巧用平面幾何性質(zhì) 妙解圓錐曲線問題

摘要：文章通過例題展示一個平面幾何性質(zhì)在圓錐曲線中的應(yīng)用，以此說明在解析幾何中解析法與平面幾何性質(zhì)結(jié)合的重要性.

關(guān)鍵詞：平幾性質(zhì);解析幾何;圓錐曲線;應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0014-04

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，解析法偏重于相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系研究，由于代數(shù)運算復(fù)雜，對運算能力要求較高，往往使很多學生對解析幾何題望而生畏.事實上，解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題，若能充分把握解析幾何中圖形的特征，挖掘圖形相應(yīng)的幾何性質(zhì)，恰當?shù)剡\用平面幾何的相關(guān)知識進行求解，往往能簡化運算，優(yōu)化解題過程，能起到四兩撥千斤的功效.

本文以幾道考題為例，展示一個平面幾何性質(zhì)在圓錐曲線問題中的巧妙應(yīng)用.

1 示例呈現(xiàn)與解析

題目已知拋物線C：y2=4x的焦點是F，準線是l.

（1）寫出點F的坐標和l的方程;

（2）如圖1，已知點P（9，6），若過點F的直線交拋物線C于不同兩點A，B（均與點P不重合），直線PA，PB分別交l于點M，N，求證：MF⊥NF.

解析（1）由題意得點F的坐標（1，0），l的方程為x=-1.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（y1≠±6，

y2≠±6），AB直線方程為x=ty+1，

聯(lián)立x=ty+1，y2=4x，得

y2-4ty-4=0.

于是y1+y2=4t，y1y2=-4.

由P（9，6），得kPA=4y1+6.

所以直線PA的方程為y-6=4y1+6（x-9）.

令x=-1，得M（-1，6y1-4y1+6）.

同理可得N（-1，6y2-4y2+6）.

所以kFM×kFN=yF-yMxF-xM×yF-yNxF-xN

=9y1y2-6（y1+y2）+4（y1+6）（y2+6）.

將y1+y2=4t，y1y2=-4代入，得

kFM×kFN=-1.

故MF⊥NF.

2 一個優(yōu)美平幾性質(zhì)

從上述證明可以看出，示例的問題（2）用解析法證得結(jié)論，但運算量稍大，那么有沒有更為簡單的方法來解決呢？經(jīng)探索，找到了一個極為簡潔的證法.

先給出一個優(yōu)美的平面幾何性質(zhì)作為引理：

引理若圓錐曲線C的離心率為e，焦點F所對應(yīng)的準線為l，曲線C的弦AB所在的直線交準線l于點P.當點P在弦AB內(nèi)時，F(xiàn)P平分∠AFB;當點P在弦AB外時，F(xiàn)P平分∠AFB的外角.

證明如圖2，設(shè)點A，B在準線l上的射影分別為點A′，B′，連接AA′，BB′，則

AA′⊥l，BB′⊥l.

于是可得AA′∥BB′.

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，有

AFAA′=BFBB′=e.

即AFBF=AA′BB′.

由AA′∥BB′，易得△APA′∽△BPB′.

故有AA′BB′=APBP.

從而有AFBF=APBP.

由三角形的內(nèi)（外）角平分線定理的逆定理，可得FP平分∠AFB（或FP平分∠AFB的外角，取決于點P在弦AB內(nèi)還是外）.

故引理得證.

示例問題（2）的證法2如圖3，連接PF，并延長交l于點G.

由引理，可得FM平分∠AFG，F(xiàn)N平分∠BFG，且有∠AFG+∠BFG=180°.

故可得2（∠MFG+∠NFG）=180°.

即得∠MFG+∠NFG=90°.

所以∠MFN=90°.

于是有MF⊥NF.

證法2從平面幾何的角度思考，借助引理，簡化了推理和運算過程，具有直觀、簡捷、明快的特點，方法新穎獨到.

證法2所用的引理在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用，下面舉例說明.3 性質(zhì)在解析幾何中的應(yīng)用

例1（2021年1月全國統(tǒng)一適應(yīng)性考試（八省聯(lián)考）第21題）雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上.當BF⊥AF時，|AF|=|BF|.若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

解析由題可知雙曲線C的方程為

x2a2-y23a2=1.

則雙曲線C的右準線為

l：x=a2.

如圖4，設(shè)雙曲線C的右準線l與弦AB交于點P.

