“三招”破解平面向量數量積的最值問題

周小宏

平面向量兼有“數”和“形”兩種身份，因而解答平面向量問題往往可從“數”和“形”兩方面人手，尋找不同的解題思路.平面向量數量積的最值問題主要考查平面向量的數量積公式、數乘運算法則、三角形法則、平行四邊形法則、模的公式等.其命題形式多種多樣.那么，如何選擇合適的方法進行求解呢？下面結合實例來進行探討.

一、基底法

基底法是求解平面向量問題的重要方法.由平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，可知平面內的任意一個向量都可用基底表示出來.若不易求得目標向量，可根據幾何圖形的特點，選擇兩個基底，將目標向量用基底表示出來，通過平面向量運算求得數量積的表達式，再根據幾何圖形的特點和位置關系找出表達式取得最小值的情形，即可求得平面向量數量積的最值.

二、坐標法

有些平面向量數量積的最值問題涉及的圖形為規則圖形，如矩形、直角三角形、等腰三角形等，此時，可根據幾何圖形的特點尋找垂直的兩條線段，據此建立平面直角坐標系，設出或求得各個點的坐標，并求得各個向量的方向向量，便可通過平面向量的坐標運算求得數量積的表達式，最后根據三角函數的有界性求得最值.

三、函數性質法

對于與動點有關的平面向量數量積的最值問題，常需運用函數性質法求解.首先需根據解題需求……