淺談一題多解在高中數學教學中的應用

曾德穩

◆摘? 要：“一題多解”教學模式在高中數學課堂上占有主要地位，是培養學生數學邏輯思維和提高讀書效率的主要舉措。“一題多解”運用十分普遍，國內高中數學教師在新課改的背景積極運用“一題多解”方法開展教學，已經獲得初步成果，進一步突出“一題多解”在高中數學教育中的實用價值，亟待全體老師們對之開展更加深層次的探究。

◆關鍵詞：一題多解;高中數學;應用

隨著中國教育課程體系的進一步改革與優化，目前高中生現代數學素質教育的方法與目標都是以培育高中學生的綜合能力和素質為核心。高中的數學老師在課堂教學中，必須向學生傳授"再創造"的教學理念，加之教育部門對高中數學質量的需求提高，教師不斷地探索和創新實踐教學模式，而"一題多解"就是在如此的情景下應勢而生，以輔助老師順利完成課堂教學任務，實現教學目標。

在當前的中學數學教學中，老師們仍然沒有擺脫“題海戰術”的傳統，而是讓學生在課后做大量的練習，以增強他們的解題能力。通過大量的問題解決練習，可以有效地促進學生對數學基礎知識的理解，但是過多的練習會讓他們感到厭倦，從而影響到他們的數學思考。要解決這一問題，高中數學“一題多解”是很有必要的。

一、“一題多解”在高中數學教學中的價值

1.有助于提升學生的思維能力

由于數學知識的綜合性和復雜性，在高中生的數學學習中存在著較大的難度。所以，在實際教學中，老師要引導學生從全局出發，對數學知識進行有效的掌握，同時還要引導學生對每一道題進行細致的解析，從而提高學生的數學解題水平。在運用一道題多解的同時，可以使學生在學習中運用各種解題思路、解題方式。在這一階段，同學們可以間接地回顧一下數學知識和解題方法。同時，在解題時，老師引導學生運用一題多解法，能讓學生從多個角度思考問題，從而能更好地解決問題，提高解題的效率和精確度。

2.有助于提升學生對數學知識的整體認知能力

在教學中，老師引導學生運用一道題多解法來解決問題，讓學生對相關問題的知識進行再一次的復習，這樣就能讓學生對問題的理解和解答更加全面，從而提高了學生的學習積極性，活躍了他們的思維，讓他們的解題方法不再僵化。學生可以在一道題中學習舉一反三，同時也能讓他們對以往的知識進行全面的整理和整理，讓他們能夠從數學的角度來分析和解決問題。

二、高中數學教育的現狀

雖然教學改革已經根深蒂固，但是學生們還是要面對作業和高考的壓力，一方面，由于考試的原因，為了提高自己的成績，為了達到自己的目標，在平時的教學中，最常用的還是習題，老師們希望通過大量的習題來提升自己的數學水平，而學生們則會用題海戰術來鞏固自己的知識。這種學習方式之所以被廣泛接受，是因為大量的習題可以幫助他們提升解題的能力，也可以讓他們的思維更加的流暢，但是也有一個缺點，那就是如果一味的做大量的習題，時間一長，他們就會覺得累，對數學有一種排斥感，久而久之，就會讓他們放棄對數學的學習。但是，由于高中班級的學生數量眾多，課堂教學任務繁重，老師無法做到對每個學生都有足夠的關注，無法全面地理解每個學生的認識，因此，在教學過程中，不能很好地與學生的實際情況相結合，無法及時地對學生進行反饋，從而使他們喪失學習的積極性。

三、“一題多解”的概念

“有了數學，就有了解決問題的能力。”波利亞說。在數學教學中，解題是一項非常重要的工作，它既能促進學生的數學認識，又能促進學生的思考。“一題多解”是一種普遍存在的教學方式，也可以說是一種“問題變式”。“一題多解”就是用不同的方式來求解相同的問題。“一題多解”的概念、定理、性質、方法都比較簡單，但其方法是非常靈活的。“一題多解”不僅可以訓練學生的解題技巧，還可以促進學生的邏輯思考，增強學生的綜合分析能力。

四、“一題多解”的基本教學原則

1.教學目標導向原則

在所有的教學活動中，不管是新的知識的傳授，還是舊的知識鞏固，都必須設定教學目的。因此，教學目標和內容制約著教學模式的延展，教師要實現預定的教學目標，必須根據教材和學生的實際情況，制訂出清晰的教學目標和切實可行的教學計劃，并在教學實踐中運用“一題多解”、“多題同解”等變式教學法，適當地運用實例和變式練習題，使教學效果更好。

2.認知層次結構原則

“一題多解”深入挖掘習題的含義，激發了學生的數學學習熱情，使各個層次的學生從低級到高級;然后采用“多題同解”的方法，由淺入深，循序漸進，最后經過總結，達到“質”的飛躍。

