這個猜想對1億以內(nèi)的數(shù)都成立！

Polya猜想看上去非常合理.但在1958年，英國數(shù)學(xué)家C.B.Haselgrove發(fā)現(xiàn)，Polya猜想竟然是錯誤的.他證明了Polya猜想存在反例，從而推翻了這個猜想.不過，Haselgrove僅僅是證明了反例的存在性，并沒有算出這個反例的具體值.Haselgrove估計，這個反例至少也是一個361位數(shù)（ 1.845x10361）.1960年，美國數(shù)學(xué)家R.ShermanLehman給出了一個確鑿的反例：n=906180359.而Polya猜想的最小反例n=906150257，則是到了1980年才被發(fā)現(xiàn).

4.Perrin素數(shù)

嘗試尋找到一個簡單而高效的素數(shù)生成公式一直是數(shù)學(xué)學(xué)者們的理想之一.法國著名數(shù)學(xué)家家、諾貝爾獎獲得者Perrin發(fā)現(xiàn)的一個數(shù)列：

1899年P(guān)errin本人曾經(jīng)做過試驗，隨后很多人也都做過搜索，均未發(fā)現(xiàn)任何反例.

直到1982年，英國數(shù)學(xué)家Adams和Shanks才發(fā)現(xiàn)第一個反例n=271441，它等于52lx521，卻也能整除f（271441）.

事實上，有很多不是素數(shù)的n，使得an是n的倍數(shù)，如271441、904631、16532714、24658561、27422714、27664033、46672291、102690901、130944133 -

似乎有這樣的規(guī)律：n能整除2n一2，當(dāng)且僅當(dāng)n是一個素數(shù).

第一個反例是n=341，此時341能夠整除2 341—2，但34l=llx31.

根據(jù)Fermat小定理，如果p是素數(shù)，那么p-定能整除2—2.不過，它的逆定理卻是不成立的，上面提到的341便是