高超聲速風洞現代試驗設計方法研究

尤文佳，王慧杰,，韓仁坤，陳剛,*

1.西安交通大學 航天航空學院 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049

2.西安交通大學 航天航空學院 陜西省先進飛行器服役環境與控制重點實驗室，西安 710049

3.中國航天科工集團第三研究院 創新研究院，北京 100074

0 引 言

高超聲速飛行器具有高速度、強機動、超遠程等特點，是當今世界航空航天強國研究的熱點。由于高超聲速飛行器在大氣層內飛行時間長，飛行器氣動力/熱環境等非常嚴酷，給氣動研究帶來了巨大挑戰。風洞試驗在氣動研究中發揮著重要的作用，在飛行器從初步設計到機型選擇、定型、研制的各個階段，總體、結構和控制等設計都需要大量的風洞試驗數據提供支持。隨著我國國防事業的發展，飛行器設計的戰術技術指標要求不斷提高，這意味著對風洞試驗技術也有了更高的要求。對于風洞試驗技術的研究，應朝著高精準度試驗數據、低成本和短周期等方向發展。

目前，傳統試驗設計（OneFactoratATime，OFAT）方法是風洞試驗設計采取的主要方法，即每次試驗中只有一個變量（如迎角）發生變化，其他變量保持不變，獲取響應變量（如氣動系數）的結果，進而得到響應變量的變化規律。該方法作為一種基于大量試驗數據的方法，需要進行大量的風洞試驗。

近年來，現代試驗設計（Modern DesignofExperiments，MDOE）方法已經廣泛應用于航空航天、交通運輸、農業、生物、醫學等領域，在大型設備、工況復雜、耗能高等試驗的優化設計中取得了良好的社會經濟效益。MDOE 方法結合優化設計、數理統計等設計試驗，通過少量的試驗即可得到更優的試驗結果、建立精度較高的模型。MDOE 方法的目的已經不是簡單地獲取大量“數據”，而是獲取數據中蘊含的“知識”。

1997年，美國航空航天局 （NASA） 蘭利研究中心首次提出使用MDOE 方法取代傳統的OFAT 方法，目前已經成功應用于多項型號風洞試驗。2011年，DeLoach 等開展了以導彈為研究對象的MDOE 方法應用研究，并與傳統的OFAT 方法對比，將試驗次數減少了80%。近些年，國內針對MDOE 方法在風洞試驗中的應用展開了研究，但仍比較欠缺。李國帥等采用區組化的回歸方法設計試驗并獲取數據，建立了二階響應面模型，使樣本點減少了80%左右。張江等采用IV–最優設計獲取樣本點進行試驗，使樣本點減少了46%，并發現MDOE 方法與OFAT 方法獲得的氣動系數相差不大。張江等隨后又開展了MDOE 形式的試驗設計方法研究，運用空間填充設計（而非以往的經典試驗設計）可使試驗樣本點減少33.3%。李多等將MDOE 方法應用于2.4 m 跨聲速風洞試驗，采用分區間的中心復合設計，所需樣本點僅為OFAT 方法的20%左右。

在國內外公開發表的研究中，MDOE 方法主要應用于二變量（如迎角+側滑角）試驗，對三及三以上變量（如迎角+側滑角+舵偏角）的風洞試驗設計還較少。在實際工程應用中，不同舵偏角情況下的三及三以上變量的風洞試驗大量存在，但很多風洞模型在改變舵偏角時難以做到像二變量試驗中改變迎角和側滑角那樣全自動化。因此，在現有風洞控制系統下，采用OFAT 方法的三及三以上變量試驗的效率會更低。對于不具備自動調節舵偏角的風洞試驗模型而言，適用于三及三以上變量試驗的MDOE 方法就顯得尤為重要。

大部分二變量試驗設計采用經典拉丁超立方方法，樣本點在二維各方向上都隨機分布。雖然該方法的樣本點數量比OFAT 方法明顯減少，但現有風洞控制系統迎角和側滑角可以連續變化，因此理論上該方法不會大幅度提高試驗效率。同樣，在三變量試驗中，樣本點在三維各方向上隨機分布，在不具備自動調節舵偏角的風洞模型中，加大了試驗走刀順序的不便性。因此，在經典拉丁超立方方法基礎上，發展一種能夠盡量結合現有風洞控制系統特點，又能顯著提高實際試驗效率的MDOE 方法具有重要意義。

