依托“等可能性”巧解比賽中的概率問題

周翔

概率部分內容是近年高考考查的熱點，對學生邏輯思維能力、歸納能力和演繹能力，以及應用與創新意識均有較高要求，本文聚焦用“事件等可能性”解決一類比賽中的概率問題，助力提升學生對此類問題本質的深度理解.

引例1七位選手依次進行跳水比賽，出場順序隨機確定，求選手甲在乙后邊出場的概率.

分析由于該問題中甲在乙的前邊或后邊是隨機等可能的，這一點不受其他選手的具體出場順序影響，故聚焦甲乙兩人之間的兩種出場排列順序，即可得甲在乙后邊出場的概率為去.

引例2甲，乙，丙三人玩“石頭、剪刀、布”游戲，需要淘汰兩人，一人勝出.現三人同時隨機出拳，求游戲只進行一回合就結束的概率，

分析設定甲已隨機出拳，此時聚焦乙、丙出拳所包含的基本事件數總共有9個，其中任何一人勝出都分別有1種可能，故“一人勝出”所包含的基本事件數共有3個，所以由游戲只進行一回合就結束的概率為3/9=1/3.

通過以上兩個引例不難發現，運用等可能性解決比賽中的概率問題的方法往往具有新穎性和獨創性，能有效提升學生的思辨能力，增強對概率意義的理解.其一般步驟是：（1）粗讀，理解比賽規則，建立恰當的概率模型及研究視角;（2）細讀，把握研究對象的概率特征，依托隨機等可能性，確立正確表述;（3）計算，運用恰當的概率公式，求得結果.顯然第2步非常關鍵，需要剔除不必要的干擾信息，挖掘題目信息中的等可能性，迅速達成解題目標.下面結合幾個典型案例進行具體闡釋.

（2020年高考全國I卷·理19題（3》甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率均為1/2，求丙最終獲勝的概率.

分析對事件空間的不同理解產生不同的解法思路.本題的一般思路是，逐一列舉出所有可能的結果，結合獨立事件的概率計算公式求出最終丙贏的概率.這一過程耗時較多，難免疏漏，此處不再贅述.事實上，第一場比賽后，勝者和丙的“境況”相同，自然產生如下解法思路：

評析上述解答以第一場比賽結束后，能負場次相同作為等可能判斷依據，結合對立轉化，體現了對概率公式和事件本質的深層次理解.

例2甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如框圖所示（圖1），其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負者稱為“負者i”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為3/4，而乙、丙、丁相互之間勝負的可能性相同，求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.

分析本題有較強的程序性，歷經多場比賽，勝負關系更為復雜，考慮到乙、丙、丁每局獲勝概率相同，仍可參照例1的解題方式，聚焦關鍵場次比賽雙方獲勝可能性異同進行必要分類（“有甲參

評析上述解答以每場比賽的參賽雙方的勝率是否相等作為討論依據，聚焦關鍵場次的賽果，優化了思維，簡化了討論.

例3某校組織有獎游園活動，高三（1）班共6人，計劃同時參加活動，該游園活動共有甲，乙，丙三個場地，6人各自隨機地確定參加順序，在每個場地猜謎一小時后去其他場地，所有場地活動結束后一起返回，設事件A為：在參加活動的第一個小時時間內，甲，乙，丙三個場地恰好分別有該班的2個人.設在參加活動的第三個小時時間內，該班級在甲場地的人數為ξ，則在事件A發生的前提下，求ξ的概率分布列及數學期望.

分析本題若按部就班從第二小時開始，研究到第三小時結束，過程較為復雜.如果參照“n張獎券中有一張為中獎獎券，若n個人逐一不放回地抽取，則每個人中獎概率一致”的基本原理，直接聚焦第三個小時的情形，將原問題化為熟悉的二項分布解決.

解由于除了第一個小時已經參加完甲場地的兩個人外，其余4人隨機地在第二、三個小時中選擇參加甲場地的活動，顯然具有等可能性，可視為4次獨立重復試驗.在事件A發生的前提下，即第一小時已經有2人參加甲場地活動，該班級第三小

評析上述解答以“第一輪未參加甲場地活動者，進入第二、三輪機會均等”作為等可能判斷依據，直接建構獨立重復試驗的概率模型，規避第二小時情況的復雜討論.

“各輪次隨機抽取等可能”的解題思想廣泛應用于“設備檢測”、“病毒檢驗”等事實際問題.下面再舉一例說明.

例4一種新的驗血技術可以提高血液檢測效率.現某專業檢測機構提取了n（n≥6）份血液樣本，其中只有1份呈陽性，并設計了如下混合檢測方案：先隨機對其中n-3份血液樣本分別取樣，然后再混合在一起進行檢測，若檢測結果為陰性，則對另外3份血液逐一檢測，直到確定呈陽性的血液為止;若檢測結果呈陽性，則對這n-3份血液再逐一檢測，直到確定呈陽性的血液為止.若n>8，采用以上方案檢測而確定呈陽性的血液所需次數為ξ，求ξ的概率分布.

評析上述解答巧借隨機抽樣公平性原則確立等可能性，將研究重心放在倒數第三次及之前的檢驗，契合已知樣本構成特征下的概率求解模式.

結語新課標對于概率學習所提出的要求是：“能夠辨明隨機現象，并運用恰當的數學語言進行表述;能夠通過數學建模的結論和思想闡釋科學規律和社會現象;能夠合理地運用數學語言和思維進行表達與交流.”[1]這一要求更加關注學生在解決問題過程中的“思維狀態”.教無定法，貴在得法，概率問題的教學要根據學生認知規律，引導學生以概率核心概念內容為基，通過對比賽中的隨機試驗過程的抽象，充分利用等可能性工具，形成“一般性觀念”，構建更加符合數學邏輯和學生心理邏輯的解題思維模式.“自然而然，水到渠成”，促使“深度學習”真實發生，

參考文獻

[1]史寧中，王尚志，普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]，北京：高等教育出版社