基于體驗與感悟的“四基”教學認識與實踐

李平香 黃勇 劉盈煌

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗簡稱“四基”;數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[1].“四基”是“基礎”，“基”是“開始”，事物發展的起點叫“基”，沒有它就是“無源之水”;“基”是“根腳”，事物的本源叫“基”，沒有它就是“無根之木”;“基”是“基調”，主要觀點、基本思想就是“基調”，沒有它就是無舵之舟.“四基”是“基本”，“基本”蘊含基本事實，凸顯簡潔之美，顯示基本條件，折射事物本源，貫穿事情始終，孕育復合.某個事物能被冠以“基本”就意味著地位很重要，是屬于樹根和樹干部分，具有生長與創新功能.所以，“四基”是“基礎”+“基調”+“基本”.“體驗”主要是指“學習體驗”，學習體驗可以理解為學生通過有目的有引導的學習實踐活動來感受、體會、領悟周圍的事物，以及由此獲得相關知識、技能、情感與觀念等內容的過程.在數學課堂中通過教師有意識地引導教學生“體驗”，能夠使得學生深化所掌握的有關表層知識，進而對蘊涵于其中的知識與技能、數學思想方法、情感與觀念等內容有所感悟和體會[2].在當前素養導向的教育背景下，學界再次聚焦單元教學，通過單元整體教學設計落實核心素養的培養.在單元整體教學中，如何根據“四基”各自的特點，發揮“四基”各自的特長，引導學生自主體驗與思想感悟，讓素養根植于肥沃的“四基”土壤，根深葉茂、花開芬芳呢？

1 在數學基礎知識的積累過程中，體驗知識的生長，悟根源

中學數學基礎知識是指代數、幾何、統計與概率等模塊中的概念、法則、性質、公式、定理、公理，以及由其內容所反映的數學思想和方法[3].章建躍博士指出：基礎知識的教學，核心是使學生形成良好的數學認知結構.數學認知結構是指人的頭腦中的知識結構，既包括學生頭腦中全部的數學概念、公式、法則、定理、公理等，又包括這些知識的組織方式[4].“數學從根本上是玩概念的”，概念是數學大廈的基石，是數學思維的核心，概念教學是數學教學永恒的主題.概念教學要實現從表面到本質，從抽象到具體，從孤立到系統的跨越;概念課的主旋律是讓學生參與概念本質特征的概括活動，引導學生順應知識的內在邏輯的發展、順應思維的心理邏輯的發展，自然地、水到渠成地實現概念從產生到形成，再到發展的跨越;概念是思維的細胞，在概念學習中養成的思維方式、方法遷移能力最強.因此，概念教學的意義不僅僅在于使學生掌握書本知識，更重要的是讓學生體驗數學家概括數學概念的心路歷程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發展智力和培養能力[5].數學法則、性質、公式、定理、公理等教學統稱為中學數學命題教學，王光明教授對數學命題教學提出了一系列策略，其中特別強調整體性教學策略要貫穿命題教學過程的始終，教學中要注意揭示數學知識之間的有機聯系，加強命題知識的縱向和橫向聯系，注重數學命題知識結構的完整性，構建命題的知識體系，完善學生的數學認知結構[6];在命題教學的獲得、證明、應用階段，教師要通過適當的方式，啟發學生直接或間接地感受、體驗數學知識產生、發展、演變的動態過程，注意引導學生積極主動地進行思考，在教學過程中充分暴露數學家及數學教育家的思維活動、暴露數學教師自己的思維活動以及學生的思維活動，讓學生看到思維的過程.因此，數學命題教學的意義不僅僅是數學概念的展開、聯結、深化，同時也是數學問題教學的基礎，是形成數學技能、培養數學能力的重要途徑[7].魏書生先生指出：“知識是生長出來的，學生的學習過程是知識不斷積累和能力不斷提高的過程，新知識的學習是在原有基礎上進行的老枝發新芽”.一些數學概念是在已有概念的基礎上生長出來的，而數學命題是數學概念與概念的聯合.因此，在數學基礎知識的教學中，教師要始終注意引導學生體驗新知與舊知的聯系與發展，體驗新知在舊知上的延伸與拓展、聯合，在理解基礎知識的過程中，體驗知識的生長，感悟知識的根源.

