基于網絡教學平臺和Mathemat ica的高等數學實驗教學模式研究

李 敏

（懷化學院數學與計算科學學院，湖南 懷化 418008）

0 引言

高等數學是理工經管類各專業的一門核心公共基礎課程，對學生學習后續專業課程和培養學生數學思維能力都起著非常重要的作用。高等數學課程的教學目標在于讓學生掌握微積分的基本理論和基本方法，培養學生抽象的思維能力、邏輯推理能力、實踐應用能力和科研創新能力。

高等數學課程教學內容抽象、理論性強、計算復雜，對于數學基礎不牢固的大學一年級本科生而言具有較大的學習難度。傳統授課模式下，教師在課堂上往往過于重視理論的講授、公式的推導和復雜計算過程的演示，忽視了對數學知識和方法產生的背景和數學技術的實踐應用的介紹。因而導致學生難以理解所授內容的數學內涵和應用技巧，課堂教學對學生綜合實踐能力和創新能力培養不突出，課程教學難以支撐專業人才培養目標。傳統課堂教學內容、教學模式和教學方法手段有待改革。

本文介紹筆者在近幾年的教學實踐中構建的基于網絡教學平臺和數學軟件Mathematica構建的高等數學課程實驗教學模式，新的教學模式落實了以學生為中心、以能力培養為核心、以問題為主線的現代教學理念。本文將從構建高等數學實驗教學模式的理論和技術基礎、教學組織方式、教學案例展示等方面展開。

1 基于網絡教學平臺和Mathematica軟件的高等數學實驗教學模式

1.1 高等數學實驗教學的理論基礎和技術支持

自2018年起，教育部高等教育司不斷推進以學生為中心的高等教育改革，提出要在教學中突出“學生中心、持續改進、成果導向”的基本原則，為我國全面提高本科教育質量指明了方向。落實以學生為中心的教學理念，即要在教學活動中突出學生的主體地位，學生在自主發現、自主探索新知識及其意義的過程中進行自我構建。在高等數學課程中開設實驗項目，讓學生從問題出發，基于數學軟件平臺體驗解決問題的過程，在實驗過程中學習、探索和發現數學規律，是順認新時代高等教育發展的舉措。通過完成實驗項目內容，學生在主動學習數學知識與技能的過程中提升綜合實踐能力，培養科學精神和創新意識。

筆者在近幾年的高等數學實驗教學的實踐中選擇Mathematica軟件作為實驗平臺。Mathematica由美國Wolfram Research公司開發，它具有強大的數值計算功能、符號計算功能、圖形程序設計功能和動態演示功能。筆者基于數學軟件Mathematica自主設計了一系列集科學性、趣味性、應用性、啟發性于一體的高等數學實驗項目，這些實驗項目是高等數學教學內容體系的重要補充。

1.2 高等數學實驗教學方法和教學模式

在高等數學實驗教學過程中，廣泛應用任務驅動法和小組討論法組織教學。任務驅動法是一種以學生為中心，以完成任務為驅動的教學方式，通過學生自主完成目標任務和解決問題來達成教學目標。教師是教學活動的主導者，在高等數學實驗教學設計時，一般將實驗項目教學內容分解成多個具體的任務，每個任務中都蘊含了相應的知識、能力和情感目標。學生基于實驗指導書和Mathematica軟件，通過小組合作和自主探索，不斷發現問題、分析問題、解決問題，在完成任務的過程中發現新問題、探索新問題。在整個教學實施過程中，教師起到引導、幫助和組織協調的作用，學生真正成為教學活動的主體。

筆者所設計的實驗項目均與高等數學課程中重要的知識點相關聯，實驗教學與理論教學相輔相成。為提高教學效率，授課教師在課前將實驗指導書、實驗程序、實驗報告和Mathematica軟件教程發布在超星網絡教學平臺上。學生基于教師發布的實驗指導書、教學微視頻、實驗程序等在線學習資源自主探索，學生以小組合作的方式完成實驗任務，教師根據學生在實驗過程中提出的問題和實驗報告完成情況進行適時指導，并通過組內自評、小組互評、集中講評完成成績評定。筆者基于網絡教學平臺和Mathematica軟件構建了線上線下結合、課內課外互補、理論教學與實踐探索并重的開放式、立體式高等數學課堂。所設計的實驗項目均以問題為主線，學生在分析問題、解決問題的過程中學習數學知識與技能，在實驗操作過程中培養數學技術實踐應用能力，在發現和探究新問題的過程中提升科研創新能力。

