二階振型對場地地震變形及地下結構地震響應的影響

江志偉，許成順，杜修力，劉晶波

（1.北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124；2.北京城建設計發展集團股份有限公司城市軌道交通綠色與安全建造技術國家工程研究中心，北京 100037；3.清華大學土木工程系，北京 100084）

引言

通常認為在地震荷載作用下場地的響應主要呈現一階振型，因此有諸多學者研究并發展了確定場地一階頻率與振型的簡化分析方法［1－2］，相關研究成果已被用來確定場地地震設計反應譜，并已在地上結構的抗震設計中得到廣泛應用。而對于地下結構，由于受周圍巖土介質的約束，結構地震響應主要依賴于場地變形，結構慣性作用對其地震響應的影響較小，因此土體地震變形也為地下結構抗震分析中最主要的地震荷載。目前在地下結構抗震設計［3－4］和抗震性能推覆分析中［5－7］，主要還是借鑒地上結構的場地地震響應分析方法，也即采用場地的一階振型作為其地震變形模式來近似獲取結構對應位置處土體的等效地震變形。

但實際上地震荷載還可激發場地的高階振型效應，甚至在一些特殊情況下場地還可產生共振響應，例如Ermert 等［8］通過原位測試識別了山谷場地高階振型，其可能產生的共振響應可使局部范圍內土體的地震變形顯著增大。由于結構對土體變形極為敏感，若場地產生高階振型響應，必然對地下結構的地震安全產生嚴重影響。然而，目前在抗震設計中尚未重視場地的高階振型作用，這對正確分析地下結構地震響應和抗震性能評價具有不可忽略的影響。

作者依托北京地鐵6 號線某實際工程，開展了裝配式馬蹄形隧道結構的1-g 大型振動臺模型試驗（簡稱“隧道試驗”），在試驗中模型隧道結構產生嚴重損傷并逐步演化為一個多鉸機構［9］，這遠超在試驗前預期的地震響應結果。因試驗中的模型土并不存在軟弱和液化層，認為場地過大的剪切變形以及結構強烈的水平地震響應可能與場地高階振型的參與有關。

因地下結構的地震響應受制于自由場土體的地震響應［10］，文中主要針對與隧道試驗［9］同期開展的自由場場地1-g 振動臺試驗（簡稱“自由場試驗”）［11］開展研究工作，主要目的是分析場地的高階振型對其地震變形和埋置于土體內地下結構地震響應的影響。首先介紹土體在試驗中的頻率、振型與變形響應，在此基礎上研究二階振型對土層變形大小的貢獻，最后采用整體式反應位移法［4，12］分析場地的二階振型作用對馬蹄形隧道結構地震響應的影響。

1 自由場振動臺試驗測試與激振方案

試驗在6 m×6 m 振動臺上開展，模型箱為疊層剪切箱，內壁布有1 cm 厚的橡膠膜。前文［11］已詳細介紹了自由場試驗的方案，本節主要對傳感器布置和地震動激振方案進行簡要介紹。

振動臺和模型箱如圖1（a）所示；試驗共使用35個加速度傳感器，如圖1（b）所示。加速度傳感器以CHn（n=01，02，…，05，09，10，…，35）命名并進行編號，其中CH01 布置在振動臺臺面上用來記錄臺面運動，CH02～CH05 和CH09～CH29 被埋置于土體中用來記錄土體的地震響應，CH30～CH35 則被布置于模型箱上，用來記錄箱體運動。

圖1 模型箱與傳感器布置［11］Fig.1 Arrangement of soil container and sensor［11］（Unit：m）

試驗共輸入1 條場址人工地震動和3 條天然地震動，分別為北京人工地震動、Kobe（1995日本）、Loma Prieta（1989 美國）和Wenchuan（2008 中國）地震記錄。對地震動的頻譜進行了縮放，原則是激發試驗體系最不利的地震響應［11］。綜合考慮，確定北京（BJ）人工地震動、Kobe、Loma Prieta（LP）和汶川（WC）記錄的頻譜縮尺比（原型/模型）分別為1/2、1/5、1/2 和1/5。試驗按地震動峰值加速度的不同分為4 個加載階段，分別為0.2、0.4、0.62、1.0 g階段，地震動輸入順序詳見表1。

表1 動力荷載輸入順序［11］Table 1 Input motion sequence［11］

2 場地的振型及其對土體變形響應的影響

為分析場地的二階振型效應對地下結構地震響應的影響，首先須明晰自由場土體的地震變形并識別二階振型，本節主要對試驗中自由場土體的頻率、振型和變形大小開展分析。

2.1 場地的卓越頻率與振型

由土體在白噪聲荷載下的響應可獲取土體在任意測點位置處的傳遞函數，其中在CH15 和CH07 處的傳遞函數如圖2 所示（工況IM－1）。由2 個傳遞函數可知，體系的一階和二階自振頻率別為9.1 Hz 和28.8 Hz。但由傳遞函數較難識別土體的三階及以上頻率，這是因為振動臺的額定工作頻率僅為0.1～50 Hz，而土體的三階及以上自振頻率可能大于50 Hz。

