一道中考題引發(fā)的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)思考

謝潔瓊

中考，作為一場(chǎng)兼顧學(xué)業(yè)水平和升學(xué)選拔雙重作用的考試，其壓軸題必然是承載學(xué)科關(guān)鍵能力和學(xué)科思想方法的考查的載體.2020年福建省中考數(shù)學(xué)卷第25題（壓軸題），考查了關(guān)鍵能力中的運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法.閱卷情況表明，有相當(dāng)一部分考生因?yàn)橹苯邮褂昧恕叭舨恢睾系膬蓷l直線斜率相等，則這兩條直線平行”這個(gè)高中數(shù)學(xué)的結(jié)論證明第（2）問(wèn)導(dǎo)致不得分;還有一部分考生因?yàn)榈冢?）問(wèn)中沒(méi)有結(jié)合“相似三角形面積比等于相似比的平方，而相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比”這個(gè)性質(zhì)求解，導(dǎo)致失分.

那么，為何考生展示出來(lái)的思維軌跡（體現(xiàn)在答卷上）與命題組的預(yù)設(shè)（體現(xiàn)在參考答案上）會(huì)產(chǎn)生如此大的偏差？具體而言，預(yù)設(shè)的是兩條直線平行的判定定理和相似三角形性質(zhì)定理在坐標(biāo)平面情境下的綜合運(yùn)用，但是為什么考生在考場(chǎng)上想不到運(yùn)用平行線和相似三角形的相關(guān)聯(lián)的知識(shí)去解決問(wèn)題，而另辟蹊徑去運(yùn)用并不能作為初中階段的推理依據(jù)的真命題——一不重合的兩條直線斜率相等，則這兩條直線平行”作為說(shuō)理依據(jù)？

3 答題情況分析

本題作為今年福建省中考數(shù)學(xué)試題的第25題（壓軸題），第（1）問(wèn)兼顧學(xué)業(yè)水平考試的基礎(chǔ)性;第（2）問(wèn)打破定勢(shì)思維，借助直角坐標(biāo)系，用“數(shù)”證“形”;第（3）問(wèn)設(shè)置了運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中找最值，以“數(shù)”解“形”.總體來(lái)說(shuō)，設(shè)置的三個(gè)問(wèn)題串，有序構(gòu)建了一道低起點(diǎn)、多層次、高落差且兼具水平性考試和選拔性考試功能的綜合性試題.試題將一次函數(shù)、二次函數(shù)和相似三角形知識(shí)完美結(jié)合，目的是想通過(guò)幾何與代數(shù)結(jié)合在一起考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法的深度遷移與靈活應(yīng)用.

通過(guò)對(duì)部分考生的訪談得知，解題質(zhì)量不高的主要原因有以下幾點(diǎn)：①無(wú)法將坐標(biāo)系里面的直線平行與幾何證明聯(lián)系起來(lái)，于是無(wú)可奈何地把“不重合的兩條直線斜率相等，則這兩條直線平行”結(jié)論用上;②沒(méi)有想到可以從逆向思維去解題：平面上兩條直線只有平行和相交兩種位置關(guān)系，相交的兩條直線聯(lián)立其解析式得到的方程組必有一解.③第（3）問(wèn)能推出直線，l1和l3平行，但是無(wú)法轉(zhuǎn)化到通過(guò)面積比等于相似比的平方來(lái)列出兩個(gè)三角形面積之和的式子后求解.

4 一些思考

美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)在“定義深度學(xué)習(xí)與2l世紀(jì)技能委員會(huì)”題為《為生活和工作而教育：培養(yǎng)21世紀(jì)可遷移的知識(shí)和技能》的報(bào)告中指出：深度學(xué)習(xí)就是為遷移而學(xué)習(xí)的過(guò)程，能夠讓學(xué)生將一個(gè)情境中習(xí)得的知識(shí)應(yīng)用到其他情境中.第（2）問(wèn)就是在“其他情境”中，找到可以證明兩直線平行的判定條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明角相等，再轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角的正切值相等.

深度學(xué)習(xí)要培養(yǎng)的是學(xué)生了解和掌握數(shù)學(xué)學(xué)科核心知識(shí)的能力、運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行批判性思考和解決復(fù)雜問(wèn)題的能力等等.反思我們的初中課堂教學(xué)，忽視概念的抽象過(guò)程、題型技巧滿天飛、關(guān)注思想性不夠、數(shù)學(xué)教學(xué)欠缺整體性、結(jié)構(gòu)性、連貫性以及滿堂灌滿堂問(wèn)等等問(wèn)題突出，而基于問(wèn)題、基于探究、基于整體等具有創(chuàng)造性和實(shí)踐性的學(xué)習(xí)方式卻被多數(shù)教師認(rèn)為浪費(fèi)課堂時(shí)間而拒之門(mén)外.于是，“碰到做過(guò)的不一定會(huì)做，碰到?jīng)]做過(guò)的一定不會(huì)做”的現(xiàn)象長(zhǎng)期存在，從而導(dǎo)致學(xué)生每次考試一新就難.