2 教學案例介紹

函數是事物的內部聯系在數量方面的反映，根據問題提供的信息建立描述函數及其導數關系的微分方程，進而可以求出函數的表達式。為介紹高等數學課程中齊次微分方程在解決實踐問題中的應用，引導學生探索齊次微分方程的解法和微分方程的數值算法，培養學生的數學應用能力和科研創新能力，我們基于鴨子過河問題設計了一個實驗項目.本節，我們以該實驗項目為教學案例介紹高等數學實驗教學組織模式和Mathematica軟件在實驗教學中的應用。

問題：設有兩岸平行、河面寬度為h的小河，河水流速為a。有一只鴨子從河堤的A點游向正對岸的O點，設鴨子始終朝點O游，且保持恒定的靜水速b（b>a），試運行模擬鴨子過河過程的計算機程序，觀察動態模擬過程，建立描述鴨子游動軌跡的微分方程并探索其求解方法。

設置a=0.7，b=1，h=50，編寫了模擬鴨子過河動態過程的Mathematica程序，代碼如下：

運行程序即可生成模擬鴨子游動的動態演示界面，如圖1（a）所示，學生基于演示動畫對鴨子過河的過程有了非常清晰、非常直觀的認識，同時模擬鴨子過河過程的程序設計方法為學生探索鴨子過河軌跡方程的解法提供了重要支撐。為建立描述鴨子過河軌跡的微分方程，在圖1（b）所示的直角坐標系中分析鴨子的速度向量。設t時刻鴨子位于P（x，y），引導學生逐步分析鴨子游動速度表示方法。

圖1 鴨子過河問題輔助圖

在實驗項目中，應用Mathematica的圖形程序設計功能，對比方程的解析解與仿真模擬所得鴨子過河軌跡，幫助學生掌握應用數學軟件和微分方程分析和解決實踐問題的基本方法。為拓展學生的知識面，培養學生的科研創新能力，進一步引導學生探索微分方程的數值解法。設點列{P（x，y）}在方程解x=x（y）確定的曲線上，設y=y+d，由方程幾何意義，學生可以直觀地看到圖1（e）中的割線和切線有相近的斜率，因此：

令y=h，x=0，如果d足夠小，基于前面的微分方程，可以合理地構造迭代公式：

這就是求解本實驗項目中的微分方程數值解的歐拉公式。設置a=0.7，b=1，h=50，d=1.0，應用該公式編程可得點列{P（x，y）}，圖1（f）對比了數值算法產生的點列與解析解描述的曲線的一致性，同時也檢驗了算法的有效性。

學生通過完成上文介紹的鴨子渡河實驗項目，學習了應用數學軟件模擬平面上質點運動過程的基本方法，掌握了應用微分方程求解實踐問題的方法和步驟，鞏固了齊次微分方程的理論解法，同時探究了求微分方程數值解的歐拉法的基本原理，該實驗項目能有效培養學生的實踐應用能力、編程能力、科研創新能力。類似的教學案例和實驗項目還有很多，限于論文篇幅，在此不一一列舉。

3 結語

本文介紹了筆者在近幾年的教學實踐中構建的基于網絡教學平臺和Mathematica軟件的高等數學實驗教學模式。在高等數學實驗教學實施過程中，學生對實驗教學內容和數學軟件都產生了濃厚興趣，學生學習參與度較傳統課堂大幅提高。基于筆者團隊自主開發的高等數學實驗教學資源，學生通過在Mathemaitca軟件上自主完成實驗項目，親自動手完成實驗內容，增進了對相關數學知識和方法產生的背景及應用領域的了解，有效提升了學生分析問題、解決問題、發現問題的能力，學生在探索完成一些具有較大挑戰度的實驗項目的過程中，很好地培養了其科研創新能力。