2 在數學基本技能的演練過程中，體驗技能的嫻熟，悟方法

中學數學基本技能包括運算、推理、識圖與作圖、數據處理等.其中，“運算”與“推理”是數學最基本的兩大技能，“運算”被稱為數學的“童子功”，“推理”被稱為數學的“命根子”.數學技能是是特殊的心智技能，我國心理學家馮忠良教授提出了心智技能的形成一般要經歷原型定向階段、操作階段、內化階段.在定向階段，學生必須掌握與技能有關的數學概念、原理等陳述性知識，了解技能操作的依據，明確技能操作的方向，還要掌握法則、方法、步驟等程序性知識，了解心智動作的構成要素及動作次序，并在頭腦中形成有關活動方式的定向表象.此時，學生如能在陳述性與程序性數學知識之間建立起聯系，就可以在理解的基礎上掌握此技能，相應的程序性知識便成為擴大了的知識結構的一部分，為后續學習產生積極影響.技能是在練習的基礎上形成的，在原型操作階段，學生先通過模仿練習，在感性水平上獲得完備的動作映像和動覺體驗;然后，通過變式練習，擴大活動對象的范圍，使相應的活動方式具有概括性.在活動模式內化階段，學生的技能操作離開了老師的示范和語言的直接指導，達到了熟練的程度[8].我國歷來有“熟能生巧”“拳不離手”“曲不離口”的古訓與習慣，但是數學技能不同于一般的工匠技能.所以，在進行技能訓練時要注意訓練的“量”與“度”，除了要注意“精講精練”，還要注意技能訓練的“質”.“質”應從訓練后的熟練程度與能否類化，并為能力發展打下基礎等兩個方面來衡量.技能訓練的方式可以通過非本質特征變化的“題組訓練”，使學生熟悉、熟練新的心智操作方式，還可以通過“變式訓練”在形式變異中把握不變的東西，將操作方式內化，以促進規則運用的縱向遷移，讓學生在訓練過程中掌握本質性的內容[8].技能的掌握雖然體現為順利完成一定的數學解題活動，但技能訓練又不能止步于此，而應注重在技能形成發展的整個過程促進技能的理解、內化、遷移，明確用什么、怎么用、何時用、依何用，體會如何才能用對、用好、用活，更要以技能為載體訓練思維，揭示規律，挖掘其中蘊含的數學思想.也就是說，技能的訓練不能停留在有形的純技能的練習上，應注意解決問題的根本大法，即強調數學思想指導下的技能操作，并注意引導學生自己去體驗、感悟、總結、概括技能運用的步驟、方法，在數學基本技能演練的過程中，體驗技能的嫻熟，悟方法.

3 在數學基本思想的形成過程中，體驗思想的統領，悟本質

“數學基本知識”被稱為數學的“骨骼”，“基本技能”被稱為數學的“血肉”，而“數學思想”被稱為數學的“靈魂”.“境由心造，相由心生”，“思”上“田”下“心”，“心之田”也;“想”上“相”下“心”，“心之相”也，所以思想如何，對事物的判斷就如何.數學思想是對數學對象的本質認識，是認識具體數學概念、命題、規律、方法等的過程中提煉概括的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是數學活動的指導思想;數學方法是指數學活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等，是思想轉化而來的具體操作方法，可以提高效果和效率.數學思想和數學方法是緊密聯系的.通常在強調數學活動的指導思想時稱數學思想，在強調具體操作過程時則稱數學方法[9].數學思想方法是具有普適性、遷移能力強的“根本大法”，所以，數學思想方法的教學無法立竿見影，需要持之以恒、潛移默化、潤物細無聲的慢慢滲透、提煉、概括.數學思想方法的滲透教學可分為：宏觀層面的一般性數學思想教學、中觀層面的稍顯具體的數學思想提煉、微觀層面的具體解題方法等[10].數學思想方法隱含在數學知識的形成過程中，而知識的發展是按邏輯順序展開的.所以，數學思想方法的發展也有一定的順序.因此，數學思想方法的教學要注意“有序性”;數學思想方法的形成，需要經歷較長的過程，尤其是那些高度概括性的、統攝性強的并不能與知識、技能同步掌握，這時既要講究概括水平由低到高的有序性，更要注意適當拉長“悟”的過程，“悟”需要一個循序漸進、逐步逼近精神實質的過程，要在領悟數學思想方法上下功夫.因此，數學思想方法的教學要善用變式策略，通過適當變化問題情境，把在解題思想方法上相似或相關的內容，用變式的形式串聯起來，在條件變化、結論發散、適當引申、背景復雜化等變化中求不變，從變式中領悟真諦，從經驗中掌握規律.“經驗”是具體的，“具體”中蘊含著豐富的、多樣的信息，要培養“從一般規律的高度考察具體事例的意識”，養成“透過現象看本質的習慣”，善于把隱藏在“表面現象”背后的更有“含金量”的數學思想方法知識挖掘出來，引導學生體會數學思想方法對于解題活動的指導引領意義.沒有數學思想方法的滲透，就如同一棵枯萎的樹，不能發芽、展葉、開花、更不能結果;沒有數學思想方法的指引，就缺乏觀察問題的角度和技能操作的手段，“發現規律”就成“撞大運”，可遇而不可求.巴爾扎克曾說過：“一個真正能思想的人才是一個力量無窮的人”.同樣，有“數學思想”引領地數學才是有“靈魂的數學”“力量無窮的數學”.

