振動臺開環系統辨識與LSTM網絡模擬

紀金豹，李文月，武劍峰

（北京工業大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京 100124）

引言

作為一種具有特殊技術優勢的結構試驗設備，地震模擬振動臺在土木與地震工程領域中發揮著不可替代的作用。振動臺試驗是研究和評價結構抗震性能的主要方法之一［1］。能夠準確復現地震波形是地震模擬振動臺的基本功能，然而由于振動臺系統的復雜性，其性能受到諸多因素的影響［2］。獲得一個高精度的振動臺系統模型是開展振動臺系統分析和控制算法設計的前提條件，振動臺模型的模擬精度直接決定了控制算法仿真的有效性和控制系統開發的效率。

考慮系統分析的可行性，早期的振動臺系統模型通常基于線性系統假設，通過系統各環節分析得到單軸或多自由度系統的傳遞函數模型［3－4］，模型參數一般可通過理論計算、掃頻或白噪聲試驗得到［5－6］，伺服閥和傳感器等環節的動態特性都對開環傳遞函數模型的階次和參數取值產生影響［7－14］，并且振動臺系統中包含了大量的非線性環節［2］，這些因素都對系統模型的精度和可用性產生重要的影響，這些非線性因素主要包括伺服閥非線性［8－11］（死區、重疊、壓力損失和流量增益等）、密封摩擦［12］、球鉸和螺栓間隙、試件剛度退化［13］、幾何效應（作動器大位移效應）等。此外，油源供油能力、蓄能器容量、作動器剛度和振動臺基礎變形等也會對系統特性產生不可忽略的影響［15］。雖然考慮非線性的精細化系統模型更符合實際系統特性，但由于其分析和求解極為困難，為了簡化系統分析的需要，一般只能對系統非線性環節進行等效線性化處理［16］。物理仿真建模軟件（如Easy5、Simscape、ASMSim 等）可以基于模塊框圖建立系統級的物理組件模型［17－20］，日益成為一種更為有效的系統建模與仿真工具，但物理模型的非線性參數相對難以確定，因此，尋找一種既能夠充分考慮真實振動臺系統特性又容易通過辨識得到的精細化模型依然是振動臺系統分析與控制研究的重要課題之一。

人工神經網絡具有強大的非線性表達能力、并行處理能力、自學習和自組織能力［21］，尤其以深度學習為代表的人工智能技術在模式識別、系統辨識和系統控制等領域取得了舉世矚目的成功［22］，其中，對于語音識別、文本翻譯等具有前后邏輯關系的序列信息的處理，需要采用具有儲存先前上下文信息的RNN模型（RNN是循環神經網絡和遞歸神經網絡的縮寫，循環神經網絡是對時間序列的展開，遞歸神經網絡是對空間序列的展開，二者縮寫相同，其應用上存在差別，某種程度上可以認為循環神經網絡是遞歸神經網絡的一種變體［23］）。循環神經網絡（RNN）循環神經網絡具有記憶性、參數共享等特性，因此在對序列的非線性特征進行學習時具有一定優勢［24］。循環神經網絡理論上可以處理任意長度的數據，但在實際應用中，隨著隱藏層神經元數量的增多，網絡難以保證準確的長序列狀態傳輸。長短期記憶網絡（long short-term memory，LSTM）模型解決了普通RNN 算法復雜的長時間依賴問題［25］。由于離散化的振動臺開環模型是一種典型的時間序列，預計可以采用LSTM網絡模型進行準確的模擬。

文中利用實際振動臺的白噪聲試驗測試結果，基于最小二乘法辨識得到其單軸傳遞函數模型，推導了閉環和開環傳遞函數的轉換關系，從而得到系統的開環傳遞函數，基于該模型重新生成仿真數據用于對LSTM循環神經網絡模型進行了訓練和測試，驗證了LSTM網絡模型用于振動臺開環系統模擬的可行性。

1 原理與方法

1.1 系統模型辨識原理

在三參量控制下，單軸振動臺的閉環特性可以通過閉環系統的實測數據辨識得到閉環系統的傳遞函數模型。振動臺開環系統特性的獲取相對困難，但由于振動臺控制系統相應參數已知，因此可以通過振動臺開閉環模型轉換得到振動臺開環模型。

閉環傳遞函數的辨識原理如下，對于n階系統的傳遞函數如式（1）所示：

假設辨識得到的傳遞函數為G(p,θ)，其中，θ表示所要辨識的傳遞函數的系數矩陣。則辨識輸出可以表示為如式（2）所示形式，

辨識過程中傳遞函數的參數基于最小二乘法進行更新，最終目標是使加權預測誤差范數最小，最終得到θ的估計值，即如式（3）所示，從而即確定傳遞函數相應參數以達到傳遞函數辨識的目的。

