水平及豎向地震下的鋼筋混凝土框架混合試驗方法

郭玉榮，朱釗利

（1.湖南大學土木工程學院，湖南長沙 410082；2.建筑安全與節能教育部重點實驗室，湖南長沙 410082）

引言

已有的地震記錄表明，近場地震會出現較為顯著的豎向地面加速度，豎向地震對結構的破壞不可忽視。早在20世紀70年代，錢培風［1］就從近場地震震害現象中發現了豎向地震對結構的破壞作用。周正華等［2］以國內外數十次近場地震的地面加速度記錄為基礎進行分析，結果表明在近場區豎向地震效應顯著。在水平和豎向地震的同時作用下，框架結構中柱子軸力的大幅持續變化會對柱的承載力、剛度和滯回性能等產生顯著的影響，從而影響框架結構的地震響應。混合試驗方法為模擬結構地震響應提供了一種新型有效的手段，但以往的建筑結構混合試驗方法大多只考慮水平地震作用或多維地震加載僅應用于驗證性的簡單結構案例。研發多高層鋼筋混凝土框架結構在水平及豎向雙向地震作用下的混合試驗方法，可以進一步拓展混合試驗方法的應用。

混合試驗［3］源于擬動力試驗，其將完整的結構分為試驗子結構和數值子結構兩部分，試驗子結構是將地震作用下容易破壞的強非線性部分進行加載試驗，而數值子結構是將其余部分進行計算模擬。近年來，不少學者對混合試驗方法進行了研究并開發了相應的試驗平臺或軟件，如OpenFresco［4］、UI-SimCor［5］、Net‐SLab［6］、P2P 分布式混合試驗平臺［7］、HyTest［8］、MTS-OpenFresco-MATLAB 混合試驗系統［9］等。在使用這些平臺或軟件進行結構混合試驗時，由于試驗設備和加載條件的限制，往往只進行結構在水平地震激勵下的混合試驗，如范云蕾等［10］采用2 個水平作動器對一榀十層三跨鋼管混凝土組合框架結構進行了子結構擬動力試驗，郭玉榮等［11］采用一個水平作動器對一榀十層三跨BRB 組合框架進行了混合試驗，王貞等［12］采用4 個水平作動器對6層預制鋼筋混凝土剪力墻盒子結構進行了混合試驗，蔡新江等［9］采用1個水平作動器完成了一榀兩層單跨鋼框架的混合試驗，張琦等［13］用4 個水平作動器對一個局部單層的三層多跨偏心支撐組合鋼框架結構進行了遠程協同混合試驗。此外，哈爾濱工業大學吳斌教授課題組［8，14］在進行水平地震激勵下的單層單跨鋼框架混合試驗中，采用3 個MTS 作動器完成試驗子結構柱頂邊界3 個自由度的協調控制位移加載，為多維加載控制的結構混合試驗提供了設備技術支持。在多向地震同時激勵的結構混合試驗研究方面，鐘樹生［15］利用桿系模型編制了水平及豎向地震聯合作用的混合試驗程序，并進行了兩層一跨鋼筋混凝土框架的混合試驗；袁志仁［16］提出了基于修正的OS法的水平及豎向地震混合試驗方法，同樣進行了兩層一跨鋼筋混凝土框架的混合試驗。但是總的來說，水平和豎向地震激勵下的結構混合試驗方法研究還比較有限，存在數值子結構模擬效果差、時程分析計算精度低等問題。

近年來，作者所在單位建設了大型多功能加載設備MUST，4 個豎向布置的作動器合計可施加2 000 t的力，2個水平作動器合計可施加400 t的力，為實現水平和豎向地震同時激勵下的混合試驗提供了設備支持。結合該設備，文中研發一種多高層框架結構在水平和豎向地震共同作用下的混合試驗方法，采用Matlab 編寫整體結構運動方程求解模塊，并連接通用結構有限元分析軟件OpenSees求解數值子結構的恢復力來編制結構混合試驗程序。以一榀七層三跨框架為例，通過對比分析混合試驗的誤差大小和誤差來源來驗證文中方法的可行性和有效性。

