基于超分辨率重構方法的湍流流場重構

江昊，王伯福,，莊啟亮,，盧志明

1.上海大學力學與工程科學學院 上海市應用數學和力學研究所，上海 200072

2.上海市力學信息學前沿科學研究基地，上海 200072

0 引 言

計算機性能的快速發展和精細化流動測試手段的不斷精進，為獲取高分辨率流場數據的方法提供了豐富的可能性。在工業上，我們通常希望以較小的計算和實驗代價快速獲得高分辨率（High Resolution，HR）流場數據。然而，傳統的獲取高分辨率流場數據方法（加密計算網格、縮短時間步長以及精細化實驗測量等）通常都會付出很高的成本。

近年來，研究者開始將超分辨率重構技術應用于獲取高精度流場數據。超分辨率重構（Superresolution Reconstruction，SR）方法可以利用低分辨率（Low Resolution，LR）數據重建對應的高分辨率數據。傳統的SR 方法主要基于插值算法，例如最近鄰插值法（Nearest Neighbour Interpolation）、線性插值法（Linear Interpolation）以及雙三次插值法（Bicubic Interpolation，即Bicubic 方法）等。其中，Bicubic 方法重構的數據精度比其他插值方法更高，但是該方法的時間復雜度也是最高的，因此通常被用作超分辨算法的基準線（baseline）。這些插值算法被廣泛應用于各個領域，但基于插值算法的超分辨率重構方法的精度依賴于插值點的小范圍鄰域信息，在較大的下采樣比情況下，重構的數據圖像往往較為模糊。

同時，機器學習技術也為研究者提供了一種直接從數據驅動角度出發重構高分辨率圖像的方法。香港中文大學的Dong 等在2014年首次采用卷積神經網絡方法對低分辨率圖像進行超分辨率重構，并提出了超分辨率卷積神經網絡（Super-Resolution Convolutional Neural Network，SRCNN）。采用SRCNN 方法重構的圖像精度和清晰度比傳統的插值算法更高，但該方法的網絡需要在高分辨率上進行卷積操作，存在訓練速度慢的問題。Shi等提出了一種直接對原始低分辨率圖像進行網絡訓練的高效亞像素卷積神經網絡（ESPCN）模型，該模型大幅降低了網絡訓練計算量，提高了重構方法的效率。

近年來，機器學習技術被廣泛應用于湍流大數據中。同樣地，基于深度學習的超分辨方法也被推廣至流場數據重構的應用中。基于深度學習的超分辨率方法的性能依賴于訓練數據的完備性。湍流的實驗測量和數值模擬獲得的數據非常豐富，使得基于深度學習的超分辨率方法成為快速生成高分辨率流場的有效途徑。Fukami 等發展了下采樣跳躍連接多尺度（Downsampled Skip-Connection Multi-Scale，DSC/MS）混合模型用于二維衰減均勻湍流的單瞬時數據的超分辨率重構，研究了不同下采樣方法對DSC/MS 模型的影響，并將DSC/MS 方法推廣至時空流場數據的超分辨率重構。Deng等采用兩種基于生成對抗網絡（Generative Adversarial Network，GAN）的模型—SRGAN 和ESRGAN—對雙圓柱繞流的數據進行了超分辨率重構。Bai 等利用字典學習策略對不同狀態下的煙霧流動進行了超分辨率重構。Gao 等利用流體力學中的守恒定律和邊界條件提出了一種基于物理知識的卷積神經網絡，在血管流數據的超分辨率重構和去噪中展現了出色效果。Kim 等采用無監督學習模型和CycleGAN 模型，對湍流場數據進行了超分辨率重構，該模型還可以將大渦模擬數據重構為直接數值模擬精度的高分辨率流場。

本文采用ESPCN 方法和Bicubic 方法對不同下采樣比的直接數值模擬所獲得的RB 湍流場數據進行超分辨率重構?？紤]到實驗測量數據中的環境噪聲對超分辨率方法存在影響，本文也研究了邊界層湍流實驗測量數據的超分辨率重構。

1 超分辨率重構方法

1.1 雙三次插值方法

在基于插值算法的超分辨率重構方法中，雙三次插值方法（Bicubic 方法 ）是一種高精度的超分辨率重構方法，被廣泛應用于圖像和數據的處理。

Bicubic 方法是通過在數據中插值來增加或減小局部數據密度，達到改變原始數據精細程度的目的。Bicubic 方法計算了插值點周圍16 個數據點（鄰域大小為4×4）的加權和，其插值核為：

式中：a 為核函數的參數，在本文中取a=–0.5；d為插值點在i 方向到周圍點的距離；x（x）為插值點i 方向的坐標；x（x）為原始流場數據i 方向的坐標；Δx 為原始數據均勻網格的網格大小。