針對當前多變量風洞試驗設計面臨的問題，本文發展一種基于分層拉丁超立方的現代風洞試驗設計方法，并將該方法運用于高超聲速風洞（馬赫數6）試驗模型，從風洞試驗數據庫中獲得氣動數據結果，并對該方法進行驗證。

1 MDOE 方法

本節主要介紹MDOE 方法涉及的相關理論，包括確定樣本點的分布及數量、構建響應模型。

試驗選擇迎角、側滑角和舵偏角作為設計變量，氣動系數作為因變量。為避免數學模型中出現高階項，引入分區間設計技術，將迎角區間劃分為小迎角區間和大迎角區間，分別進行試驗設計。

1.1 確定樣本點

目前，拉丁超立方設計（Latin Hypercube Sampling，LHS）是MDOE 研究中采用的方法之一，屬于空間填充設計，在解決非線性問題時具有較大的優勢，多適用于設計變量維度較高的情況，可使試驗次數明顯減少，試驗次數與設計變量的水平數相同。

拉丁超立方設計將每個設計變量的定義域區間劃分成個相等的小區間，共有個設計變量，這樣整個數據空間被分成q個相同的小區域，最后選取個樣本點。

選取樣本點時，需遵循2 個原則：1）在每個小區域中，進行隨機采樣；2）在每一維變量上的每個小區間上只產生一個樣本點，即樣本點投影在每一維變量的方向上有個樣本點。

對于多變量風洞試驗，直接采用經典拉丁超立方設計的效果并不理想，實際操作中也不便于風洞試驗點數據采集。因此，本文在經典拉丁超立方設計的基礎上，提出了分層拉丁超立方設計方法。

分層拉丁超立方設計是指先將分層變量在其一維方向的定義域內均勻分層，假設均勻分為層，即有個水平值；再將剩余的設計變量進行拉丁超立方設計，將定義域區間劃分成（一般）個相等的小區間。在樣本點的分布上，分層拉丁超立方設計與經典拉丁超立方設計的不同點在于：樣本點投影在分層變量的方向上有個樣本點，都在其水平值上；除分層變量外，樣本點投影在其他每一維變量的方向上都有個樣本點，且每個樣本點都在其劃分的小區間內。樣本點數量與除分層變量外的其他變量水平數相同，即個樣本點。例如，二變量試驗中取迎角和側滑角為設計變量時，選用迎角方向進行均勻分層，在側滑角方向進行拉丁超立方設計；三變量試驗中取迎角、側滑角和舵偏角為設計變量時，選舵偏角方向進行均勻分層，在其他2 個方向進行拉丁超立方設計。

采用分層拉丁超立方設計方法，可得到迎角、側滑角以及舵偏角組合狀態下的樣本點。分層拉丁超立方設計相比于經典拉丁超立方設計，可減少試驗車次，提高試驗效率，縮短試驗周期。

1.2 樣本點數量

響應面模型的階次和試驗精度決定了樣本點的數量。在每個子迎角區間中，構建多項式響應面模型所需要的樣本點數量不能少于此多項式的項數，最小樣本點數量通過下式計算：

式中，為 多項式項數，為多項式階次，為多項式元數。

在二和三變量試驗中，均采用三階多項式模型：=2，=3，=10，最小數據量為10；=3，=3，=20，最小數據量為20。由于多項式響應面模型中存在對模型精度影響較大的點，這些點會引起“杠桿效應”，放大整個模型的誤差，因此有必要增加一定量的重復點改善杠桿效應。為保證響應面預測值在平均95%置信概率水平下與設計空間中任一點的真實結果不出現顯著差異，樣本點數量需要滿足：

在本文涉及的試驗中，一個二維子數據空間只要達到17 個（=162510=1625）、一個三維子數據空間只要達到33 個（=162520=325）便可以使預測值落在95%置信區間內。在下文的二變量試驗中，MDOE 方法的樣本點為17 個；三變量試驗中， MDOE 方法的樣本點在舵偏角方向取5 層，每層17 個，共85 個。