1 水平和豎向地震下的混合試驗基本流程

結構混合試驗主要包含3 個核心內容：（1）試驗子結構，該部分為真實構件在實驗室中進行加載試驗；（2）數值子結構，該部分利用計算機建模模擬；（3）整體結構運動方程的建立與求解。

在進行框架結構的混合試驗時，一般取受力較為復雜的柱子為試驗子結構。水平地震作用下框架結構的傾覆力矩變化會引起柱子的軸力變化，但是這種軸力變化幅度相對較小。在豎向地震作用下，柱子的軸力持續發生變化且變化幅度較大。高水平、大幅度的軸力變化會顯著影響柱子的抗彎承載力、剛度和滯回性能等特征，從而對框架結構的地震響應產生較大影響。因此，當進行水平和豎向地震同時激勵下的框架結構混合試驗時，從框架結構中取出柱子為試驗子結構進行試驗加載，需要試驗設備具有變軸力的加載能力，如圖1所示。

對于圖1 中的數值子結構，需要對柱子的非線性滯回性能進行數值模擬。以往的混合試驗常常采用經驗的恢復力模型來計算構件的恢復力，當考慮軸力變化對柱子的滯回性能產生影響時，則恢復力模型參數也需要相應的修正，這種模擬方法編寫程序非常復雜。即使采用這樣的方法，依舊不能很好地模擬軸力變化下的柱子受力性能。為了更真實地獲取每一積分步下的柱子恢復力，利用OpenSees 構建數值子結構的纖維模型，纖維模型能對構件的受力狀態進行較好的模擬。利用位移加載的方式，在每一積分步數值子結構加載水平和豎向預測位移，并返回預測位移下的結構內力。

圖1 混合試驗示意圖Fig.1 Schematic diagram of hybrid simulation

為了實現水平和豎向地震下的混合試驗，需要建立框架結構的整體運動方程。結合樓板平面內無限剛性的假定建立水平運動方程，樓板平面外有限剛度假定建立豎向運動方程。采用Matlab 編寫程序建立運動方程，同時利用數值積分方法進行時程分析，計算每一積分步上的結構運動狀態。

水平和豎向雙向混合試驗的基本流程如下：

步驟1：已知第i－1 步的位移、速度加速度。利用PC－Newmark 法分別計算第i步的水平預測位移和預測速度、豎向預測位移和預測速度。并將水平和豎向預測位移發送給數值子結構和試驗子結構。

步驟2：OpenSees 中的數值子結構利用預測位移進行各節點的加載，并獲得相應的內力以及對應的恢復力。

步驟3：試驗子結構柱利用對應的預測位移進行加載，并獲得剪力和軸力。

步驟4：Matlab 中整合獲得的恢復力形成水平恢復力列向量和豎向恢復力列向量。利用恢復力列向量計算水平、豎向加速度，同時修正水平、豎向位移和速度。

步驟5：重復1～4 的過程，直至試驗結束。

具體的混合試驗流程如圖2所示。

圖2 水平和豎向地震下混合試驗流程圖Fig.2 Flow chart of hybrid simulation under horizontal and vertical earthquakes

2 水平和豎向地震下混合試驗的關鍵問題

2.1 邊界條件的處理

混合試驗的關鍵問題之一是邊界條件的控制，數值子結構和試驗子結構之間邊界條件的協調會影響混合試驗的精度和效果。對于二維平面框架，梁柱節點一共有3個自由度，也就意味著物理子結構和數值子結構之間的邊界條件需要保持3 個自由度的協調。試驗子結構的邊界條件一般由作動器實現，但是大多數的實驗室因設備條件限制無法做到同時控制柱頂的3個自由度，往往忽略轉動自由度，只控制水平和豎向自由度的位移。因此，結合MUST設備加載能力，文中的混合試驗方法也只控制柱頂的水平和豎向自由度。對于水平和豎向自由度，采用位移控制的方法，在混合試驗的過程中保證數值子結構和試驗子結構邊界的水平和豎向位移一致。

