運用放縮法解數列不等式題的思路

陳曉娟

數列不等式證明題經常出現在各類試題中.此類問題具有較強的綜合性，且難度較大.解答此類問題，需仔細觀察和研究數列，明確其特征和規律，并進行恰當的放縮.下面，筆者介紹兩種運用放縮法證明數列不等式問題的思路.

一、通過裂項進行放縮

裂項相消法是求數列和的常用方法.對于通項公式為分式的數列不等式，可首先將數列的通項公式進行適當的變形，如通分、放縮、拆分，將其轉化兩項之差的形式，然后利用裂項相消法進行求和，再將所得的結果與求證目標進行對比，最后通過適當的放縮，根據不等式的傳遞性證明不等式.

二、利用函數的單調性進行放縮

數列是一類特殊的函數，具有單調性.因而在證明數列不等式時，可靈活運用數列和函數的單調性來求證.通常可根據數列不等式的特點，構造出函數模型，將其視為自變量為自然數的函數，再根據函數單調性的定義、導數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性，即可根據函數的單調性對不等式進行放縮，從而證明結論.

利用函數的性質對不等式進行放縮，關鍵在于構造一個合適的函數模型.這就需要仔細分析目標數列不等式的結構特征，將其進行適當的變形，抽象出一個簡單的函數模型，再利用函數的單調性證明不等式.一般地，對于增函數，白變量大的函數值大，自變量小的函數值小;對于減函數，自變量大的函數值小，自變量小的函……