為了進行MDOE 方法與OFAT 方法結果的對比，表1中給出了二變量試驗中OFAT 方法所取的變量及水平值，小迎角區間取91 個點，大迎角區間取84 個點，是MDOE 方法的5 倍左右。

表1 二變量試驗中OFAT 方法所取的變量及水平值Table 1 Variables and level values taken by OFAT method in the two-variable test

表2中給出了三變量試驗中OFAT 方法所取的變量以及水平值。小迎角區間取245 個點，大迎角區間取294 個點，是MDOE 方法的3～4 倍左右。

表2 三變量試驗中OFAT 方法所取的變量及水平值Table 2 Variables and level values taken by OFAT method in the three-variable test

1.3 響應面模型

多項式響應面模型在MDOE 方法中應用廣泛，具有建模容易、計算量較小、預測較準的優點，可運用于工程試驗設計的近似處理。本文的二變量試驗和三變量試驗均采用三階模型，避免了高階多項式表達式復雜、求解困難等問題。三階模型的表達式為：

式中：為設計變量的響應函數，、c、c、c、c、c、c為多項式的待定系數，x表示第個自變量，表示變量個數。

2 分層拉丁超立方設計準則研究

拉丁超立方設計過程中會在每個小空間隨機采樣，容易出現分布不均勻的情況。為減少這種情況的發生，通常添加最大化最小距離、最小化最大距離、最小差異、相對理想累積分布最小均方根差異和相對理想累積分布最小最大差異這5 種準則促進其均勻性。最大化最小距離準則是使各樣本點之間的最小距離最大化，最小化最大距離準則是使各樣本點之間的最大距離最小化，最小差異準則是使偏離平均點密度的偏差最小化，相對理想累積分布最小均方根差異準則是使累積分布函數的均方差最小，相對理想累積分布最小最大差異準則是使累積分布函數的最大方差最小化。本節研究基于以上5 種準則的分層拉丁超立方設計方法，對比各準則效果。

一般情況下，針對橫向氣動系數的響應面模型的非線性程度較強。若樣本點可以保證構建橫向氣動系數響應面模型，那么縱向一般也能保證。在小迎角區間（–2°～10°）開展基于不同準則的分層拉丁超立方方法的試驗設計，并構建滾轉力矩系數C的響應面模型，進行95%置信區間分析，結果如圖1～5 所示。對于圖1～5：圖（a）中不同準則下的樣本點為17 個，紅色代表了重復點（共5 個）；圖（b）中的滾轉力矩系數響應面模型均為三階模型；為了驗證模型的有效性，在每個子區間選取=0 和=4時的6 或7 個OFAT 試驗點，驗證其是否可以落在擬合曲線的95%置信區間內，從圖（c）和圖（d）中可以看出，檢驗點均落在了置信區間內。置信區間的帶寬是整體均方根誤差平均值的2 倍。

圖1 最大化最小距離準則的分層LHS 設計Fig.1 Stratified LHS design of maximum and minimum distance

圖2 最小化最大距離準則的分層LHS 設計Fig.2 Stratified LHS design of minimum and maximum distance

圖3 最小差異準則的分層LHS 設計Fig.3 Stratified LHS design of minimize discrepancy

表3中給出了不同方法的滾轉力矩系數響應面均方誤差、整體均方根誤差和判定系數。整體均方根誤差越小，判定系數越接近1，表明多項式模型的擬合效果越好。根據表3中的整體均方根誤差以及判定系數可知，基于最大化最小距離準則的分層拉丁超立方設計效果最好。因此，在本文的應用示例中，采用最大化最小距離準則的分層拉丁超立方設計方法進行研究。

表3 不同準則下的響應面檢驗結果Table 3 Response surface test results of different criteria

圖4 相對理想累積分布最小均方根差異準則的分層LHS 設計Fig.4 Stratified LHS design to minimize RMS variation from cumulative distribution function

圖5 相對理想累積分布最小最大差異準則的分層LHS 設計Fig.5 Stratified LHS design to minimize maximum variation from cumulative distribution function

3 二變量風洞試驗設計驗證

本節將基于最大化最小距離準則的分層拉丁超立方方法應用于二變量風洞試驗，驗證分層拉丁超立方風洞試驗設計方法的可行性和有效性。采用某標準高超聲速模型（舵偏角2.5°）在馬赫數6 風洞中的試驗數據進行設計方法驗證，設計變量為迎角、側滑角。