2.2 結構振動模型

確定時程分析的結構振動模型是混合試驗的關鍵步驟，實際中通常會將平面框架的質量集中在各個梁柱節點，同時考慮各個節點的水平、豎向和轉動自由度。節點轉動自由度的計算存在一定困難，同時由于試驗設備的限制，選擇忽略結構節點的轉動自由度。當選取的框架結構的梁柱線剛度比足夠大時，節點近似不發生轉動，不考慮轉動自由度所帶來的誤差可以忽略不計。忽略節點的轉動自由度時，可以縮減結構的動力自由度。根據劉季［17］的推導，當水平和豎向地震同時作用時，豎向振動是獨立的，豎向振動的運動方程如式（1）：

式中：M為質量矩陣；CV為結構豎向阻尼矩陣；KV為結構豎向剛度矩陣；Y為豎向位移列向量；I為單位列向量。

水平和豎向地震同時作用時，結構的水平振動和豎向振動耦合，其水平振動的運動方程如式（2）：

式中：CH為結構水平阻尼矩陣；KH為結構水平剛度矩陣；KG為幾何剛度矩陣；X為水平位移列向量。

當不考慮結構的幾何非線性時，方程（2）中的KG= 0，則水平與豎向振動不耦合。因此，不考慮水平和豎向運動的耦合性，即水平和豎向運動分別獨立計算。

通常假定樓板平面內的剛度無窮大，在水平地震作用下，同一層的水平位移是相等的。因此可以將同一層的質量集中在一起，形成串聯質點系模型，即層剪模型。而在豎向地震下，樓板的平面外剛度很小，并且梁的剛度也是有限的，同一層樓的豎向位移不能近似相等。因此，在豎向地震作用下的結構豎向運動計算不能采用串聯質點系模型，需要采用串并聯多質點系模型［18］，水平和豎向振動模型如圖3所示。

圖3 水平和豎向振動模型Fig.3 Horizontal and vertical vibration models

2.3 水平和豎向運動方程

在地震作用下結構會進入彈塑性狀態，運動方程中的恢復力項無法用恒定的剛度表示。同時，由于結構在豎向受到初始靜力作用，在運動方程中必須考慮這部分靜力作用的影響。

由于水平和豎向運動分別獨立計算，在水平和豎向地震作用下結構的豎向運動方程和水平運動方程如式（3）和式（4）所示：

式中：fV為結構的豎向恢復力列向量；fH為結構的水平恢復力列向量；Pg結構初始豎向荷載列向量。

建立運動方程時，需要獲取結構的阻尼矩陣，文中方法采用Rayleigh阻尼。Rayleigh阻尼的構造如式（5）所示：

對于豎向和水平的阻尼矩陣，分別采用對應的質量和剛度矩陣。

2.4 混合試驗時程分析的數值積分方法

混合試驗的核心是對結構進行地震作用下的時程分析，時程分析常常采用數值積分方法。文中采用PC-Newmark 法進行時程分析。PC-Newmark 法又被稱作預測－校正Newmark 法，其擁有較好的穩定性和較高的計算精度，預測及校正的過程適用于混合試驗。

PC-Newmark法把一個數值積分步的計算分為預測和校正2部分。預測部分公式如（6）和（7）所示：

式中：為第i+1 步的預測位移和預測速度列向量；di、vi和ai為第i步的位移、速度和加速度列向量；β、γ為數值積分算法參數，可取β=0.25，γ=0.5。

校正部分公式如式（8）～式（10）所示：

式中：ai+1為i+1 步的加速度列向量；為預測位移作用在結構上獲得恢復力列向量；ag,i+1為第i+1 步的地面加速度；di+1為結構校正位移列向量；vi+1為結構校正速度列向量。

