高中數學競賽中的最值問題

王俏敏 林夢雷

最值問題一直是高中數學的重要內容之一，也是近年高考和高中競賽的熱點難點問題，它技巧性、綜合性強，本文探究并總結2020年全國高中數學競賽中的最值問題類型以及相應的求解方法，以饗讀者.

2不等式中的最值問題

2.1基本不等式中的最值問題

基本不等式中的最值問題是高中數學經常出現的題型，主要包括單變量、多變量的最值問題.對于基本不等式求最值問題的解題方法比較靈活，拼湊法、代換法、還原法等是常用的解題方法.

2.2 柯西不等式中的最值問題

柯西不等式在數學高考或競賽中常常出現，若是在有限制條件的多元最值問題中求“和式”的最值問題，可以聯想到柯西不等式法求解最值或拉格朗日乘數法求條件極值，再驗證極值是否為最值.

3 數列的最值問題

3.1 數列中的恒成立問題

數列中的恒成立問題是高考或競賽考題中經常涉及到的考點之一，通常可以利用放縮法證明不等式恒成立.由于數列是一類特殊的函數，具有自身的特性，也具有函數的性質和特點，因此，對于數列中的恒成立問題，可以將數列看作為函數，再根據函數的不等式恒成立的方法證明.

4 解析幾何中的最值問題

4.1 利用代數法求解最值

代數法，即由題目的已知條件挖掘并構造關于變量的等式或不等式來解決問題.該方法的關鍵是建立不等式或目標函數求解最值，

分析求解三角形面積的最值一般是弦長為三角形的底邊，點到直線的距離為高，再運用三角形的面積公式建立目標函數或建立不等式求解最值.

5 復數中的最值問題

復數中的最值型問題主要是復數模的最值，解決這類問題往往是利用復數模的性質、共軛復數的性質以及復數的幾何意義等來解題，下面介紹高中競賽題中求解此類問題的典型常用方法.

5.4 借助數形結合求最值

分析復數乘除運算的幾何意義是數形結合的點之一，利用復數的幾何意義解題是數形結合思想的重要體現.本題借助復數除法的幾何意義以及復數模的幾何意義，運用數形結合的思想進行求解.

綜上，本文主要介紹了高中數學競賽中幾大類型的最值問題，說明了高中數學競賽最值問題是“有法可依”的，絕大多數最值問題能夠找到解題通法，掌握這些解題通法，方可解決最值問題.

參考文獻

[1]穆武凈彤，高考數學中的最值問題[J].中學生理科應試，2019：6-9

[2]陳文明，復數中有關最值問題若干解題途徑[J].中學數學教學，1994（5）：15 -17