由一道題淡平面向量數(shù)量積的求法

粱啟浩

平面向量的數(shù)量積是平面向量中的重要知識(shí)點(diǎn)，求平面向量的數(shù)量積問題側(cè)重于考查平面向量的數(shù)量積公式、向量的模的公式、數(shù)乘運(yùn)算、共線定理、基本定理等.下面，筆者結(jié)合一道例題，探討一下求平面向量數(shù)量積的方法.

解答本題，需首先根據(jù)圖形明確各個(gè)點(diǎn)、向量的位置及其關(guān)系.經(jīng)分析，可采用基底法、公式法、坐標(biāo)法、投影法來(lái)求平面向量的數(shù)量積MF.MG.

方法一：基底法

基底法主要是根據(jù)平面向量的基本定理來(lái)解題.采用基底法解題，需先根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，選取兩個(gè)向量作為基底，將所求向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為求基底向量的數(shù)量積.本題中向量MF、MG的模長(zhǎng)與夾角均未知，而向量而、FE的模長(zhǎng)及其夾角均已知，因此可以將向量FG、FE視為基底，通過向量的加減法運(yùn)算，將求MF.MC的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為求基底向量FG與FE的數(shù)量積，這樣問題就能獲解.

方法三：坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是指通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，達(dá)到解題的目的.這種方法較為直觀，一目了然，且簡(jiǎn)捷易行，是解答平面向量積問題的有效方法.本題中的四邊形EFCH為直角梯形，∠F=90°，不妨以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn).以FG所在的直線為x軸，以FE所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.