3 混合試驗數值模擬

以一榀七層三跨的鋼筋混凝土框架為例，通過對比虛擬混合試驗和單獨用OpenSees進行時程分析來驗證文中所提出方法的可行性和有效性。

3.1 數值模擬模型概況

所選取的一榀七層三跨框架如圖4 所示。該框架底層層高為3.7 m，其余層層高為3.0 m，跨度6.0 m，柱和梁截面分別為600 mm×600 mm 和600 mm×1 400 mm。框架結構梁上的分布荷載為39 kN/m，邊節點集中荷載為198.75 kN，中節點集中荷載為240 kN。框架邊節點質量為32.22 t，中節點質量為48.37 t。地震波選取El Centro 波的水平和豎直分量，水平向的峰值加速度調整為0.9 g，豎向的峰值加速度調整為水平向的2/3。整體時程分析的持時為15 s。

圖4 框架結構分析模型Fig.4 Analysis model of frame structure

取底層中柱作為試驗子結構，為了使混合試驗中數值子結構和試驗子結構之間的邊界條件相近，將試驗子結構的柱頂轉動進行約束。

本節算例選取框架結構的梁柱線剛度比較大，其主要有以下2 點考慮：（1）文中混合試驗方法忽略節點的轉動約束，為了減小其帶來的誤差，本節選取梁柱線剛度比較大的框架；（2）混合試驗的一個重要誤差來源為子結構之間邊界條件的不一致。為了減小這部分誤差，選取梁柱線剛度較大的框架，同時對試驗子結構柱頂的轉動進行約束。

3.2 彈性框架虛擬混合試驗

首先假設該框架為彈性框架，所有梁柱采用彈性單元，彈性模量E取為3 × 104MPa。利用OpenSees 模擬試驗子結構，同時結合混合試驗程序進行虛擬混合試驗。單獨采用OpenSees 對完整框架結構建模并進行時程分析，其時程分析結果作為參考解與虛擬混合試驗進行對比驗證。

虛擬混合試驗和純OpenSees 時程分析的結構底層中柱位移、內力響應如圖5 所示。為了定量分析兩者差異，計算虛擬混合試驗與純OpenSees 時程分析的誤差列于表1，誤差參考標準取為底層中柱柱頂內力和位移的平均絕對誤差（MAE）和相關系數（r）。MAE值和r值的計算公式如式（11）和式（12）所示：

表1 柱頂位移、內力時程對比的MAE值和r值Table 1 MAE and r value of comparison of displacement and internal force at top of column

圖5 柱頂位移、內力時程曲線Fig.5 Time history curve of displacement and internal force at top of column

式中：xi,ref、xi分別為真實值和對比值；Xref、X分別為真實值和對比值的向量；Cov(X,Xref)為真實值和對比值的協方差；Var|Xref|、Var|X|分別為真實值和對比值的方差，n為數據點的數目。

從圖5可以看出，虛擬混合試驗和純OpenSees時程分析的底層中柱內力和位移時程曲線比較吻合，表1中的MAE值和r值表明二者差異較小。分析其中誤差的主要來源為：

（1）數值積分方法的不同。文中混合試驗方法采用PC-Newmark法，而OpenSees時程分析采用Newmark-β法，Newmark-β法難以用于混合試驗。雖然2 種數值積分方法類似，但仍存在不同，并導致時程分析結果存在差異。

（2）節點轉動自由度的忽略。文中混合試驗方法忽略了節點轉動自由度，該簡化會對時程分析結果造成誤差。本節模擬采用梁柱線剛度比較大的框架，若梁柱線剛度比增大，則誤差會相應地減小。

（3）子結構邊界條件的不一致。文中混合試驗方法采用不完整邊界條件，其無需控制試驗子結構的轉動邊界條件。這樣的方法滿足大多數實驗室的試驗設備條件，同時也產生了誤差。本節模擬采用梁柱線剛度比較大的框架，同時對試驗子結構柱頂的轉動進行約束，這樣的處理能保證子結構之間的邊界條件相近并減小誤差。

從彈性框架混合試驗較小的誤差可見，當梁柱線剛度比較大時，數值積分方法、節點轉動自由度和子結構邊界條件這些誤差來源并不會造成較大的誤差。

3.3 鋼筋混凝土框架虛擬混合試驗

將彈性框架改為鋼筋混凝土框架，所有梁柱采用基于力插值函數的非線性梁柱單元，每個單元選取5個高斯積分點。梁柱截面為纖維截面，混凝土纖維的本構模型為Concrete01 模型，即改進的Kent-Scott-Park 模型。鋼筋纖維的本構模型為Steel01 模型，即單軸雙折線模型。柱截面配筋圖如圖6 所示，鋼筋和混凝土本構模型參數見表2。

