Matlab在三重積分計算的教學設計中的可視化應用

張 鳳 田 祥＊ 朱柘琍

（山東農業大學信息學院，山東 泰安 271018）

0 引言

三重積分的計算需要學生有很強的空間想象力和運算能力，學生在學習的過程中可能會覺得煩躁，產生厭煩情緒，這不利于高等數學教學工作的開展。那么如何讓抽象的概念變得直觀形象，讓復雜的計算迎刃而解，增加學生學習高等數學的信心和興趣呢？筆者在教學設計環節上狠下功夫，首先通過引入環節讓學生意識到學習三重積分的意義和作用，接著在具體的講解計算方法的過程中通過一只土豆的質量切丁、切絲還是切片生動形象地把三重積分的計算問題化解為先一后二或先二后一，最后在教學實例中運用數學軟件作為輔助，實現積分區域的可視化，并用Matlab程序語言快速實現累次積分的計算，讓學生體會到將數學和計算機雙劍合璧的力量，改變了傳統的教學模式，提高了教學的效率。

1 教學設計的引入環節

也就是說一個土豆，密度不均勻，要求土豆的質量，就切丁，通過切丁法我們就將土豆的質量轉化成了三重積分。通過以上討論知道要求不規則物體的質量就是以密度函數為被積函數在相應區域上做三重積分。但是同學會問三重積分該怎么計算呢？筆者的思路是把三重積分化成三次積分，也就是三個定積分，然后應用N-L公式就解決了。但是如何將三重積分轉化成三個定積分呢？那就要看這個土豆，也就是積分區域的形狀了。在直角坐標系下，理論上的方法有兩個：一是先一后二法，也叫投影法，形象一點叫切絲法；二是先二后一法，也叫截面法或切片法。下面先來看怎么切絲。

2 投影法（先一后二法或切絲法）

2.1 區域為X-Y型

通過以上的討論，區域為X-Y型的三重積分方法為：

（1）畫出積分區域圖；（2）判斷積分區域的類型；（3）選擇合適的積分次序，在這里強調當是X-Y型區域就是先對z積分；（4）確定積分限。

確定積分內限的口訣為：域內一線穿，兩點定內限；積分區域既然有X-Y型區域就有X-Z型區域或者Y-Z型，所以很自然的引入X-Z型區域。

2.2 區域為X-Y型區域

在這里強調當土豆是X-Z型區域時，要向xoz面投影，從而先對y積分，并且確定積分限的口訣仍然適用，即此時土豆的質量為：

講完了以上兩種類型，Y-Z型不再贅述。下面來討論截面法也就是先二后一法或者切片法。什么時候適合切片呢？就是當土豆的密度也就是被積函數是關于z的一元函數的時候。

3 截面法

（假設被積函數是關于z的一元函數，即土豆的密度為f（z））

通過以上的討論，什么樣的類型適合用截面法總結如下：

（1）被積函數是關于z的一元函數；（2）截面的形狀規則，面積好算。

思考一下，如果被積函數是關于x的一元函數呢？該怎么切片？大家可以自行給出結果。最后強調一下，在直角坐標系下，以上的方法同樣適用于被積函數符號任意的情形。下面看具體的例子。

4 例題

繪制的圖形如圖1所示

圖1 四面體

四面體Ω可以看作是X-Y型區域，向xoy面投影，投影域D為（見圖2）。應用投影法，三重積分可化為：

圖2 投影域

同學們看到了這個積分肯定打退堂鼓，因為積分的計算量比較大了。沒關系，接著讓計算機計算，用Matlab編程如下：

所以學會了三重積分化累次積分之后，具體的累次積分計算的實現過程完全可以借助計算機。

分析：積分區域Ω上是一個上半錐，像甜筒，先應用Matlab程序語言將它的圖形繪制出來，程序如下：

繪制圖形如圖3所示。

圖3 積分區域

這個三重積分被積函數是關于z的一元函數，積分區域的截面（見圖4）都是圓，所以適合切片，因而應用截面法就將三重積分化為：

圖4 積分區域的截面

不由得感慨，so easy！這其實就是方法選對了，所以事半功倍。

5 結語

在高等數學中，三重積分的計算是難點更是重點，它需要扎實的計算能力以及空間的想象力，讓學生們望而生畏，望而卻步，所以筆者在三重積分計算的程序設計中引入了Matlab。Matlab具有強大的符號計算功能以及圖形繪制功能，將Matlab引入高等數學的課堂改變了傳統的粉筆加黑板的課堂教學模式，可以很方便地將一些抽象的函數形象的表示出來，給學生更直觀的講述效果，進而加深學生對教學內容的理解，使高等數學不再晦澀難懂。Matlab程序設計的介入提高了學生的空間想象力，也增加了學生自主學習高等數學的興趣，是培養學生數學素養的有力工具。