由引理，PF平分∠AFB，可得

∠BFA=2∠PFA.

注意到A（-a，0），F(xiàn)（2a，0），從而雙曲線C的右準線l：x=a2恰好是AF的垂直平分線，故可得∠PFA=∠PAF.

即得∠PFA=∠BAF.

所以∠BFA=2∠BAF.

例2（2021年3月“燕博園考試”第21題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點為B，直線m：x-y-1=0過橢圓的右焦點F，點B到直線m的距離為22.

（1）求橢圓C的方程;

（2）橢圓C的左頂點為A，M是橢圓位于x軸上方部分的一個動點，以點F為圓心，過點M的圓與x軸的右交點為T，過點B作x軸的垂線l交直線AM于點N，過點F作直線FE⊥MT，交直線l于點E.求的|BE||EN|值.

解析（1）由題知，橢圓C的方程為x24+y23=1，過程略.

（2）因為FE⊥MT，由垂徑定理，易得FE是∠MFT的平分線.

設(shè)橢圓C的弦AM交橢圓C的右準線d：x=4于點P，右準線d：x=4與x軸交于點Q，如圖5.

由引理，可知FP平分∠MFA的外角，

即FP平分∠MFT.

所以點P在直線FE上.

由NB⊥x軸，PQ⊥x軸，可得

△EFB∽△PFQ.

從而EBPQ=FBFQ=2-14-1=13.

即EB=13PQ.

可得△NAB～△PAQ.

從而NBPQ=ABAQ=46=23.

即NB=23PQ.

故有NB=2EB.

于是E是NB的中點，即BEEN=1.

所以|BE||EN|值為1.

例3如圖6，設(shè)拋物線E與橢圓Γ有共同的焦點F，且f為焦點F所對應(yīng)的共同準線，過橢圓Γ上一點M作橢圓的切線，且切線交拋物線E于A，B兩點，則FM平分∠AFB.

證明如圖7，在拋物線E中，由引理，可知FK平分FA與FB夾角的外角.

即FK平分∠BFG.

所以有∠BFK=∠KFG.

在橢圓Γ中，由引理，可知FK平分FC與FD夾角的外角，即FK平分∠DFH.

所以有∠DFK=∠KFH.

而∠BFD=∠DFK-∠BFK，

∠GFH=∠KFH-∠KFG，

故有∠BFD=∠GFH.

又因為∠GFH=∠AFC，

所以∠AFC=∠BFD.

于是當點C，D重合變成切點M時（如圖6），即有∠AFM=∠BFM.

所以FM平分∠AFB.

4 小結(jié)反思

從上面例子可以看出，解答解析幾何問題時善用平面幾何知識，常常可以避開繁難的代數(shù)運算，簡化解題過程，很好地揭示這些問題的幾何本質(zhì)，別樣精彩.其中挖掘試題背后的有關(guān)幾何性質(zhì)是關(guān)鍵，這需要熟練掌握一些常見平面幾何圖形的性質(zhì)，并將其與解析幾何的特征量相結(jié)合，尋找問題解決的切入點與突破口.因此對于解析幾何問題，要緊扣其中關(guān)鍵的幾何要素，用平面幾何知識去化解解析幾何問題的難度，將解析法與平面幾何法相結(jié)合，做到相輔相成、相得益彰，從而得到解決問題的最優(yōu)解法，這不僅是解決解析幾何問題的法寶，也是減少解析幾何運算量的有效途徑，還有助于打破學生學習過程中容易形成的思維定勢，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，更好地提高解題能力.

5 練習鞏固

最后提供一題作為練習，以加深體會該性質(zhì)在圓錐曲線中的應(yīng)用.

練習（2021年4月山東省高三第二次模擬考試第22題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，上頂點為D，過右焦點F（1，0）的直線交橢圓C于P，Q兩點，點P在x軸上方，當PQ⊥x軸時，OP∥AD（O為坐標原點）.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設(shè)直線AP交直線BQ于點M，直線BP交直線AQ于點N，則∠MFN是否為定值？若是，求出該定值;若不是，請說明理由.

答案（1）x22+y2=1;

（2）∠MFN為定值，且定值為π2.

參考文獻：

[1] 林國紅.同心圓錐曲線中兩個命題的證明[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2019（11）：33-35.

[2] 林國紅.探究讓考題更精彩——一道學考題的探究與思考[J].中學教研（數(shù)學），2019（04）：24-26.

[責任編輯：李璟]