振動臺的開環傳遞函數模型的推導過程主要基于方框圖逆向變換的相關法則［26］：（1）2個信號之間的傳輸倒向時，他們之間的傳遞函數變成倒數；（2）在相加點上，如果2個信號改變方向，其余的信號要改變符號；（3）逆向變換過程中，分支點上引出的信號不改變方向。

三參量控制下的單軸振動臺系統構成如圖1所示，相應的振動臺控制框圖如圖2，可以表達為如圖3 的形式。其中Ga(S)和Gb(S)分別表示振動臺前饋控制環節和反饋環節的傳遞函數，由于振動臺三參量控制環節的相關參數可以從控制軟件直接讀取得到，即前饋環節和反饋環節的傳遞函數Ga(S)和Gb(S)可認為已知，經圖3進行逆向變換便可以推導得到系統開環傳遞函數如式（4）所示，

圖1 振動臺三參量控制原理圖Fig.1 Schematic diagram of three variable control

圖2 振動臺閉環系統框圖Fig.2 Block diagram of shaking table closed-loop system

圖3 振動臺閉環系統簡化框圖Fig.3 Simplified block diagram of shaking table closed-loop system

1.2 LSTM網絡原理

LSTM 網絡由輸入層、隱藏層和輸出層構成，其中隱藏層節點由一組循環連接的數據單元組成，LSTM 網絡的結構示意圖如圖4所示。每個隱藏層包含一個或多個自鏈接的存儲單元和三個乘法單元（輸入門、輸出門和遺忘門），分別完成隱藏層的寫入、讀取和復位操作。具體的前向傳播公式如式（5）［27］：

圖4 長短時神經網絡結構圖Fig.4 Structure diagram of LSTM

式中：輸入權重為{Wf,Wi,WC,Wo}；偏差是{bf,bi,bC,bo}；xt表示模塊t時刻的輸入；ft，it，Ct，ot分別代表t時刻模塊遺忘門輸出，輸入門輸出，細胞狀態以及模塊的輸出。

網絡訓練流程圖如圖5 所示。文中選擇了適合大規模數據的ADAM 優化算法，通過計算和校正每輪梯度的一矩陣、二矩陣以實現實時調整學習率，其衰減方式類似動量，如式（6）：

圖5 網絡訓練流程圖Fig.5 Network training flow chart

式中，β1，β2∈[ 0,1 )為衰減系數，偏差修正公式為：

ADAM算法更新公式如下：

1.3 試驗與仿真流程

文中的主要研究目標是探討基于LSTM 網絡對振動臺開環系統進行網絡模擬的可行性。原則上，為獲取表征真實振動臺特性的網絡模型，應當基于振動臺開環系統的實測數據進行振動臺開環網絡模型訓練。但由于訓練過程中需要進行多次試驗，獲取實測數據耗工耗時。為簡化研究工作，文中首先利用實際振動臺的白噪聲試驗進行閉環特性實測，辨識得到振動臺閉環傳遞函數模型，進而推導得到振動臺系統的開環傳遞函數，以開環傳遞函數模型生成的仿真數據作為網絡模型的訓練數據，對構造的LSTM 網絡模型進行了網絡模擬。

2 試驗測試與辨識

2.1 研究對象

以某3 m×3 m 振動臺做為研究對象，該振動臺為水平雙向臺，其主要性能指標如表1所示，為簡化系統建模與仿真，文中選擇該振動臺的X向特性進行辨識、建模與網絡仿真，因此，仿真訓練僅考慮了該振動臺的單軸特性。

表1 地震模擬振動臺系統性能參數指標Table 1 Performance parameters of shaking table system

三參量控制下的單軸振動臺系統構成如圖2所示，其中，作動器和臺面系統（忽略試件特性的影響）具有3 階傳遞函數特征，三參量控制器的前饋環節是一個2 階傳遞函數，在考慮傳感器和伺服閥2 階特性的情況下，整個振動臺閉環系統具有9階的傳遞函數特性，其開環系統為7階傳遞函數。

2.2 系統辨識

激勵信號的選取是系統辨識的關鍵，激勵信號需要滿足以下條件：（1）持續激勵，即該信號能夠充分激勵被辨識系統的所有模態；（2）激勵信號相對被辨識系統要有較寬頻帶。白噪聲是寬帶信號，且功率譜在頻率均勻分布，因此，本文在空載條件下輸入0.075 g白噪聲數據，得到的實測輸入輸出信號作為辨識信號。辨識得到9階振動臺閉環系統傳遞函數如式（9）所示，該傳遞函數的Bode圖如圖6所示。

