高中數學解題中不等式的應用

摘要：不等式是高中數學的重要知識點，在解題中有著廣泛的應用.為提高學生的應用能力，教學中應做好不等式基礎知識講解，使學生真正地理解，牢固地掌握不等式的相關性質、結論等.同時，注重結合具體的習題為學生展示不等式在解題中的應用，給其帶來良好的解題啟發.

關鍵詞：高中數學;解題;不等式;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0053-04

收稿日期：2022-03-05

作者簡介：徐天保（1985.6-），男，安徽省懷寧人，碩士，中學二級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

應用不等式可解答高中數學中的求最值、比較大小、求取值范圍、證明結論等問題.常用的思路有：運用基本不等式、運用函數單調性、運用放縮法等.授課中除為學生講解相關理論，提高其應用不等式解題的意識，還應做好相關的應用示范，使其積累相關的應用經驗.

1 用于求最值

高中數學習題中的求最值無外乎求最大值、最小值，尤其遇到求單個參數的最值時通常分離參數，而后結合已知條件拼湊出基本不等式的形式，運用基本不等式求解.運用基本不等式求最值應確保其滿足“一正二定三相等”，尤其不能生搬硬套，否則可能得出錯誤結果.

例1已知x，y為正實數且滿足關系式x+y+3=xy，對任意的x，y均有（x+y）2-a（x+y）+6≥0恒成立，則實數a的最大值為.

該題不滿足運用基本不等式的條件，此時需要運用函數性質進行突破.

解析因為正實數x，y滿足關系式

x+y+3=xy，xy≤（x+y2）2，

所以x+y+3≤（x+y2）2.

即（x+y）2-4（x+y）-12≥0.

解得x+y≥6或x+y≤-2（舍去）.

又因為（x+y）2-a（x+y）+6≥0恒成立，

所以a≤x+y+6x+y恒成立.

問題轉化為求x+y+6x+y的最小值.

令t=x+y（t≥6），則f（t）=t+6t.

由對勾函數性質可知，其在[6，+∞）上單調遞增，則f（t）min=7.

因此，a的最大值為7.

2 用于比較大小

運用不等式比較大小主要有兩種思路：思路1，借助所學函數的單調性直接進行比較.思路2，構造出新的函數，運用導數研究其在對應區間的單調性，而后比較大小.其中思路2難度較大，教學中應注重為學生展示經典的例題，使其掌握相關的解題技巧.

例2設a=3π，b=π3，c=33，則a，b，c的大小關系為（）.

A.b>a>cB.c>a>b

C.a>b>cD.b>c>a

觀察可知a和c，b和c可直接運用指數函數、冪函數性質進行比較.而比較a，b的大小，則需要構造函數，運用導數知識分析.

解析因為冪函數y=x3在（0，+∞）上單調遞增，而π>3，所以b>c.

又因為y=3x在R上單調遞增，π>3，

所以a>c.

因為a=3π，b=π3，等式兩邊均取對數得到lna=πln3，lnb=3lnπ.

令f（x）=lnxx，則f ′（x）=1-lnxx2.

則當x>e時，f ′（x）<0，則f（x）單調遞減.

即f（3）>f（π）.

即ln33>lnππ.

即πln3>3lnπ，lna>lnb.

即a>b，所以a>b>c，故選C.

3 用于求取值范圍

求解參數取值范圍是高中數學中的重要題型.相關的習題情境復雜多變，解題思路靈活多樣，其中從不等式視角切入有時會取得意想不到的效果，因此，高中數學授課中應做好該類題型的歸類，與學生一起總結相關的解題思路.

例3已知x>0，y>0，x+12y+xy=4，則xy+1x2y2+2xy+17的取值范圍為.

該題具有一定的技巧性，需要運用不等式知識構建新的不等關系，而后結合函數性質求出其最值.

解析因為x>0，y>0，x+12y+xy=4，

故x+12y+xy≥212xy+xy=2·xy+xy.

即（xy）2+2·xy-4≤0.

解得0

即1

故xy+1x2y2+2xy+17=1xy+1+16xy+1.

令t=xy+1，則f（t）=t+16t.

由對勾函數性質可知其在（1，3]上單調遞減，則f（t）∈[253，17）.

則原式的取值范圍為（117，325].

4 用于證明結論

高中數學證明類的習題一般具有較大的難度，對學生的綜合能力要求較高.其中證明不等關系時需要結合所學的不等式知識進行針對性的放縮.

例4在數列{an}中滿足a1=3，an+1=2an+2.設bn=nan+2，其前n項和為Sn，證明：對任意的n∈N*，15≤Sn<45.

該習題以數列為背景考查了構造法、錯位相減法、放縮法等知識，難度較大，尤其放縮時應結合證明的結論，把握放縮的度.

解析因為an+1=2an+2，

所以an+1+2=2（an+2）.

而a1+2=5，所以{an+2}是以5為首項，以2為公比的等比數列.

an+2=5·2n-1，bn=n5×2n-1.

Sn=15（120+221+322+…+n2n-1），①

12Sn=15（12+222+323+…+n2n），②

①-②，得Sn=25（120+12+122+…+12n-1-n2n）

=25（1-12n1-12-n2n）

=45-15×n+22n-1<45.