5 踐行深度學(xué)習(xí)的路徑

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，相對(duì)于對(duì)零散的、無(wú)關(guān)聯(lián)的知識(shí)內(nèi)容不加批判地的機(jī)械記憶，學(xué)習(xí)內(nèi)容脫離生活實(shí)際，與學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)缺乏關(guān)聯(lián)，學(xué)不致用等等表現(xiàn)的淺層學(xué)習(xí)，深度學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理深刻理解、主動(dòng)關(guān)聯(lián)、積極建構(gòu)、遷移應(yīng)用的學(xué)習(xí)，特別是在批判的基礎(chǔ)上去理解與記憶知識(shí)，在聯(lián)系的基礎(chǔ)上去建構(gòu)知識(shí)體系，在過(guò)程的基礎(chǔ)上去體驗(yàn)感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，在內(nèi)化的基礎(chǔ)上去遷移應(yīng)用解決問(wèn)題.因此，倡導(dǎo)單元教學(xué)、創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境、設(shè)計(jì)有效課堂活動(dòng)應(yīng)該是在初中階段踐行深度學(xué)習(xí)三個(gè)有效路徑.

5.1 倡導(dǎo)單元教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，單元（章節(jié)）是知識(shí)結(jié)構(gòu)化的重要表現(xiàn).結(jié)構(gòu)化、情境化、凸顯學(xué)科一般觀念的知識(shí)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的功能是最強(qiáng)的.而單元教學(xué)無(wú)疑是落實(shí)學(xué)科思想方法和一般觀念的有效途徑.在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中，更是需要打破教科書(shū)的章節(jié)順序，將前后聯(lián)系、邏輯連貫的知識(shí)串作為新的復(fù)習(xí)單元，進(jìn)行縱橫聯(lián)系，打通知識(shí)間的壁壘，進(jìn)而建立知識(shí)間的結(jié)構(gòu)體系.

例如，在復(fù)習(xí)四邊形時(shí)，可以讓學(xué)生回憶與四邊形有關(guān)的一切知識(shí)并畫(huà)思維導(dǎo)圖，教師在學(xué)生畫(huà)的基礎(chǔ)上跟學(xué)生一起完善，幫助學(xué)生厘清單元內(nèi)的邏輯和單元間的邏輯.比如從邊的角度，角的角度，以及對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系，還有因位置關(guān)系引起的數(shù)量關(guān)系等等.涉及到數(shù)量關(guān)系，就可以拓展到與數(shù)量關(guān)系相關(guān)的一維數(shù)軸和二維坐標(biāo)系中求數(shù)量關(guān)系.有線有角涉及到坐標(biāo)系中的一次函數(shù)和兩條直線間的數(shù)量、位置關(guān)系等等.

經(jīng)常這樣不斷滲透和加深互相關(guān)聯(lián)的知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生的核心素養(yǎng)就會(huì)得到發(fā)展，自然在新情境下就容易提取知識(shí)解決問(wèn)題.也就不至于出現(xiàn)在中考考場(chǎng)上多畫(huà)個(gè)坐標(biāo)系就想不起證明兩條直線平行的方法這樣的現(xiàn)象發(fā)生.

5.2 創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)教學(xué)是自覺(jué)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的課堂活動(dòng)，要在短時(shí)間內(nèi)使學(xué)生得到較大的發(fā)展和提升，勢(shì)必要讓學(xué)生感興趣主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，這要求教師在學(xué)生學(xué)習(xí)之初，在有難度、有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)面前，發(fā)揮教師應(yīng)有的主導(dǎo)作用，創(chuàng)設(shè)一些學(xué)生感興趣并且能自主探究的問(wèn)題情境，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)和生活應(yīng)用之間建立起有時(shí)代氣息和新鮮感的聯(lián)系，從而促使學(xué)生的邏輯思維能力和應(yīng)用意識(shí)得到發(fā)展和提升，在不知不覺(jué)中形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例如，在七年級(jí)下冊(cè)7.2.1“用坐標(biāo)表示地理位置”這堂課中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況畫(huà)出一幅關(guān)于學(xué)校、A同學(xué)、B同學(xué)、C同學(xué)家位置的示意圖，在抽象出坐標(biāo)系畫(huà)位置關(guān)系后，還可以讓每位學(xué)生在坐標(biāo)系上畫(huà)出自己家的位置，甚至可以結(jié)合當(dāng)?shù)氐穆糜尉包c(diǎn)教師給出一些數(shù)據(jù)讓學(xué)生為外地游客畫(huà)出景點(diǎn)位置示意圖.最后在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)情境探究的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)利用坐標(biāo)系表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置的方法.