由圖2 可知，2 個不同傳感器所得到的傳遞函數在一階和二階頻率位置處對應的大小不同。由CH01～CH15處的傳遞函數（復數）實部沿高度方向的分布可獲取自由場土體的一階振型［13］，同理可獲取土體的二階振型，將2個振型做歸一化處理［14］后如圖3所示。由一階振型可知，其沿高度的方向近似呈斜直線，這表明自由場土體在初始狀態下并無軟弱層，與試驗實際場地情況相符。一階振型坐標沿高度方向逐漸增大，在CH15位置處達到幅值；而二階振型坐標則先增大后減小，其拐點位于CH06～CH09范圍內，振型幅值位于CH08位置處。

圖2 自由場土體在白噪聲荷載（IM－1）下的傳遞函數Fig.2 Transfer functions of free-field soil under white noise motions（IM－1）

此外，在裝配式馬蹄形隧道結構振動臺模型試驗中［9］，使用的模型土、模型箱和傳感器布置方案與自由場試驗中的一致，模型結構約位于圖1（b）中的CH08～CH06位置處，關于試驗的詳細介紹請見Xu等［9］。在隧道試驗中也可由白噪聲獲取土體的傳遞函數與振型，其中一階和二階振型如圖3所示，對比由自由場和隧道試驗獲取的振型結果可知，二者的差異不大。可見2組試驗的振型結果可以互相印證，獲取的自由場試驗振型結果合理，可在后續分析中使用。

2.2 場地的水平剪切變形

由自由場土體在地震荷載作用下的加速度響應，可獲取土體在各個高度位置處的積分位移。獲取積分位移時，采用帶通濾波器對加速度時程進行濾波，濾波器帶寬為0.5～40 Hz。

通常認為自由場土體在地震荷載作用下的變形模式主要呈一階振型，由圖3可知，土體的一階振型近似為一直線，若土體僅按一階振型運動，其在任意2個相同高度范圍內水平變形的差異應很小。

圖3 場地土在振動臺試驗中的振型Fig.3 Mode shapes of soil in shaking table tests

由土體的積分位移結果可獲取在CH15～CH09和CH09～CH05這2個范圍內等厚土層的峰值水平剪切變形（dF1和dF2），詳見表2。對比dF1和dF2可知，在絕大部分工況作用下，dF2均大于dF1，即土體中部的變形比上部土體的大，且在部分工況作用下二者的差異懸殊。例如在工況IM-4 時，dF1為－0.11 cm，而dF2可達－0.20 cm，dF2約為dF1的181%。由此可知，試驗中土體的變形模式與傳統認識存在較大差異。

此外，可通過隧道試驗［9］獲取場地土在CH29～CH27 和CH27～CH25 這2 個對應范圍內等厚土層的峰值相對位移（dT1和dT2），如表2 所示。對比dT1和dT2可知，在絕大部分工況作用下dT2也均大于dT1，這與在自由場試驗中得到的規律基本一致。由此可知，在2 組試驗中，土體的變形均在中部位置處得到了放大或縮小，這與二階振型的幅值和拐點位置較為接近，文中認為土體局部變形的放大或縮小與體系二階振型的參與有關。

表2 2組試驗中的土層變形結果Table 2 Soil deformation in two groups of experiments cm

2.3 二階振型對土體剪切變形的貢獻

為分析振型對土體變形模式的影響，首先需分析土體在試驗中的變形模式。假設自由場土體在工況IM－4 時產生dF2的時刻為t1，可得土體在t1時刻沿高度方向的歸一化變形模式?，如圖4（a）所示，對比其與場地一階振型?1和二階振型?2可知，場地變形模式與一階振型?較為接近，這與傳統認識相近。但對比?和?1可知，二者仍然存在一定的差異，土體的一階振型?1難以完全代表其在地震荷載中真實的變形模式。

圖4 土體的振型與在t1時刻的變形模式（工況IM－4）（β=11%）Fig.4 Mode shape and deformation mode of soil at t1（IM－4）（β=11%）

因0.2 g階段加載時土體的非線性響應較小，可近似采用“振型疊加法”對場地地震響應進行分析。將土體簡化為了彈簧－質點模型，模型沿高度方向的位移向量u可近似由式（1）獲?。?4］：