4 在數學基本活動的粘合過程中，體驗思維的展開，悟規律

張奠宙先生提出的數學“四基”關系是如圖1的立方體，其中第一維度，是數學基礎知識的積累過程;第二維度是數學基本技能的演練過程;第三維度是數學基本思想的形成過程;數學基本活動經驗是充填在三維模塊中間的粘合劑[11].中學數學基本活動經驗主要是從特例入手.嘗試歸納探索一般規律或結論[12]，通過經歷觀察聯想、合情猜想、數學表達、驗證證明等活動過程，體驗和感悟歸納推理和演繹推理的完整思考過程，主要獲得“思維經驗”.其中，“觀察聯想”是積累獲得數學基本活動經驗的第一階段，數學中的觀察包括觀察“現象”和觀察“關系”.即從不同現象事物中察出“共性”“本質”，從相似現象中察出“區別”“聯系”，在“異中察同”，在“同中察異”，既觀察到“共性”“特性”“異性”，又觀察到事物之間的“區別”“聯系”，進而展開聯想，對已有的事物認識進行重新組合、再加工.所以，教師要引導學生會用數學的眼光觀察、發現問題;“合情猜想”是積累獲得數學基本活動經驗的第二階段，“合情猜想”包含由特殊到一般的“歸納猜想”，以及由此及彼、觸類旁通的“類比猜想”.波利亞將“聯想”分成“啟發性聯想”和“支持性聯想”，“啟發性聯想”由觀察得到啟發，通過特例揭示，利用歸納推理得到猜想，得到猜想后用支持性聯想去證明或推翻，即用其他特例驗證啟發性聯想得到的猜想.所以，教師要引導學生會用數學的思維思考、分析問題;“合情猜想”得到的結論還需要借助“數學表達”完成問題的提出，“數學表達”就是將“合情猜想”得到的結論用文字語言、符號語言、圖形語言進行敘述.所以，教師要引導學生會用數學的語言表達、提出問題;通過“觀察聯想”“合情猜想”“數學表達”等歸納、類比推理發現的一般規律或結論，還需要驗證證明，對結論進行簡單說理或反例驗證或演繹推理證明.所以，教師要引導學生會用數學的方式、方法、解決問題.數學基本活動經驗是綜合性的，是“過程”和“結果”的統一，強調個人的親身經歷，是彌補基礎知識、基本技能不能涵蓋之不足[12].因此，教學要引導學生在基本活動的粘合過程中體驗思維展開的次序、動作，在思維的展開過程中，領悟思維的規律，積淀有意義的數學基本活動經驗.

5 結語：“四基”沃土肥，“素養”花開旺

新版《課標》指出：核心素養是“四基”的繼承和發展;“四基”是發展數學核心素養的有效載體，是數學核心素養培養的沃土[1].數學基礎知識、基本技能主要體現為結果性的知識、客觀性的事實，而數學基本思想、基本活動經驗則是在學習過程中學生主體獲得的主觀性體驗和感悟，它們的結合，使數學學習中的結果與過程、客觀與主觀、靜態與動態、外在與內化有機地結合起來，相輔相成，相互為補[13].教學中，教師要善于根據“四基”特點，發揮“四基”特長，引導學生自主體驗與思想感悟，讓素養根植于肥沃的“四基”土壤.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部，普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2]嚴虹，游泰杰，呂傳漢，對數學教學中“教思考教體驗教表達”的認識與思考[J].數學教育學報，2017，26 （5）：26-30

[3]章建躍，從知識分類看數學“雙基”的內涵[J].數學通報，2003 （8）：1-2

[4]章建躍，數學基礎知識及其教學的再認識（續）[J].中學數學教學參考，2008（5下半月）：1-2，5

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[6]王光明，戴勇，數學命題的整體性教學策略[J].中學數學教學參考，2007 （12）：14-16

[7]王光明，戴勇，再談數學命題的整體性教學策略[J].中學數學教學參考，2008（5上半月）：4-7

[8]季素月，數學技能教與學的思考[J].數學教育學報，2003，12（2）：27-30

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[10]寧連華，涂榮豹，中國數學基礎教育的繼承與發展[J].數學教育學報，2012，12 （6）：6-9

[11]張奠宙，鄭振初，“四基”數學模塊教學的構建——兼談數學思想方法的教學[J].數學教育學報，2011，10 （5）：16-19

[12]郭玉峰，史寧中，“數學基本活動經驗”研究：內涵與維度劃分[J].教育學報，2012，8 （5）：23-27

[13]黃翔等，從“四基”“四能”到“三會”——一條培養學生數學核心素養的主線[J].數學教育學報，2019，28 （5）：37-40（本文系2020年度福建省中青年教師教育教育科研項目（基礎教育研究專項）“數學學科核心素養導向下的‘單元一課時’教學研究”（項目編號：JSZJ20130）;福建省“十三五”規劃2020年度課題“大概念統領下的高中數學單元整體教學實踐策略研究”（立項批準號：FJJKXB20-786）研究成果）