通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題學(xué)習(xí)情境，學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)的知識(shí)更好地在過(guò)程中體驗(yàn)和感悟用坐標(biāo)表示平面內(nèi)的點(diǎn)的位置數(shù)學(xué)本質(zhì)——相對(duì)位置，從而讓深度學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生.

5.3 設(shè)計(jì)有效課堂活動(dòng)

為了引起學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的內(nèi)在興趣，化解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，就需要教師從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)的水平出發(fā)，設(shè)計(jì)有效的課堂教學(xué)活動(dòng)，帶動(dòng)學(xué)生自主參加活動(dòng)，幫助學(xué)生筒約地經(jīng)歷人類發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)知識(shí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，促使學(xué)生思考和建構(gòu).

例如，在八年級(jí)上冊(cè)14.2.1“平方差公式”的教學(xué)中，教師可以給出一組計(jì)算題，讓學(xué)生計(jì)算完后觀察有什么共同點(diǎn)：Sx5與4x6，lOxl0與9xll，15x15與14x16.學(xué)生計(jì)算完后會(huì)發(fā)現(xiàn)每?jī)山M數(shù)之間的規(guī)律后，教師馬上再提出：如果25x25= 625，那么24x26=？肯定有學(xué)生能快速回答.教師馬上追問(wèn)：能快速回答的同學(xué)，你一定是有什么發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn).學(xué)生說(shuō)后，教師繼續(xù)追問(wèn)：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你繼續(xù)列舉例證，計(jì)算并檢驗(yàn)是否支持你的發(fā)現(xiàn).學(xué)生列舉后，教師引導(dǎo)：既然有那么多的例子驗(yàn)證了你的發(fā)現(xiàn)，能否用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出你們的發(fā)現(xiàn)？學(xué)生表達(dá)完了后，教師繼續(xù)引導(dǎo)，如何證明你的式子？如此這般通過(guò)設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)，帶動(dòng)著學(xué)生自主地展開(kāi)活動(dòng)——計(jì)算算式、觀察特點(diǎn)、總結(jié)規(guī)律、列舉例證、表達(dá)發(fā)現(xiàn)等，學(xué)生有了這些自主活動(dòng)才能通過(guò)活動(dòng)領(lǐng)會(huì)感悟教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在本質(zhì)，所學(xué)的平方差公式的內(nèi)容才真正成為學(xué)生的認(rèn)知對(duì)象，教學(xué)活動(dòng)才真正成為學(xué)生的自己的活動(dòng)，從而讓學(xué)生增強(qiáng)了長(zhǎng)時(shí)記憶、激發(fā)了學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、到達(dá)了高階思維.

再如，在九年級(jí)上冊(cè)24.2.1“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)“筆尖找圓”的小組活動(dòng)：全體學(xué)生閉上眼睛，用記號(hào)筆在已經(jīng)畫(huà)好一個(gè)圓的卡紙上畫(huà)點(diǎn)（為了增加趣味，可以設(shè)計(jì)成游戲，比如在設(shè)定時(shí)間，設(shè)定獲勝標(biāo)準(zhǔn)）.畫(huà)完后老師追問(wèn)：各小組所畫(huà)的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？這些點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑之間有什么大小關(guān)系？這種對(duì)于點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的研究，非常形象地反映了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系：由圖形的位置關(guān)系決定數(shù)量關(guān)系，由數(shù)量關(guān)系可以判斷圖形的位置關(guān)系.

上述的課堂活動(dòng)不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生體驗(yàn)筆尖落點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑大小的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生的深入思考，從而引導(dǎo)學(xué)生去思考如何用數(shù)量關(guān)系的定量關(guān)系去描述點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體.

綜上所述，在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該在深刻理解課程標(biāo)準(zhǔn)、理解數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值和核心素養(yǎng)的前提下，聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境、設(shè)計(jì)有效的課堂活動(dòng)、進(jìn)行主題單元教學(xué)，才能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，進(jìn)而在各級(jí)各類評(píng)價(jià)中表現(xiàn)優(yōu)異.