注重基本方法培養基本技能

程鳳娟 胡艷

不等式的研究是初等數學研究的主要內容之一，這其中一類為分母為一次多項式的分式不等式.這類不等式的證明由于分母的表達式的構成相比整式要復雜，因而證明的規律難以尋找，其證法繁多，解題技巧豐富，一時難以掌握和靈活應用，因而探求處理這類不等式的方法是必要的.

許多數學期刊的數學問題欄給出了不少分式不等式的題目，但許多解答直接使用基本不等式或柯西不等式，而使得技巧性強，對于中學生理解與掌握有一定難度，本文選取《數學通報》數學問題的幾個題目，應用數學中廣泛使用的換元法，將原問題轉化為較為簡單的問題，再結合基本不等式或柯西不等式等常用不等式，給出異于原解答者的解答，來說明換元法——這一基本方法在這一類分式不等式的證明中的應用.

從上述證明可以看出，通過換元，將分母的多項式轉化為了單項式，然后利用基本不等式，避免了直接湊配系數的難度，得到了本題的證明，其思路簡單，不需任何技巧.

同法可證明例題1的一般化問題以及將分子疊加后的問題：

分析 本題是《數學通報》2001 （12）數學問題1342題，原解答通過變形，湊配利用柯西不等式給出證明，若注意到本題的特點，其分母表達式較為復雜，但均為一次式，因此通過換元將分母轉化為比較簡單的的形式，在利用熟知的一個結論即獲得本題的簡單證明，

分析 本題是《數學通報》2004 （2） 1474題，原證明通過變形后利用了”元柯西不等式的一個變形給出證明，但若注意到本題的結構，通過換元后再由平均不等式，有如下的證明，

分析 本題是《數學通報》2006 （8）數學問題1625的不等式形式，原解答直接利用均值不等式求得，由于條件中系數不具有輪換對稱性，因此系數的湊配有技巧，同前面例題的分析，通過換元即有：

從上述例題可以看出，對于分母是一次式，或可化為一次式的分式不等式，利用換元法，可有效降低原問題的難度，簡化原問題的求解過程，不失為一種處理這類不等式的好方法，法國數學家狄德羅說：“數學中所謂美的解答，是指一個困難復雜問題的簡易回答”，求簡，是解答數學問題追求的目標之一，數學問題的解答不僅追求思維過程的簡單，方法的簡單同樣重要，換元法雖然是數學中常用的基本方法，但基本的方法的作用并不“基本”，這也說明了在數學教學中為什么要強調重視培養學生的基本技能的原因，