3.1 小迎角區間

變量取值：迎角=2～10；側滑角=6～6。

因變量為縱向氣動系數，包含升力系數C、阻力系數C和俯仰力矩系數C。在多項式響應面模型中，采取逐步回歸的方法簡化模型。圖6（a）給出了樣本點分布，數量為17 個，紅色為重復點（共5 個）。從圖6（b）中可以明顯看出升力系數基本不受側滑角的影響；迎角為主要影響因素，在迎角2°～ 8°之間升力系數呈現下降趨勢。圖6（c）中阻力系數隨迎角的增大而增大。在圖6（d）中，迎角越大，側滑角越小，俯仰力矩系數越大。這體現了MDOE 方法的優勢：可分析多變量對氣動系數的影響。

圖6 小迎角區間二變量試驗的樣本點分布及各縱向氣動系數的響應面Fig.6 Sample point and response surface of each longitudinal aerodynamic coefficient for the two-variable test in small angle of attack

表4中給出了采用逐步回歸方法確定的小迎角區間各縱向氣動系數的響應面模型應含有的項，剔除了一些影響因素較小的不顯著項。

表4 小迎角區間響應面多項式的構成Table 4 The formation of polynomials of response surface in small angle of attack interval

3.2 大迎角區間

大迎角區間僅迎角取值范圍（= 10～25）與小迎角區間不同，側滑角取值范圍、因變量和樣本點數量等都與小迎角區間相同。

圖7（a）為大迎角區間的樣本點分布；從圖7（b）中可以明顯看出，升力系數不受側滑角的影響，迎角為主要影響因素，升力系數隨迎角的增大而增大；在圖7（c）中，迎角越小，側滑角越大，阻力系數越?。辉趫D7（d）中，迎角越大，側滑角越小，俯仰力矩系數越大。

圖7 大迎角區間二變量試驗的樣本點分布及各縱向氣動系數的響應面Fig.7 Sample point and response surface of each longitudinal aerodynamic coefficient for the two-variable test in big angle of attack

表5中同樣給出了采用逐步回歸方法確定的大迎角區間各縱向氣動系數的響應面模型應含有的項，即主要影響因素的構成。

表5 大迎角區間響應面多項式的構成Table 5 The formation of polynomials of response surface in big angle of attack interval

3.3 模型驗證

為了驗證模型的有效性，在側滑角=0的截面上截取剖面線，選取6 個OFAT 試驗點檢驗其是否落在95%置信區間內，置信區間的帶寬與第2 節中的計算方法一樣，結果如圖8所示。在小迎角區間中，升力系數基本都能落在置信區間內，在阻力系數和俯仰力矩系數置信區間中，非線性強的區域（如迎角為2°時）升力系數落在置信區間上下限附近；在大迎角區間中，置信區間帶寬較窄，檢驗點基本都能夠落在上下限附近，說明響應面模型滿足精度。

圖8 各縱向氣動系數的置信區間Fig.8 Confidence intervals of longitudinal aerodynamic coefficients

4 三變量風洞試驗設計驗證

本節采用某標準高超聲速模型在馬赫數6 風洞中的試驗數據對比不同三變量風洞試驗設計方法在大、小迎角區間的風洞試驗結果。在此基礎上，再將三變量分層拉丁超立方試驗設計所得模型指定剖面預測值與二變量試驗設計模型預測值進行對比，進一步驗證所發展的三變量分層拉丁超立方試驗設計的有效性。

4.1 小迎角區間

變量取值：迎角=2～10；側滑角=6～6；舵偏角=75～75。

因變量為縱向氣動系數，包含升力系數C、阻力系數C和俯仰力矩系數C。下面僅以俯仰力矩系數為例展示。分層拉丁超立方設計方法的樣本點在舵偏角方向每層取為17 個（含5 個重復點），共5 層、85 個點，如圖9（a）所示，紅色為重復點。為更好地反映出多變量間復雜的耦合關系，采用3 個設計變量兩兩耦合的方式給出響應面圖，將OFAT 方法獲得的數據構建的標準響應面與拉丁超立方設計的響應面、分層拉丁超立方設計的響應面進行對比，其中拉丁超立方設計方法也是取85 個點。 在俯仰力矩系數的響應面中，圖9（b）中的LHS 響應面比分層LHS 響應面的誤差更大；在圖9（c）中的邊界處，分層LHS 設計的響應面優于LHS 設計的效果；在圖9（d）中，各方法吻合度較高，區別不明顯。

