梳理 構建 內化 提升

石先兵

筆者開授了一節市級公開課——《一次函數復習課》受到好評.筆者將這節課的教學設想、教學過程及教學思考整理如下.

1 教學設想

（1）激發學生對所學知識形成全局理解

筆者認為，復習課除了對所學知識進行有針對性地查漏補缺外，還要協助學生梳理所學知識的脈絡，構建多維的知識結構體系，引導學生“發展”地再認識所學知識.進一步內化數學思想方法，真正提高解決數學問題能力，提高課堂復習效率，提升數學素養.本節課根據學生己學過的平面幾何與代數中相關知識的關聯為主線，教學過程中緊緊抓住點和坐標（有序實數對）一一對應的關系，讓學生體悟點是平面幾何的基本元素，在平面直角坐標系中點對應的代數形式就是研究橫縱坐標之間的關系，讓學生和知識一起生長、發展，在復習的過程中感受平面幾何和代數的本質，體悟數形結合的美妙.

（2）教師要用邏輯思維講述故事

本章是學生學習函數的第一階段，也是用解析法研究平面圖形性質的重要階段.引導學生從“運動變化和聯系對應”的角度認識函數，重視函數這一重要概念中蘊含的數學思想，從而有意識地體會函數的本質成為設計時考慮的重點.教學設計時從數學角度描述或刻畫直線，引入笛卡爾等數學家用解析法研究平面圖形的典故，為學生用解析法研究平面圖形播下了一粒種子.由直線得到一次函數解析式后，通過列表利用表格中橫縱坐標（或自變量的值與函數值）的對應關系讓學生體驗一次函數中自變量的值和函數值是“一一對應，均勻變化”的，再通過探究推理對一般的一次函數也有了變化和對應的初步認識和體會.在一條直線的基礎上添加另一條直線，從而研究兩條直線平行和相交的情況下產生的問題，探究并體會研究平移和對稱的關鍵——研究點.兩條直線相交產生的面積問題同樣由點確定，總結歸納割補法需要填加的輔助線的知識源頭：點坐標的得來——過點做x軸或y軸的垂線.當觸及到解決問題的本質，也就是到了故事的高潮，使學生有恍然大悟，一覽眾山小的體驗.

2 教學過程

活動1課前兩分鐘閱讀材料“笛卡爾簡介及坐標幾何（解析幾何）”.

設計意圖讓學生對笛卡爾及解析幾何有個初步的認識，也為課題的引入做好鋪墊，

問題1平面內的一條直線，如何從數學的角度來描述或刻畫它？

設計意圖刻意制造矛盾，激起學生對所學知識的回憶，并感受引入平面直角坐標系的必要，也是從“形”到“數”來研究直線的開端.

問題2平面直角坐標系中已知兩個點的坐標求出一次函數解析式的方法是待定系數法，為什么可以用待定系數法？

設計意圖喚起學生對所學方法的深層思考，把方法和概念構建聯系，同時讓學生體會數學名詞的合理性、自然性.

設計意圖 以具體函數為載體，以表格的形式讓學生體會一次函數“x”與“y”的值是一一對應的：己知“x”的值，由解析式可以得到唯一的“y”的值;同樣己知“y”的值可以解出唯一的“x”的值.通過具體數值的變化規律和數學推理讓學生感受一次函數y= 2x+1中自變量的變化值和其對應函數值的變化值是成正比例的（比值是2），從而體會一次函數y= 2x+l是均勻變化的，達到“以數釋形”的目的.

問題3對于一次函數y= kx+ b（k≠0），自變量的變化和對應函數值的變化是不是也呈現類似的規律呢？

設計意圖由特殊到一般，讓學生從“運動變化和聯系對應”的角度認識和真實感受一次函數.

活動3已知一次函數y= 2x+1，如何畫出函數圖象？結合圖象說說函數圖象的性質.對于一次函數y= kx+ b（k≠0），利用表格對k和b進行分類并畫出對應的一次函數圖象，說說共性質.

設計意圖從“數”到“形”再次認識一次函數，并從特殊到一般熟悉函數圖象和性質.

并在活動3的基礎上追問：若知道一次函數圖象的位置，能否知道k和b應滿足的條件.引導學生并強調動手畫出圖象，結合圖象解決問題，將數形結合的思想變為實踐，領悟函數圖象的作用.

設計意圖通過一組從易到難的變式問題，使學生進一步熟悉運用函數圖象的性質解決問題.教師結合PPT演示如何利用函數圖象由自變量的大小關系找到對應函數值的大小關系，使學生不斷體會函數圖象的作用和數形結合的方法.

設計意圖使學生學過的二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式產生關聯，構建多維的知識結構體系，同時結合PPT更直觀地“以形表數”.

問題5借用一次函數y= 2x+1的圖象，你還能解決什么問題？

設計意圖設計開放的問題，讓學生發揮想象力，讓圖形和知識產生關聯.學生會想到求出圖象與坐標軸的交點，可以求出圖象與坐標軸圍成的面積，由勾股定理求出直角三角形斜邊長，由面積法求出斜邊上的高（也是原點到直線上點距離的最小值）等等.對一個圖形盡可能展開聯想，讓學過的知識和方法聯結起來，形成知識網絡，重新構建知識體系.