式中，q1和q2分別為一階和二階振型的參與系數。

因一階振型對土體的地震響應起主導作用，為更加直觀地對比二階振型與位移向量u之間的關系，對式（1）做如下變換：

式中，β=q2/q1，代表了二階振型在試驗中的參與程度。

對u′進行歸一化處理后，可得由前兩階振型構造的土體變形模式?′。采用調整系數β的方法使?′擬合試驗實測土體變形模式?，其結果如圖4（c）所示，此時β等于11%。可知，當二階振型參與到土體的變形模式中后，擬合結果逼近了土體真實的變形模式，這表明二階振型參與到了土體的地震響應中。值得注意的是，盡管考慮場地的二階振型后，擬合后的場地變形模式仍與真實變形模型存在一定差異，這可能是因為擬合過程中僅考慮了前兩階振型，而未考慮三階及以上振型的貢獻所致。

在后續0.4 g至1.0 g階段，場地的非線性響應較強，此時疊加原理已不再成立。但這里仍采用類似的方法對場地地震響應開展定性分析，其結果僅供參考，如圖5和圖6所示，圖中的t2和t3時刻分別為工況IM-9和工況IM-17產生dF2的時刻。

由圖5 和圖6 可知，與0.2 g 階段的場地變形模式相比，強震作用下當二階振型參與至場地變形后，擬合與真實變形模式差異變大，也即由振型疊加法得到的擬合精度下降，這可能與場地的強非線性響應有關。盡管如此，二階振型參與后的場地變形模式仍趨近于土體真實的變形模式，這與在0.2 g階段得到的規律（圖4）相近，可見盡管場地產生了強非線性響應，但其并未從本質上改變場地的地震響應規律。因此仍采用擬合的方法獲取土體在所有工況作用下二階振型參與系數β，以定性地分析二階振型參與系數的大小，如表2所示（表中0.4 g～1.0 g階段的β僅供參考）。由表2可知，無論地震動峰值加速度大小如何，二階振型參與系數β均較小，在－10%～20%以內變化，這表明地震作用下的場地變形仍主要以一階振型為主，二階振型的參與程度有限。

圖5 土體的振型與在t2時刻的變形模式（工況IM－9）（β=14%）Fig.5 Mode shape and deformation mode of soil at t2（IM－9）（β=14%）

圖6 土體的振型與在t3時刻的變形模式（工況IM－17）（β=7%）Fig.6 Mode shape and deformation mode of soil at t3（IM－17）（β=7%）

為分析二階振型對場地地震響應的影響，可分析在不同二階振型參與系數β情況下土層的變形。因小震時?′可近似代表土體的變形模式，即?′≈?，而?為土體變形的歸一化結果，因此可近似通過基底－地表相對位移對?′進行調幅，以獲取小震時土體在CH15～CH09 和CH09～CH06 范圍內的等效相對位移dF1′和dF2′。當β在－10%～20%間變化時，dF1′和dF2′的結果如表3所示。

表3 土層在不同二階振型參與系數下的相對位移對比Table 3 Relative displacement of soil with different 2nd mode participation coefficients cm

分析β與土體的剪切變形大小可知，當β=0，即未有二階振型參與時，中部土體變形dF2′略大于上部土體變形dF1′，但二者的差異很小。當β<0時，上部土體變形dF1′增大，大于下部土體變形dF2′，可見二階振型的參與可能使中部土體變形減?。欢敠?0時，土體中部變形dF2′隨著β的增大而增大，土體變形逐漸在中部位置處集中，遠大于上部土體變形大小。例如，在工況IM-11 作用下，當β為15%時，dF1′為0.47 cm，而dF2′可達1.58 cm，這與在自由場和隧道試驗中觀測到的規律類似。由此可知，二階振型的參與是導致試驗中土體中部變形增大或減小的主要原因。從另一個角度看，二階振型的參與改變了場地局部的剪切變形分布模式。

3 場地的二階振型對地下結構地震響應的影響

因二階振型作用可增大或減小局部土體的變形響應，若有地下結構埋置于此范圍內，結構的地震響應必然受到影響，本節通過有限元數值分析對場地的二階振型作用對地下結構地震響應的影響開展分析。

3.1 計算模型與參數

采用整體式反應位移法［4，12］對埋置于自由場土體內的隧道結構開展地震響應分析，因結構慣性力作用的影響很?。?5］，計算主要考慮了土層變形的影響，需獲取土體的動剪切模量比和結構位置處土體的剪切變形。

為獲取土體的動剪切模量比，須首先估算土體的最大剪切模量Gmax，試驗中砂土的Gmax可采用式（3）估算：

式中：e為土體的孔隙比；σ0為土體的有效圍壓；C為常數，約為0.47［16］。

其中土體的圍壓可由其豎向壓力和側向壓力K0系數獲取，豎向壓力可由任意土體高度和土體的重度γt獲取，K0則可由式（4）估算［17］：

將自由場土體簡化為一維彈簧－集中質量模型，各質點的坐標與加速度傳感器CH01～CH15 的豎向高度一致，可由不同高度處土體的Gmax和初始重度γt建立模型的剛度和質量矩陣，可進一步通過解析法獲取體系的一階和二階頻率，分別為9.9 Hz和26.0 Hz。對比其與圖2中由傳遞函數獲取的頻率結果可知，二者差異較小，這表明采用式（3）估算的Gmax結果較好。

