“設而不求”有變化 聯立方程須謹慎

曹彬

1 問題的提出

在涉及橢圓、雙曲線、拋物線方程與性質的題中，直線與圓錐曲線的位置關系題是高考的熱門考點之一，一般會出現在解析幾何題的第（2）問.分析近五年全國高考數學理科試題I、Ⅱ、Ⅲ卷，從2016年到2018年，這種題的常規解題過程都是設直線方程，再設直線與圓錐曲線交點，聯立直線與圓錐曲線方程，于是根據根與系數的關系得出交點的坐標關系式，再將結論轉化成上述關系式求解，這就是用“設而不求”思想的解題過程，整個過程需要高強度的計算和清晰的邏輯思維為支撐.正因如此高三師生更愿意將這個過程程序化，而后在復習備考階段，將大量的精力放在研究“設而不求”的程序上，并希望借此程序寫得更多，走得更遠，

近5年的高考試題統計表明，2016年至2018年的解析幾何試題的考查的確較為關注“設而不求”解題思想的直接運用.但是從2019年開始，“設而不求”解題思想悄然發生變化，尤其理科I、Ⅱ卷的解析幾何題的第（2）問不僅要設點的坐標，而且要表示或解出點的坐標，淡化二次方程根與系數的關系應用，考查重點由過去的邏輯推理轉變為數學運算素養，2020年全國高考數學理科試題I、II、III卷更是如此.命題趨勢的變化必然帶來學習方式的轉變，下面以2020年高考全國III卷理科20題為例，談談這類題的分析和解答過程.

為驗證滿足條件的點P是否存在，利用幾何畫板軟件，動態展示圖象變化過程，最終猜想滿足條件的點P有幾個.

建立坐標系，任作一個焦點在x軸上的橢圓，在橢圓外的x軸上任取一個點，過該點作x軸的垂線，在垂線上任取一點Q，設橢圓與x軸的左右交點分別為A，B，以點B為圓心，線段BQ為半徑作圓，設圓與橢圓的一個交點為點P，度量∠QBP的大小，此時只是保證BP= BQ，需要使？∠QBP= 90°的點P才滿足條件，

應該注意到，上述的求解思路將“設而不求”演化成了“設而求出”.

4 結論

基于上述分析可以看出，求解第（2）問時，需要把各點坐標都解出具體數值的有力證據就是同時滿足|BP|=|BQ|和BP⊥BQ的點P，Q只能是四種情況.在加強考察學生計算能力，培養學生數學運算素養背景下，高考解析幾何題的考查方向在悄然發生變化，延續多年的“設而不求”過程穿插著“設而求出”，韋達定理的應用不再是高考解析幾何題的唯一解題出路.這意味著，平時教學（尤其是高三復習），應加強訓練多元方程組的求解，迎接高考題的這些變化.

參考文獻

[1]楊玉明，高考數學解析幾何命題的探究[J].新i果程，2020 （33）：237