1.2 基于深度學習的超分辨率重構方法

本文采用的基于深度學習的超分辨率重構方法是Shi 等所提出的高效亞像素卷積神經網絡（ESPCN）方法。該方法采用三層卷積神經網絡重構低分辨率數據，網絡架構如圖1所示。其中，輸入層的低分辨數據是通過Bicubic 方法對原始高分辨率數據（H×W×C；H、W 和C 分別為數據網格高度、數據網格寬度和數據通道數）進行下采樣獲得，下采樣比為r，則下采樣后的低分辨率數據的尺寸為（H/r）×（W/r）×C；然后采用卷積神經網絡層提取低分辨率數據的特征，相當于通過一組濾波器對圖像進行卷積，并將這些特征納入網絡中進行優化；最后采用亞像素卷積層將這些從低分辨率數據中得到的特征上采樣重構為高分辨率數據。

圖1 ESPCN 模型示意圖Fig.1 Sketch of ESPCN

ESPCN 模型訓練所采用的損失函數（loss function）為均方誤差（Mean Squared Error，MSE）：

該模型的激活函數為ReLU：并且將70%的數據集用作訓練集、30%用作驗證集。驗證集用于在模型訓練時監控當前模型在驗證集上的表現能力，為模型超參數的調整提供依據。

2 研究結果

2.1 Rayleigh-Bénard（RB）對流流場重構

首先，研究了直接數值模擬Rayleigh–Bénard（RB）湍流對流數據的超分辨率重構。RB 對流系統的物理模型是一個下底板加熱、上底板冷卻的對流系統，系統中充滿流體介質。由于上下底板溫度不同，導致不同高度位置的流體之間存在密度差，系統中的流體在浮力驅動下產生運動。在Oberbeck–Boussinesq（OB）近似下的無量綱控制方程組為：

控制方程分別為連續性方程、含有熱浮力項的Navier–Stokes 方程和熱輸運方程，Ra、Pr 分別為系統瑞利數（Rayleigh number）和普朗特數（Prandtl number）。

通過有限差分法模擬了Pr=0.7、Ra=1×10的RB 對流流場，上下底板溫度分別為無量綱溫度–0.5 和0.5，計算網格為720×720。分別采用下采樣比r為3、10、20 和30 獲取低分辨率數據進行模型訓練，模型的輸入層大小為（720/r）×（720/r）×3，維度3 代表流場數據的3 個通道，分別為溫度場、水平速度場u 和垂直速度場v。將70 個瞬時RB 流場數據用于模型訓練，30 個瞬時RB 流場數據用于模型驗證。圖2和3 分別為溫度場數據的ESPCN 方法重構結果和Bicubic 方法重構結果（下采樣比r分別為3 和30）。

圖2 下采樣比為3 的RB 系統溫度場數據的超分辨率重構結果Fig.2 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=3

從圖2和3 可以看出，下采樣比較小時，ESPCN方法和Bicubic 方法重構的結果都與原始流場數據接近；下采樣比較大時，ESPCN 方法和Bicubic 方法在數據過渡比較平滑的中心區域都可以重構出較為精確的流場數據，但在數據梯度較大的邊壁區域，ESPCN 方法的重構效果明顯優于Bicubic 方法。圖4為RB 系統的中心線溫度數據剖面（黑色虛線為原始流場結果，紅色圓圈為Bicubic 方法結果，藍色圓圈為ESPCN 方法結果）。

圖3 下采樣比為30 的RB 系統溫度場數據的超分辨率重構結果Fig.3 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=30

圖4 RB 系統中心線溫度數據剖面的超分辨率重構結果Fig.4 Comparison of the results of the temperature profile of the horizontal centerline of the RB system temperature field data

圖4描述了RB 系統的水平中心線局部的重構結果對比。下采樣比為3 時，ESPCN 方法和Bicubic方法的結果與原始流場數據的水平中心溫度剖面基本吻合。下采樣比為30 時，在x 坐標靠近0 和1 處，Bicubic 方法重構的溫度數據明顯偏離了原始數據，ESPCN 方法重構的結果更接近于原始流場數據；在離上下板都較遠的bulk 區，可以看出ESPCN 方法重構的溫度數據有小范圍的偏差。

圖5為整個瞬時場的概率密度函數（Probability Density Function，PDF），其中，黑色圓圈為原始流場結果，紅色星形為Bicubic 方法結果，藍色三角形為ESPCN 方法結果。圖5描述了整個瞬時場RB 系統溫度數據的PDF 分布對比。在兩個不同采樣比的結果中，ESPCN 方法重構的溫度數據分布更接近于原始流場溫度數據分布。同樣地，下采樣比為30時，Bicubic 方法重構的數據在溫度靠近–0.5和0.5 附近的分布與原始流場數據分布存在偏差。圖4和5 的結果都表明：在數據梯度較大的邊壁區域，ESPCN 方法比Bicubic 方法的數據重構更有優勢，這與圖3的結果也是相吻合的。