動剪切模量比G/Gmax可采用Menq 模型［18］估算，其已被廣泛應用至一維非線性場地分析中［19］。Menq 模型可用式（5）表示：

式中γr和a分別為砂土的參考剪應變和曲線調整系數，可通過Cu和σ0獲取，詳見Menq［18］。

假設初始工況IM－3 作用下，模型結構恰好埋置于自由場土體的CH08～CH06 位置處，為采用Menq 模型獲取土體的動剪切模量比G/Gmax，首先須獲取土體的動剪應變γ。令CH08～CH06 位置處土體產生最大剪切變形的時刻為t2，因此時土體的非線性程度較小，其變形模式可近似采用振型疊加法獲取。對土體的位移采用試驗中實測的基底－地表相對位移進行調幅，則可采用圖4（c）中的方法近似構造出土體在t2時刻沿高度方向的變形，其中當二階振型參與系數β為20%時土體的變形如圖7所示。

圖7 土體在二階振型參與情況下沿高度方向的位移分布（工況IM－3）Fig.7 Deformation of soil along the elevation with participant of 2nd mode shape（IM－3）

由土體變形可獲取其在t2時刻任意高度處的剪應變γ，進而可通過Menq［18］模型和Gmax獲取相應的動剪切模量G。同理可獲取當β為－10～20%范圍內變化時結構對應位置處土體的相對位移、動剪應變γ和動剪切模量G，如表4所示。

由表4可知，隨著β的增大，結構位置周圍土體的水平相對位移逐漸增大，導致土體剪應變γ增大和動剪切模量G減小，可見二階振型的參與改變了地下結構所受的荷載與邊界條件。

表4 不同二階振型參與系數β所對應結構位置處（CH08～CH06）土體的計算參數Table 4 Parameters for numerical analysis of soil at structural position（CH08～CH06）with different 2nd mode participation coefficient β

按照規范［4］中的方法，在有限元軟件ABAQUS 平臺上開展模型隧道結構的地震響應計算，有限元數值模型如圖8所示，其中土體和結構分別采用二維平面應變和梁單元建模。隧道結構為馬蹄形斷面，最大水平和豎向尺寸均約為0.52 m，徑向厚度為0.026 m，隧道襯砌為線彈性模型，彈性模量為13.8 GPa［9］。將土按圖1（a）中的傳感器位置劃分為14 層，并對各土層分別賦予t2時刻求得的動剪切模量G。土與結構綁定，不考慮二者的相對滑移。

圖8 整體式反應位移法有限元計算模型Fig.8 Finite element model of integral response deformation method

3.2 隧道結構地震響應分析

隧道結構的地震響應結果如表5 所示。由表5 可知，當β=0時，即當二階振型未參與到場地的地震變形中時，隧道結構頂端和底端間的水平相對位移為－0.245 mm；當β<0 時，隧道結的頂－底水平相對變形逐漸減小，結構趨于安全。而當β>0 時，即二階振型參與到場地的地震變形中時，結構的頂－底水平相對變形逐漸增大，當β增大至20%時，其大小約為－0.409 mm，相對于β=0時增大了66.5%。

表5 考慮二階振型效應后的隧道結構地震響應計算結果Table 5 Numerical results considering effects of the second order mode shape

隧道結構的峰值環向應變與變形結果的規律類似，應變大小隨著二階振型參與程度的增大而增大，當β=20%時，峰值環向應變大小為9.74×10－5，約為未有二階振型參與情況下的133.6%。由此可知，二階振型的參與可顯著增大隧道結構的地震響應，這應在抗震設計中予以重視。

4 結論

文中基于系列自由場和場地－隧道結構模型1-g 振動臺試驗結果，結合振型疊加法分析了場地二階振型效應對場地土體地震變形的影響，并進一步采用整體式反應位移法分析了二階振型效應對隧道結構地震響應的影響，得出結論如下：

（1）場地的地震變形模式主要以一階振型為主，二階振型效應也可參與到場地的地震變形模式中，參與程度在20%以內，可明顯改變場地沿豎向的局部剪切變形分布模式。

（2）場地局部剪切變形分布模式的改變對相應區域內地下結構地震響應的影響不可忽視。

（3）盡管振型疊加法并不嚴格適用于場地強非線性階段的地震響應分析，但此時采用振型疊加法仍可得到與中小震時相近的地震響應規律。