3.典型題型選擇原則

在高中數學教學中，教師要做的一件事就是要不斷地擴大題庫，根據教學目標，選取一些有代表性的習題來做講解，這樣既能使學生對知識點、考點有所了解，又能根據不同的情況靈活運用變式教學，使經典習題與學生的學習形成“托架”和“臺階”，從而達到最大限度地提高學習效率。

4.運用探究創新原則

在實施變式教學的過程中，教師要堅持探索性、創造性的原則，要善于創新教學方法，以“一題多解”的方式挖掘出新的習題;要利用“多題同解”的趣味，營造輕松的課堂氛圍;同時，要鼓勵學生敢于提問，打破傳統的思維方式，培養求知欲和探究精神，從而使自己成為學習的主宰。

五、“一題多解”在高中數學的具體應用

1.重視一題多解的意義

結果表明，只有10%的人會用不同的方式來解決問題，15%的人會用其它的方式解決問題，75%的人只會按照正常的思路來解決問題。分析原因：一方面，長期以來，學生的思維一直被限制著;另一方面，部分的升學壓力，是因為老師們在講課時，只注重結果，忽視了學生的思考，老師們在講課的時候，往往只講一種方式，讓同學們死記硬背。因此，學生的思想會長久地被封閉起來。而在另一種情況下，卻忽視了一題多解的重要性。一些老師和同學對“一題多解”的作用和含義理解不夠透徹，在日常的教學和學習中往往忽視了這一問題的發展。

2.學生要對數學產生興趣

一題多解法是一種有效的學習方式，它可以極大地激發學生的學習興趣，而傳統的習題往往是一種固定的解法，容易讓學生喪失學習的興趣和自信，而在課堂上，很難激發學生的學習積極性。一題多解的實施，要求學生運用各種不同的解題方式，使學生的學習積極性得到了極大的激發，對其它解法的求知欲較強，主動地進行探究和學習，既減輕了老師的教學困難，又極大地促進了學生的動手能力和思維能力的培養。

3突破局限性思維，敢于挑戰

（1）敢于挑戰，一題多解

在實際高中數學學習中，在學習者熟練的把握好基本公式的前提下，要培育學習者勇于挑戰自己的意志，要通過大量的訓練習題，在練習中探索出自我獨立思路，爭取對挑戰的一題多解。一題多解，也就是說在出現數學題時，我們就必須指導學生以"一題多解"為核心內容，從多方位的思維考慮求解方法。

例如三角函數問題中，可利用在sin、cos、tan等中間的公式方法計算靈活變換，如sin2+cos2=1，1-sin2=cos2等把三角函數公式計算實現了形式多樣的變換，也讓學生們能夠感受到超強的邏輯性。

（2）一題多解與多題一解的價值區別

現代的教育理念中，以教學為主體，圍繞著核心課程來教育，學生很容易形成了多題一解的方法來運算。而很多同學，一直還限制于多題一解，而習慣性的用單一思路來求解，是因為學生們在一開始就形成了這一習性。一方面由于懶和惰性，不喜歡多花心思去考慮，所以很多學生嫌棄太費腦細胞了而不愿意多思考。我要說明的是一題多解相比多題一解來說，更有利于我們教學使用。因為習題千千萬萬道，各有各的解法方式，當碰到一個問題時，一題多解學習方法可以使學習者們在還沒有做的時間，就能夠用其他步驟方式去解。而思想固定束縛在多題一解的同學，就算每個學生有再簡單的方法，但思想卻被禁錮在同一種解法方向上也無法適應題型的改變。一題多解比多題一解更能分散學習者的思路，也更能使學生把握數學知識遷移力量。

4.開闊視野、訓練學生的思維能力

一題多解在數學課程中運用得相當普遍，通過一題多解，學生就必須開動腦筋，發散思考，尋找問題求解的方式，這一過程中需要學生不斷地進行實驗計算，并運用各種方法理論，同時可能還需要一些學生課外所學的知識作補充，因此學校教師必須查找更多的資源和書籍，同時還要將所掌握的知識點加以總結，對于學生思維能力的培養有著很大的意義。在研究過程中并不是全部的方法都是適用的，它要求學習者從各種方法中篩選出最合適的一個方法，可以增加學習者思考的靈活性。

從三種不同的解決方案中，我們從問題的角度，對函數的定義、值域、性質、三角函數的有界等方面進行了回顧，從而使他們能夠更好地進行知識交流，并能使他們的解題策略得到更好的應用。

5.在公式推導過程中應用“一題多解”

在高中數學中，公式是很重要的一部分，是解決問題的關鍵，可以說，公式在解決中學數學問題中占有很大的比重。所以，在老師的引導下，學生要靈活地掌握和使用公式，而不是死記硬背，這就要求老師在教學中注重公式的推導，從而加強對公式的理解和應用，同時也是一種解決問題的方法，可以幫助學生更好地掌握這些公式的使用方法。

教師在公式推理教學中運用“一題多解”的方法，可以在推理中培養學生的思考能力，實現學生靈活運用公式的教學目的。比如，當涉及等差數列的通項公式時，老師們可以采取“一題多解”的辦法。其一，按照a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d……的方式進行推導，從而得出公式.其二，教師在推導公式時，可以先從等差數列的定義開始，再將其累積相加，從而得到等差數列公式，也就是累加法，常用于數列通項公式的推導。通過這種方式，不但可以加深對公式的理解，而且可以讓學生掌握各種解題方式，從而有效地擴展學生的思維能力。