圖9 小迎角區間三變量試驗俯仰力矩系數樣本點分布及響應面Fig.9 Sample point and response surface of pitching moment coefficient for the three-variable test in small angle of attack

小迎角區間中，采用拉丁超立方方法時的整體均方根誤差為0.014 8，而分層拉丁超立方方法的整體均方根誤差為0.012 6。整體均方根誤差越小，擬合精度越好，因此，分層拉丁超立方方法的擬合精度比拉丁超立方方法有一定的改善。

4.2 大迎角區間

大迎角區間僅迎角取值范圍（= 10～25）與小迎角區間不同，側滑角取值范圍、舵偏角取值范圍、因變量和樣本點數量等都與小迎角區間相同。

圖10（a）為大迎角區間三變量試驗樣本點分布。大迎角區間的俯仰力矩系數響應面如圖10（b）～（d）所示。在圖10（b）的迎角剖面中，LHS 設計和分層LHS 設計的響應面與標準響應面相比，在邊界和邊角處誤差較大，中部區域擬合相對較好。在圖10（c）和（d）的側滑角剖面和舵偏角剖面中，3 種方法的效果相差不大，吻合度高。

圖10 大迎角區間三變量試驗俯仰力矩系數樣本點分布及響應面Fig.10 Sample point and response surface of pitching moment coefficient for the three-variable test in big angle of attack

大迎角區間中，采用拉丁超立方方法時的整體均方根誤差為0.007 5，而分層拉丁超立方方法的整體均方根誤差為0.006 3。因此，分層拉丁超立方方法的擬合精度相比拉丁超立方方法有一定的改善。

4.3 三變量試驗模型預測精度驗證

為驗證三變量試驗模型的預測精度，在三變量試驗獲得的氣動數據模型中，選取=25時的舵偏角剖面與第3 節中二變量試驗所得的響應面進行相同變量條件下的縱向氣動系數對比，如圖11 所示。圖中的結果總體吻合度較好，在邊界處（非線性強的區域）以及邊角處存在偏差。例如在圖11（a）小迎角區間的升力系數響應面中，在側滑角小于–5°時（非線性強的區域），邊界和邊角處的偏差較大。

圖11 相同變量條件下的試驗對比圖Fig.11 Comparison of the same variables test

三變量分層拉丁超立方試驗設計樣本點并沒有包含舵偏角=25時的樣本點，但其在=25時的響應面仍然能以較高精度與該舵偏角下二變量試驗設計的氣動系數響應面吻合，進一步說明了基于分層拉丁超立方方法的響應面模型在三變量試驗中的分層變量（舵偏角）方向上具有較好的內插性能。

5 結 論

本文提出一種基于分層拉丁超立方的現代風洞試驗設計方法，并采用馬赫數6 風洞中的試驗模型數據，在二變量和三變量風洞試驗設計中對該方法進行驗證。在二變量試驗和三變量試驗中，MDOE方法分別僅需OFAT 方法約20%和30%的樣本點即可滿足氣動參數預測精度。

1）MDOE 方法給出的隨機樣本點集對現有風洞試驗設備控制系統有較高要求。分層拉丁超立方方法相比拉丁超立方方法的優點在于其可以有效結合現有的風洞設備進行試驗點數據采集，顯著減少車次改變，提高試驗效率。

2）在三變量試驗中，相比于拉丁超立方方法，采用分層拉丁超立方方法在擬合精度上有一定的改善。在指定分層變量參數剖面上，三變量分層拉丁超立方試驗設計的氣動預測數據與在相同變量條件下二變量試驗設計所獲得的氣動響應面規律趨勢一致，吻合度較高，進一步說明基于分層拉丁超立方的響應面模型具有較好的內插能力。

基于分層拉丁超立方方法的試驗設計具有成本低、效率高和適用性廣等優勢，不僅適用于本文所采用的高超聲速風洞模型，對其他類型飛行器風洞試驗設計也具有一定借鑒意義。