問題6研究完一條直線，再看兩條直線.平面中兩條直線有哪些位置關系呢？如平行于l1：y=2x+1的直線l，經過點（-1，1），求，，的解析式.

設計意圖讓學生進一步明白平面直角坐標系中兩個條件可以確定直線方程（一次函數解析式），同時為接下來的問題提供載體.

活動5平行是兩條直線的位置關系，也是兩條直線靜態的描述，從動態的角度來說平行可以是平移，試探究直線l2可以經過怎樣的平移變化得到l1？

設計意圖學生容易得出直線l2：y= 2x+3可以是由ll：y=2x+1向上平移2個單位得到的，追問學生是怎么得到這個平移變換的，學生會通過兩直線和y軸的交點（0，1）與（0，3）這一對對應點的變換得到.追問：從圖形上也可以就看出直線l1向左平移亦可得到厶，那么向左平移多少得到l2呢？引導學生可以借助于一組對應點（如兩直線和x軸的交點（-0.5，0）與（-1.5，0））來解決問題，由此兩條平行的直線可以借助任意一對對應點的變換來研究平移，讓學生體會圖形的變換本質是點的變換.在此基礎上，進一步拓展：除了平移還學習了對稱，能不能求出ll：y=2x+l關于x軸（或y軸）對稱的直線方程呢？引發學生的思考.

設計意圖這是開放性問題，學生從交點Q（l，m）發散開來，得到二元一次方程組與圖象交點的關系;得到圖象的位置關系對應著函數值的大小關系或不等式;得到一些圖形的面積如四邊形AOCQ的面積，學生能夠用多種方法求解.教師引導學生總結：在平面直角坐標系中點可以確定位置，也可以確定圖形，不規則圖形的面積采用割補法的關鍵是利用點的坐標得到其代數表示……讓不同的想法在此圖基礎上百花齊放，更重要的是在解決問題的過程中體現了對數學模型和數學結合思想的領悟和應用.

活動7這節課你有哪些收獲？是否對一次函數有了進一步的認識？

設計意圖對本節課的知識和方法作一次回顧，使學生對所學知識和方法與一次函數進一步構建聯系，重構知識體系，使數學模型和數形結合的思想進一步內化.

3 教學思考及啟示

復習課如何“老歌唱出新意”？不是“確認”知識的對錯，而是用數學思維演繹數學故事.高效的復習課應該讓學生站在視野更高處構建知識體系，應該是讓學生在思維更深更廣處感受知識和方法的生長、發展，感受自己的發展、提升.因此，復習課教學建議考慮從以下四個方面：

3.1梳理復習主線要明晰

要想高效復習，盡可能讓更多的學生從復習課中受益，教師要勇于突破教材，總結歸納相似或相近的知識，在原有的知識結構和體系中再生長，要選好選準一條復習的主線：結合已學過或將要學習的知識、方法，對所復習的知識進行再加工，整合、甚至推進.要分析所復習知識在教材及數學中的地位，提煉所復習知識中蘊含的思想方法，梳理所復習知識的脈絡，用數學思維演繹所復習的知識，

本節課從一條直線研究起，到兩條平行或相交直線，再到圖形面積，這其中一次函數把它們串在了一起，“以數釋形”;同時學過的二元一次方程或方程組、一元一次方程、一元一次不等式可以從函數圖象的角度看待，“以形表數”.而所有問題的歸宿最后落在了點和坐標上.附本節課板書設計如圖2：

3.2 構建知識體系要連貫

知識結構體系化才能以點帶面，使學生在結構下，網絡下，體系下俯瞰知識的形成及發展過程，才能真正形成能力和素養，才能促進學生的生長、發展.教師要打開各章節知識的通道，貫聯前前后后的內容，同時聚焦所要復習知識的核心內容，讓復習課成為各章節知識的關節.一次函數復習課就是聯結二元一次方程或方程組、一元一次方程、一元一次不等式的紐帶，同時也是后續學習二次函數和反比函數的重要基石.

3.3內化思想方法要凸顯

毫不夸張地說數學教學是數學思維的教學，數學思想方法是具體數學知識的靈魂，數學思想方法對學生的影響往往要大于具體的數學知識.數學思想方法是以數學知識為載體來實現的，而對于隱含在數學知識中數學思想方法的認識是需要一個過程的.需要教師潛移默化、持之以恒的點撥.本節課力求通過對函數解析式與函數圖象的結合，引導學生從“運動變化和聯系對應”的角度認識函數，讓學生體會和逐步感受數學思想方法的重要作用.

3.4 提升思維能力是關鍵

復習課教學怎樣盡可能切實提升學生的思維能力是值得探索的問題.只有學生在教師的引導下構建多維的知識結構體系，重新認識所復習的知識，通過經歷知識的再發生并發展，看清數學問題的本質，從而站在一定的高度，切實提高解決問題的能力，進而提升數學思維能力.