6.落實實踐能力，老師靈活教學

同學們的進步，都離不開教師的引導。在眾多學生中，每個人的思維力量都有限，并非每一個發現問題就必定能成功發展成果的。所以，學生們的解題思維能力成長與老師教育教學水平有著很大密切聯系。在深入研究的高考數學課程里，全面了解新課改、新試題、新資源共享，并創新題解方法與模式，這都是教師引領同學們前進的重要關鍵。教師的正確引導，對學生頭腦思路不斷的發展具有重要促進意義，可促使學生一題多解的思路更進一步發展。與此同時，還要求教師進一步充實數學課程中的不足之處，將教師指導學生工作、練習指導等落在每位同學頭上，同樣指導學生，使每個學生將那股學習數學的專研勁，落實在對數學教育一題多解上，使一題多解的觀念深入人心，實施好課堂教學，引導學生們在實踐中，切身體會一題多解所給予學生們思想精神上的滿足感。

7.合理運用一題多解進行解題

在數學教學中，教師要注意一題多解的正確使用，不能每題一題多解，要在數學題中選擇一題多解的典型范例，使學生能夠從思維和探索中找到解決問題的辦法，同時總結出這些問題的原理，從而加深對知識的理解。由于要探索各種數學問題，在教學中要給學生留出足夠的時間與空間，讓他們在輕松的情境中進行探索，并對其進行正面的評估，從而激發他們對數學的自信與興趣。教師在進行一題多解時要提前做好準備工作，得出問題的多個答案，研究解題的思路和方法，為學生講授一題多解的方法和規律，學生在探究中出現問題時給予適時的點撥和指導，使學生對知識的探索更科學。

例如，在學習拋物線后，在習題中出現了以下一題：

過拋物線y2=2px焦點的一條直線和這條拋物線相交，設兩個交點縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設線段AB為過拋物線焦點的弦）

此題證明并不難，但其結論卻很有用，關鍵是運用其結論。在布置此題給學生時我們便可以有針對性的演變。如變成

（1）證明：在焦點弦的焦點弦上，與拋物線準線三點共線;

（2）證明拋物線中心弦中點與它的端點相交的連線。

（3）證明：在拋物線的中心線和它的端點的切線相交處，相等于焦點弦長度的二分之一，由該拋物線對齊。

此外，我們還可以讓學生自己變式，這樣就有了下列變化：

（4）證明：在拋物線中心線的兩個端點的切線是彼此垂直的。

（5）證明：拋物線的準線為其中心線的兩個點的切線相交。

（6）證明：在過拋物線中心的一端，是準線的垂直線，那么，垂足，原點，和弦點三點共線。

六、一題多解教學中應注意的問題

數學教學的目的在于培養學生對數學基礎知識的理解，從而培養學生解決問題的能力，因此，在教學中，不能一味地追求解法的多樣化，而忽視了解題的基本思路和方法。如果單純追求解題的方法，就算有些學生能解出問題，但對問題的理解也不是很清楚，稍微修改一下，就會讓學生束手無策，這違背了數學的教學目的.

在教學中，教師不但要教學生用各種方式去解決問題，更要讓學生歸納問題，同時也要針對學生的特點，因材施教，采用不同的教學方式，引導學生進行自主探究，從而使他們的知識得到發展。

探究式學習的一個重要目的就是要讓學生形成整體的概念，而一道題多解的數學教學法，就是要從不同的問題出發，從不同的問題出發，以點帶面。教老師在講解問題時，也要從多個角度進行指導，不但要讓學生找到更多的解法，還要讓他們找到錯誤的所在，一個問題可以變成多個問題，一個辦法可以變成多個方法，這樣才能激發學生的學習興趣，拓寬解題思路，建立一個完整的知識網，培養發散思維，增強分析和解決問題的能力。

七、結語

數學問題在初高中教學階段，教師和同學們都知道題目的靈活性很高，一題多解問題，在高中是普遍存在的問題，它反映了一個學生對知識點熟悉的程度，使學生能夠在原有的基礎知識上舉一反三，摸透了問題的實質問題。一題多解的實施，可以加強高中學生思維活動，優化學生的數學素養，并充分地為學生創造一個寬廣的思維練習空間，從而啟迪學生的潛能。

參考文獻

[1]王琳.一題多解與一題多變在高中數學教學中的運用[J].學科教育，2014（26）.

[2]韓軍利.高中數學中的一題多解問題[J].數學學習與研究，2014（2）

[3]朱亞珍.淺析高中數學教學中的“多題一解”和“一題多解”[J].科教文匯（下旬刊）.2016（11）：99-100.

[4]闞志超.“一題多解”與“多題一解”在高中數學教學中的價值研究與實踐[J].中國校外教育.2015（29）：23.