素養導向指引下例談平面向量參數線性運算問題的解題策略

江智如 應麗珍 周海娟

向量是溝通代數、幾何與三角的重要工具，兼具代數的嚴謹抽象、幾何的直觀理性，是許多知識的交匯點，有著豐富的應用范圍[1]，是高中數學知識的重難點之一，是高考與各類模擬競賽的必考內容，整理近年全國高考與模擬卷，向量主要以選填題形式出現，考查數量積性質與坐標運算，求解此類問題，考生一要準確記憶公式，二要準確運算，方能直搗黃龍，一舉破題.在復習備考時，教師可以基于課程標準（2017年版2020年修訂）[2]和《中國高考評價體系》[3]的理念與要求，適當提高訓練難度，系統講授奔馳定理、等和線、極化恒等式等進階知識，幫助考生加強對向量知識的理解與掌握，提高考生的“四基”、“四能”，促進數學學科素養的提升.

1 試題呈現

2020年全國高中數學聯賽（四川預賽）第1題：設AABC的外接圓的圓心為O，且30A +40B+50C=0，則∠C的大小是____.

2試題分析

本試題以平面向量線性運算為載體，考查三角形外接圓、平面向量加法性質等相關知識，考生從幾何與代數兩個角度入手，通過數學閱讀，解讀試題的圖形信息，理解與掌握平面向量數量積與圓的知識結論，建立形與數的聯系，把問題轉化為圓心角與圓周角關系求出∠C.考查數形結合思想與運算求解能力.本文對條件30A+ 40B+ 50C=0進行推廣，在素養導向指引下，探究xOA+ yOB+ zOC：0這一類平面向量參數線性運算問題的解題策略.

3概念界定

4.1.1方法歸納：初識定理本質——從數學抽象到直觀想象

“奔馳定理”的本質是三角形的相似比關系，主要出現在與三角形面積相關的題型中，應用的關鍵是根據平面向量的三角形運算法則，把已知向量關系式化簡為向量OA， OB， OC的線性表達式，其中OA， OB， OC的系數就是對應三角形的面積，再根據問題進一步探尋解題之道.考生可根據“奔馳定理”公式的對稱性特點熟記定理，依據“一拆二化三對應”思路，靈活運用公式，得到對應三角形的面積，最終順利解決問題.

評價“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”.解析1從三角形重心入手，通過系數的配平，利用平面向量運算法則，確定點P，Q位置，然后運用相似比關系得到面積比結果.需要考生理解平面向量平行四邊形法則和共線定理的幾何性質，把代數問題幾何化，考查考生數形結合思想、運算求解能力.解析2直接根據奔馳定理得到APAB的面積比值，體現奔馳定理的技巧性，為學有余力的考生提供進一步學習的平臺，踐行新課標“學生發展為本，提升素養”基本理念[2].

4.2三角形“四心”問題

三角形的“四心”是指重心、內心、外心、垂心.雖然具有不同的幾何性質，但它們有相似的平面向量表達式[4]，是“奔馳定理”的推廣，體現數學的和諧統一之美：

4.2.1方法歸納：感知四心概念——從直觀想象到數學抽象

三角形“四心”的平面向量表達式區別在于系數的幾何意義不同，考生應從系數的對稱性及幾何性質熟記公式，把已知條件轉化為表達式的標準形式，再根據對應公式確定點O的位置，畫出圖象，探尋解題的思路與方向，依據“一化二定三畫圖”步驟，運用數形結合思想求解問題.

4.3.1方法歸納感悟數形結合——從直觀想象到數學運算

等和線問題是平面向量基本定理和共線定理的推廣，可以根據3個共起點向量的系數x，y之間量的關系，把系數x，y轉化為x/k+y/k =1，確定過點P與AB平行或重合的直線，運用共線定理探尋解題的思路與方法，即“一化二比三共線”，利用向量運算法則得出結果.

4.3.2方法應用

題4著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設點O，H分別是AABC的外心、垂心，且M為BC中點，則（

）.

評價“千磨萬擊還堅韌，任爾東西南北風”.歐拉線定理揭示了三角形外心、重心、垂心之間的幾何關系，體現數學和諧統一美，由數學家歐拉在1765年提出，可從相似比關系和向量共線兩方向證明.本試題依托歐拉線定理背景材料，考查平面向量運算法則、三角形重心性質及等和線性質等知識內容，對考生的向量基礎知識水平要求較高，同時在求解的過程中讓考生感受數學文化的熏陶，體驗數學美，在“潤物細無聲”[5]中提升數學學科素養.

4.4極化恒等式問題

4.4.1方法歸納形成理性思考——從邏輯推理到數學運算

極化恒等式是向量數量積的推廣應用，通過平行四邊形法則和三角形法則，利用坐標法、三角換元法等方法轉化為函數問題，借助向量模求解，考查化歸與轉化思想、運算求解能力.考生通過加強數量積運算及坐標運算的理解與掌握，牢記模長問題中開方思路，細心計算方可迎刃而解，在思考的過程滲透對考生邏輯推理、數學運算素養的培養.的意義，然后結合垂直關系，建立坐標系，把數量積最值問題轉化為坐標運算求解，考查數學閱讀能力和推理論證能力.由于考生對向量的坐標運算容易理解掌握，因此教師可加強對向量坐標法與單位化等知識的訓練，提高考生化歸轉化思想，培養考生創新意識和創新思維，提升數學學科綜合素養.

5探究總結

波利亞（Polya）認為，中學數學教育的根本目的是“教會學生思考”.“教會學生思考”意味著數學教師不只是傳授知識，還應努力發展學生運用所學知識的能力，應該強調技能、技巧、有益的思考方式和理想的思維習慣.教師在教學時，要遵循學習過程的三個原則：主動學習，最佳動機，循序漸進[6].本文從四個問題角度探尋xOA +yOB+ zOC=o的解題策略，核心是探究系數x，y，z之間的代數性質與幾何意義的聯系，引導考生通過有效的數學閱讀，利用直觀思維抓住問題的本質，在剖析向量參數問題本質的基礎上，根據系數的性質意義追求簡潔的解題方法，力求解法來源于教材和已學知識，又高于已有知識，體現考生數學功底及繼續學習的潛能.在日常的教學實踐中，教師應加強邏輯推理能力和數形結合思想的訓練，設置有效的“精致練習”[7]，培養學生獨立思考的習慣，注重學科能力和素養的提升，促進教、學、考的有機統一，助力學生的全面發展[3]，讓學生在“潤物細無聲”中學會應用數學思想與方法解決實際問題[5].

參考文獻

[1]扛智如，基于ACT-R理論的高中向量教學實驗研究[D].福州：福建師范大學，2017

[2]中華人民共和國教育部制定，普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[3]教育部考試中心，中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019

[4]周亞軍，平面向量表示下的三角形”四心”[J].高中數學教與學， 2018 （8）：16-17

[5]江智如.利用圖象法芻議函數整數解問題的解題策略[J].中學數學研究（華南師范大學版）， 2019 （4）：10-13

[6]張奠宙，宋乃慶，數學教育概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009

[7]江智如，高中平面向量教學中的“精致練習”[J]，福建中學數學， 2016 （1）：16-19