在概率與統計教學中培養學生的不確定思維

李磊

人們比較習慣用一種很確定的思維方式來思考問題，習慣去問“它對嗎？”但是，確實存在一些無法得出準確結論的問題，例如，統計與概率領域，對于一些分析統計問題的方法、根據數據得出的結論、由此給出的建議，卻很難用“對不對”去衡量。我們需要知道的是“這個方法好嗎”“這個建議合理嗎”，這就需要用一種不確定的思維方式去思考統計問題，用“好不好”作為判斷統計問題的標準。本文以“概率與統計”的教學為例，簡要闡述如何培養學生的不確定思維。

1.設置開放型的情境，在經歷統計中體會不確定思維

統計學的研究對象是數據，無論是數據的采集還是分析，一旦脫離其現實的背景，就失去了統計的意義。一個合適的現實情境是學生分析統計問題，進入數學思考的關鍵。情境的設置要注意開放性。開放性是指關注的角度要廣，不能限制學生思考的路徑和空間。這樣，學生在開放的情境中會遇到真實的問題，而由于情境的開放性沒有限制學生的思維，學生可以大膽思考各種可能性，而非唯一路徑或結論。

例如，在學習“統計圖的選擇”一課時，學生經過六年的統計內容學習，積累了一定的統計內容經驗，我們按照教材思路設計了一個奧運會的情境，呈現幾屆奧運獎牌排名的數據，讓學生根據這些數據，提出并解決自己感興趣的奧運問題，教師在解決問題中滲透統計圖的選擇。我們不給定統計圖限定學生的思維，而是讓學生自主思考，以自己最喜歡的方式將數據呈現出來，并讓學生解釋為什么要采用這樣的統計圖。在各種不同方面、不同方法的對比中，學生的不確定思維得以培育。

2.鼓勵合理質疑，在質疑與分析中習得不確定思維

“學貴質疑”，質疑能讓我們從多個角度去思考統計問題，它是不確定思維的重要前提和基礎。

第一，對數據收集的質疑。

統計的基本思想是尊重事實、用數據說話，數據的重要性不言而喻。對于數據收集，我們可以從數據的代表性和數據的可操作性進行質疑。數據的代表性即這些數據可否支撐并因此得出結論，這些數據的來源是否合適，數據的樣本大小是否合適。數據的可操作性即我們能否收集到這些數據嗎，可以收集到多少。

例如，我們要幫學校建議設置的活動課種類，樣本可能來自哪兒？學生可能會有以下回答：“我們幾個要好的同學的愛好”“某一個班的學生調查數據”“一個年級學生的調查數據”。我們可以組織學生對這幾種樣本來源進行討論，提問學生：“你覺得哪一種比較合適，為什么？”學生在討論過程中會提出“這可能是我們這幾個人的想法，其他人不這么想”“這是我們班的想法，其他班的人要是不這么想呢”“整個年級的人都調查了，倒是所有人都想到了，可是這么多人，整理起來就太困難了”“能不能每個班調查一些人”“每個班調查的要男女都有”。如果只問某一個人群，數據可能代表的是某一個人群的意見，并不能代表全部。所以，“用數據說話”得出的結論一定要有前提條件。那么，如何才能代表全部呢？學生就這樣在不斷質疑中習得了不確定思維，并真正理解了數據統計與概率知識的本質。

第二，對數據處理與分析的質疑。

數據的處理方式有多種，我們都知道需要根據不同的背景，選擇不同的數據處理方式。處理與分析問題方式的不同會帶來不同的結果。

例如，我們要對購買圖書提出一些建議。通過整理已有圖書，發現科幻類的圖書最多，自然類的圖書最少。由此，能提出哪些建議？我們經常聽到這樣的建議：“喜歡科幻類圖書的人最多，所以科幻類的圖書要多買一些，自然類的圖書少買一些。”一定是這樣嗎？如果有學生提出質疑：“我們應該興趣多種多樣，喜歡自然類圖書的人少，就應該加大宣傳，改變方式，讓更多人喜歡上自然類的圖書。”也可能有學生補充：“這是班里購買圖書的建議，如果是成人圖書館購買圖書，就可以按照讀者的興趣愛好去購買，喜歡的人多就多買，喜歡的人少就少買。”或是教師帶領學生提出質疑：“一定是這樣嗎？有沒有不是這樣的情況？”引導學生對數據處理與分析的質疑，也會發展學生的不確定思維。

3.訓練數學語言，在數學表達中訓練不確定思維

語言是思維的表達，數學語言的訓練是內在數學思維培養的外化。數學語言的訓練可以讓學生用統計語言完整嚴謹地論述問題和答案。

第一，不確定思維需要完整性表達。

完整性是指說話要把一句話盡可能說完整，把考慮到的情況說完整。比如，在教五年級上冊“等可能性”時，教師問：“把紅、黃、藍、綠四種顏色的球放到袋子里搖均勻，我會抓到什么顏色的球呢？”有些學生急于回答“紅色”或是“黃色”“藍色”“綠色”，這樣的回答是一種確定性思維方式的回答。如果以一種不確定的思維來回答，應該說“我覺得可能抓到紅色的球”。完整的論述中又能對這個問題進行再次思考與反思：“我還可能抓到藍色或是綠色的球。”“我沒法確定會抓到什么樣的球，抓到每種球的可能性是一樣的。”

第二，不確定思維需要嚴謹性表達。

針對同樣一組數據，不同的處理方式會得出不同的結論。在表達中要注意這些詞匯的運用，如“可能”“會好一些”“××更合適”。我們可以用不同的方式表達同一個問題，讓學生自己觀察、感悟和對比。

不確定思維為學生的思維培養打開了一扇窗戶，讓學生看到確定世界之外的世界。不確定思維不是靜態的，而是動態的、生動的，這是學生創造能力與實踐能力養成的基石。數學教育要重視學生這種思維方式的形成和培養，但同時又要注意，切不能將學生引入懷疑和相對主義的深淵，這不但不會促進學生的思維發展，還會給學生帶來學習和生活的困擾，影響學生的身心發展。

編輯 _ 張曉震