圖6 柱截面配筋圖Fig.6 Reinforcement diagram of column section

表2 Concrete01、Steel01材料本構模型參數Table 2 Material constitutive model parameters of Concrete01 and Steel01

同樣利用OpenSees模擬試驗子結構以進行虛擬混合試驗，將純OpenSees時程分析作為參考解與虛擬混合試驗進行對比。

虛擬混合試驗和純OpenSees時程分析的結構底層中柱位移、內力時程曲線如圖7所示，平均絕對誤差MAE值和相關系數r值如表3所示，時程曲線峰值對比如表4。試驗子結構的水平滯回曲線與參考解的對比見圖8。

表3 柱頂位移、內力時程對比的MAE值和r值Table 3 MAE and r of comparison of displacement and internal force at top of column

從圖7 以及表3 的數據中可以看出試驗子結構的時程曲線與參考解存在一定差異，但時程曲線趨勢較為吻合，數值相差不大。從表3 和表4 可以發現，整體的平均絕對誤差MAE值較小，相關系數r值較為接近1，時程曲線峰值相差不大。從圖8可以看出，2種情況下柱子的滯回曲線較為接近。

圖8 子結構柱滯回曲線與參考解的對比Fig.8 Comparison of hysteresis curve of substructure column and reference solution

表4 柱頂位移、內力時程的峰值對比Table 4 The comparison of peak displacement and internal force at top of column

圖7 柱頂位移、內力時程曲線Fig.7 Time history curve of displacement and internal force at top of column

圖7 （續）Fig.7 （Continued）

對于鋼筋混凝土框架而言，虛擬混合試驗結果與參考解的誤差來源同彈性框架基本類似，即數值積分方法、節點轉動自由度和子結構邊界條件。除此之外，鋼筋混凝土框架的第4點誤差來源為阻尼的不同。雖然OpenSees時程分析和文中混合試驗方法同樣采用Rayleigh阻尼，但2種模擬所構造的Rayleigh阻尼矩陣有一定差別。Rayleigh 阻尼矩陣的構造需要結構的剛度矩陣，而結構剛度矩陣的構造需要各個構件的剛度。在構造阻尼矩陣時，文中方法采用混凝土構件的經驗剛度以構造結構剛度矩陣，而OpenSees 時程分析對構件的纖維截面進行分析從而獲得結構的剛度矩陣，兩者的差別導致了阻尼矩陣的差異。

進一步分析得出，鋼筋混凝土框架混合試驗相對較大的誤差主要來源為阻尼矩陣的不同。雖然鋼筋混凝土框架混合試驗與真實解相比存在一定誤差，但其時程曲線趨勢與真實解較為吻合，同時誤差指標MAE相對于峰值較小。因此，文中的混合試驗方法可以用于真實的混合試驗。

4 結論

文中研究了水平及豎向地震激勵下的鋼筋混凝土框架結構混合試驗方法，并結合大型多功能加載設備MUST編制了混合試驗程序，主要結論如下：

（1）分別采用串聯質點系和串并聯質點系模型模擬框架結構的水平和豎向振動，縮減了結構運動方程，同時能體現框架結構的主要振動特征。

（2）混合試驗程序采用Matlab 編寫整體結構水平和豎向運動方程求解模塊，通過連接通用的結構有限元分析程序OpenSees 進行數值子結構的非線性模擬，減少了試驗程序的開發工作量，并具有較強的數值模擬能力。

（3）通過一榀七層三跨鋼筋混凝土框架的虛擬混合試驗和OpenSees 時程分析結果對比及誤差源分析，驗證了文中方法的有效性和可行性。

文中方法在阻尼矩陣的構造上存在著不足，后續研究可以圍繞著如何構造更為精確的阻尼矩陣以提高計算精度。