圖6 閉環傳遞函數Bode圖Fig.6 Bode diagram of the closed loop transfer function

式中：m= 9,n= 6，c0= -8.07 × 1015,c1= 3.131× 1015,c2= -1.255× 1014,c3= 1.836 × 1012,

c4= -2.171× 1010,c5= 9.895× 107,c6= -5.781× 105,d0= 5.717 × 1015,d3= 5.134 × 1012,

d4= 6.696 × 1010,d5= 1.008 × 109,d6= 5.822 × 106,d7= 5.849 × 104,d8= 131.6,d9= 1

如圖7 為白噪聲輸出時域對比局部放大圖，波形相關系數為0.91。圖8 為白噪聲輸出的功率譜對比圖。結果表明，所辨識得到的傳遞函數模型的時頻域特性與實際輸出基本一致，辨識得到的傳遞函數模型可以表征辨識對象的特征。

圖7 時程對比圖Fig.7 Comparison diagram of time history

圖8 功率譜對比圖Fig.8 Comparison diagram of power spectrum

振動臺控制環節的相應參數已知，可以分別得到三參量前饋環節和反饋環節的傳遞函數如下：

根據式（4）推導可以得到開環系統的傳遞函數如式（12）所示，其Bode圖如圖9所示。

圖9 振動臺開環傳遞函數Bode圖Fig.9 Bode diagram of the open loop transfer function

式中：m=7,n=4，c0=0,c1=0,c2=6.938×1014,c3=-1.444×1012,c4=1.889×109,d0=3.122×1016,d1=1.495×1015,d2= 1.71× 1013,d3= 1.559 × 1011,d4= 5.961× 108，d5=1.558×106,d6=2150,d7=1。

3 LSTM網絡訓練與評估

3.1 訓練數據的獲取

選取Chichi 波、El Centro 波、Taft 波等25 條常用地震波，基于開環傳遞函數進行仿真，最終得到25 組地震波輸入輸出數據做為訓練數據來完成網絡模型的訓練，用另外的5 組地震波進行仿真得到的地震波數據做為測試數據對網絡模型的泛化能力進行測試。

3.2 網絡訓練與測試

網絡訓練流程圖如圖10所示。文中采用的LSTM網絡模型由以下結構構成：輸入層、隱藏層以及全連接層。其中輸入層選取了序列輸入層，隱藏層即LSTM 層選取20 個節點，用于接收輸入層傳輸的時間序列信號，LSTM 層輸出的時序信號經全連接層后輸出也為時間序列信號。選擇適合大規模數據的ADAM 優化器作為優化函數，并設置了自動下降的學習率。設置了迭代次數為5 000 次，以均方根誤差（RMSE）作為模型訓練精度的評價指標，其表達式如式（13）所示，

式中：y(i)為傳遞函數輸出的目標值值；)為神經網絡模型輸出值；N為數據樣本數。

其隨迭代次數的變化如圖10 所示。由圖可見，均方根誤差在迭代前2 000 次有較明顯的下降，迭代2 000 次以后基本趨于平緩，迭代4 000 次以后只有微小的變化，繼續增加迭代次數并不會對網絡模型訓練精度有明顯的提高。

圖10 訓練進程圖Fig.10 Training progress diagram

為驗證網絡模型的訓練精度和泛化能力，基于測試集對網絡模型進行了驗證，網絡模型的輸出與目標輸出的波形相關系數均≥0.96，以下給出了其中一個驗證集的驗證結果圖，如圖11為目標輸出與網絡輸出時程對比圖，圖12 為其局部放大圖，目標輸出與網絡輸出的波形相關系數為0.99，均方誤差為1.268 4 × 10-4。測試結果表明該LSTM開環網絡模型具有理想的訓練精度和泛化能力，得到的LSTM網絡模型能夠很好的表征開環傳遞函數模型的特征。

圖11 測試集時程對比圖Fig.11 Comparison diagram of test set

圖12 測試集時程對比局部發大圖Fig.12 Partial enlarged diagram of test set

4 結論

（1）文中基于最小二乘原理對單軸振動臺閉環特性進行了傳遞函數辨識，并基于閉環－開閉環模型轉換得到振動臺的單軸開環傳遞函數?；贚STM 網絡對振動臺開環模型進行了模擬，測試結果表明該LSTM 模型具有很好的訓練精度和泛化能力，由此說明LSTM網絡具有應用于振動臺開環系統特性模擬的巨大潛力。

（2）文中研究工作是開展振動臺系統影響因素分析和控制算法改進和優化的基礎，可為復雜高性能地震模擬振動臺的算法設計和系統仿真提供了依據所參考和借鑒。

（3）由于振動臺系統的復雜性，建立能夠充分反映振動臺系統特性的數值模型仍然是開展振動臺控制算法設計和優化的重大挑戰之一，循環神經網絡尤其是LSTM 網絡具有強大的非線性表達能力，可以用于振動臺開環系統模擬和控制系統分析。受研究周期限制，文中尚未開展多自由度振動臺系統特性和直接利用實測數據進行LSTM 網絡訓練等工作，在進一步研究中將考慮基于包含試件模型的多自由度振動臺系統模型的深度網絡建模與仿真工作。