圖5 RB 系統瞬時溫度場數據PDF 分布的超分辨率重構結果Fig.5 Comparison of PDF results of instantaneous temperature field data of the RB system temperature field data

表1給出了不同下采樣比的ESPCN 方法和Bicubic 方法重構后的流場數據的MSE。從表中可以看出：下采樣比較小時，ESPCN 方法和Bicubic方法重構出的流場誤差較小，且兩者精度接近；在下采樣比較大時，ESPCN 方法的性能優于Bicubic方法。

表1 不同下采樣比的MSETable 1 MSE with different down-sampling rus

2.2 湍流邊界層流場的重構

上節研究了基于直接數值模擬的RB 系統流場的超分辨率重構。由于存在環境噪聲，從實驗中獲得的流場數據對超分辨率算法具有一定的挑戰。本節討論對湍流邊界層（Turbulent Boundary Layer，TBL）實驗數據的超分辨率重構結果。

實驗測量數據來源于文獻[30]，采用粒子圖像測速法（Particle Image Velocimetry，PIV）獲得。實驗裝置如圖6所示，平板尺寸l×l= 250 cm×80 cm，l和l分別為平板流向和展向長度。平板前緣修型，減小流動分離對下游流場的影響；通過調整平板后緣角度滿足零壓力梯度條件。自由來流速度u=0.53 m/s。圖中綠色區域為實驗測量區域，大小為L×L×L63 mm×15 mm×68 mm，L、L和L分別為測量區域的流向、垂向和展向長度。

圖6 湍流邊界層實驗裝置圖[30]Fig.6 Sketch of turbulent boundary layer experimental device[30]

選取距離平板底部0.41 mm 的二維流場截面（圖6中紅色線條表示該截面）數據用于訓練。被選取的二維截面的網格為64×64，將流向速度u、垂向速度v 和展向速度w 作為ESPCN 的3 個通道的訓練數據。同樣地，將140 個瞬時TBL 流場數據用于模型訓練，60 個瞬時TBL 流場數據用于模型驗證。采用ESPCN 和Bicubic 方法對下采樣比為2、4、8 的低分辨率流場數據進行重構。圖7和8 分別為下采樣比為4 和8 的流向速度u 的重構結果對比。

從圖7和8 可以看出，對于下采樣比為4 和8 的情況，ESPCN 方法仍具有良好的超分辨率重構能力；對于下采樣比為8 的情況，以Bicubic 方法重構后的流場數據會丟失掉很多信息，甚至某些尺度較小的速度結構已經無法恢復。

圖7 下采樣比為4 的TBL 流向速度數據的超分辨率重構結果Fig.7 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =4

同樣地，圖9為下采樣比為4 和8 的瞬時TBL流場的流向速度PDF 分布的對比（黑色圓圈為原始流場的結果，紅色星形為Bicubic 方法的結果，藍色三角形為ESPCN 方法的結果）。從圖中可以看出，下采樣比為4 時，ESPCN 方法和Bicubic 方法重構的流場流向速度分布與原始流場的流向速度分布接近；下采樣比為8 時，ESPCN 方法重構的流場流向速度分布比Bicubic 方法重構的流場流向速度分布更可靠。這說明下采樣比為8 的TBL 實驗流場數據對Bicubic 方法更具有挑戰性。

圖8 下采樣比為8 的TBL 流向速度數據的超分辨率重構結果Fig.8 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =8

圖9 TBL 流向速度數據的PDF 分布結果對比Fig.9 Comparison of PDF results of TBL streamwise velocity

表2給出了不同下采樣比的ESPCN 方法和Bicubic方法重構后的流場數據的MSE。與RB 系統的重構結果類似，ESPCN 方法在大下采樣比情況下仍能展現出不錯的性能。

表2 不同下采樣比的MSETable 2 MSE with different down-sampling rus

3 結 論

本文采用ESPCN 方法和Bicubic 方法分別對RB 系統的數值模擬數據和TBL 實驗流場數據進行超分辨率重構，得到以下結論：

1）使用基于卷積神經網絡的超分辨算法（ESPCN）可以對數值模擬及實驗測量所得的流場數據進行超分辨率重構。

2）對于數據梯度較大的區域，ESPCN 方法比Bicubic 方法的超分辨率重構效果更好。但對于RB 系統，ESPCN 方法在bulk 區重構的流場數據會稍偏離原始數據。針對這一問題，下一步研究可以考慮加入物理信息約束的卷積神經網絡對流場數據進行重構。

3）在大下采樣比情況下進行超分辨率重構時，Bicubic 方法重構的數據會變得平滑，損失掉較多流場結構邊界信息，而ESPCN 方法可以很好地還原原始流場的某些速度結構信息。

感謝天津大學姜楠教授課題組為本文提供湍流邊界層實驗數據。