又Sn+1-Sn=25（n+22n-n+32n+1）=25×n+12n+1>0，

則{Sn}單調遞增.

即Sn≥S1=15.

綜上對任意的n∈N*，15≤Sn<45.

5 用于解答新情境問題

新情境問題在高中數學測試以及高考中多有出現，能很好地考查學生遷移所學知識解決問題的能力.解答該類問題的關鍵在于對要求解的問題進行轉化，化陌生為熟悉，尤其能夠根據題干描述構建新的不等關系，運用不等式以及函數性質進行突破.

例5若兩個函數y=f（x）和y=g（x）對任意的x∈[a，b]都有|f（x）-g（x）|>2，則稱函數在[a，b]上是疏遠的.

（1）已知命題“函數f（x）=x2+2x-1和g（x）=x-2在[0，1]上是疏遠的”，試判斷該命題真假，若為真命題請予以證明，若為假命題請舉出反例;

（2）若函數f（x）=x2+2x-1和g（x）=x-2在[a，a+1]上是疏遠的，求實數a的取值范圍;

（3）已知常數c>1，若函數F（x）=12（cx-c-x）與G（x）=cx在[1，2]上是疏遠的，求實數c的取值范圍;

該習題創設的情境較為新穎，解題的關鍵在于吃透題意，并根據給出的新定義將問題轉化為在特定區間求不等式的問題.

解析對于問題（1）根據給出的新定義，可知要想滿足題意，則|f（x）-g（x）|>2在[0，1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0，1]上恒成立.

因為y=x2+x+1=（x+12）2+34在[0，1]單調遞增，ymin≥1，所以|x2+x+1|=x2+x+1≥1，其并不恒大于2.

因此，是假命題.例如當x=0時，|x2+x+1|=1<2.

問題（2）將問題轉化為|x2+x+1|>2在[a，a+1]上恒成立，因為y=x2+x+1，Δ<0，所以問題轉化為x2+x-1>0在[a，a+1]上恒成立.

令y=0，解得其兩根分別為x1=-1-52，x2=-1+52，要想滿足題意應有a+1<-1-52或a>-1+52，解得a<-3-52或a>-1+52.

問題（3）問題轉化為|F（x）-G（x）|>2在[1，2]上恒成立，整理得到

|-12（cx+c-x）|=|12（cx+c-x）|>2.

因為cx>0，c-x>0，所以12（cx+c-x）>2.

即cx+c-x>4.

令H（x）=cx+c-x，取1≤x11，所以cx1-cx2<0，cx1·cx2>1.

所以1-1cx1·cx2<0，H（x1）-H（x2）<0，函數H（x）在[1，2]上單調遞增，所以H（x）>H（1）=c+1c>4，解得c>2+3或c<2-3.

所以c的取值范圍為（2+3，+∞）.6 用于解決實際問題不等式在解決實際問題中有著廣泛的應用.運用不等式解答實際問題時應注重充分吃透題意，通過認真審題把握相關參數之間的邏輯關系，構建對應的不等關系.

例6某企業研發部原有100人，年人均投入a（a>0）萬元，現將研發部人員分成技術人員和研發人員，其中技術人員有x名（45≤x≤75），調整后研發人員的年人均投入增加4x%，技術人員的年人均投入為a（m-2x25）萬元.

（1）要使調整后的研發人員的年總投入不低于調整前的100人的年總投入，調整后的技術人員最多有多少人？

（2）是否存在實數m，同時滿足：技術人員的年人均投入始終不減少;調整后研發人員的年總投入始終不低于調整后技術人員的年總投入？若存在求出m的值，若不存在，說明理由.

該題來源于生活.要想正確作答需要認真審題，從題干中抽象出相關參數的不等關系，運用不等式性質進行求解.

解析（1）根據題意可知，調整后研發人員有（100-x）人，年人均投入[1+（4x）%）]a.

由題意可知（100-x）[1+（4x）%）]a≥100a，解得0≤x≤75.

又因為45≤x≤75，所以調整后的技術人員最多有75人.

（2）因技術人員人均投入不減少，則有a（m-2x25）≥a，解得m≥2x25+1.

同時，研發人員的年總投入始終不低于調整后技術人員的年總投入，則由（100-x）[1+（4x）%）]a≥ax（m-2x25），解得m≤100x+x25+3.

綜上可得2x25+1≤m≤100x+x25+3.

因為100x+x25+3≥2100x·x25+3=7，當且僅當x=50時取等號，所以m≤7.

又因為45≤x≤75，x∈N+，當x=75時，2x25+1取得最大值7，所以m≥7.

綜上可得存在這樣的m滿足題意，此時m=7.

高中數學教學中為使學生認識到不等式的重要作用，掌握運用不等式解答相關習題的思路與技巧，應注重與學生一起推導不等式的相關性質與結論.同時，優選經典習題，在課堂上為學生展示具體的解題過程，并鼓勵學生做好聽課的總結，更好地加深印象，牢固地掌握所學.

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[責任編輯：李璟]