立足兩類垂直證明 提升學生邏輯推理核心素養

雷雄軍

數學證明教學是提升學生邏輯推理核心素養的重要途徑，在中學階段，幾何證明占據了數學證明的絕大部分.本文立足高一立體幾何教學中的直線與直線垂直，平面與平面垂直等兩類垂直證明，淺述在平時教學過程中如何以教材及習題為依托，以課堂為主陣地，提升學生的邏輯推理核心素養.

1 邏輯推理核心素養

邏輯推理素養是高中數學課程標準提出的六大核心素養之一.《普通高中數學課程標準（2017版）》指出：邏輯推理是從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養;是得到數學結論，構建數學體系的重要方式;是數學嚴謹性的基本保證.高中數學課程標準指出，通過高中數學課程的學習，學生能夠掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯的思考問題，能夠在比較復雜的情境中，把握事物之間的關聯，把握事物發展脈絡，形成重論據，有條理，合乎邏輯的思維品質和理性精神.在具體教學過程中，我們該如何立足教材及其相應的習題提升學生邏輯核心素養呢？本文將結合立體幾何教學中的兩類垂直證明思維過程展現論述如何將邏輯推理核心素養融入具體的課堂教學內容中，提升學生邏輯推理能力.

2 直線與直線垂直證明的邏輯分析

直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系是高中立體幾何的教學重點，也是教學難點.必修2的教材中，雖然并沒有專門的章節直接講述直線與直線的證明，也沒有像直線與平面垂直那樣給出了直接的判定定理，但是線線垂直的證明是依托線面垂直證明，卻又高于線面垂直的證明.因此也很受命題者的青睞.在高中立體幾何中設置的線線垂直證明，都是要通過證明線面垂直，在線面垂直的基礎上，再說明另一條線在面內即可得出結論.那么如何通過條件和己學的知識，找到我們所需的線面垂直呢？課本和習題中的答案中只是呈現了要找的線面垂直及其如何證的.但是沒能告訴我為什么要找那樣的線面垂直，是如何切入的.如何由所給的條件及所證的結論找到精準的線面垂直才是解決問題的關鍵，只有完成這個過程，學生的邏輯推理能力才能得以提升.

在上面例題的邏輯探析過程中，我們在與PC上BD關聯的情境中，通過對條件與結論的分析，探索了論證的思路，發現并提出數學問題BD上面COP，最終選擇了合適的論證方法予以證明并能用準確的數學語言表述論證過程，依據水平劃分標準，達到了情境與問題、思維與表達的水平二標準.探析過程中始終圍繞主題，觀點明確，加深理解了線線垂直與線面垂直定理、命題之間的邏輯關系，初步建立起網狀的知識結構，提煉出解決此類問題的通性通法.

3 平面與平面垂直的邏輯探析

由平面與平面垂直的判定定理可以得出，要證面面垂直仍然必須要證線面垂直，即要在一個平面內找一條線與另外一個平面垂直，我們知道，每個平面至少有3條線，兩個平面至少6條線，如果每條線都去嘗試，至少要嘗試6種情況，大大降低了做題的效率.同樣教材和習題答案也是只給了我們找怎么樣的線面垂直及如何證明，沒能告訴我們為什么要找這樣的線面的垂直，是怎樣推理出來的？這就是教師講題要重點發揮的地方，要讓學生能夠在較復雜的情境中，清晰有邏輯地思考問題，進而準確把握解決問題的脈絡.

邏輯探析 要證明面面垂直，就必須要證線面垂直，要證線面垂直就必須有線線垂直，因此先在復雜的情景中尋找線線垂直.即要在兩個平面內分別找出一條線且要互相垂直（一般情況下這組互相垂直的線比較容易找到）.在此題中，利用面面垂直的性質，可以找到PO上AC，接下來我們的思路就可以鎖定在證PO⊥面PAC或AC⊥面POB.比之前的至少6種情形清晰簡單了很多.這里通過挖掘題目中的平面PAD⊥平面ABCD，合理構建了過渡性命題PO上面PAC或AC⊥面POB，接下來再結合題目中的其它條件、圖形去尋找兩種線面垂直情形的論證路徑（至少有一種情形可以論證）.

在以上問題的解答過程中，面對要證的結論平面POB⊥平面PAC，通過對條件的合理分析，構建兩種不同的過渡性命題PO⊥面PAC或AC⊥面POB，再利用題目中圖形與圖形，圖形與數量關系探索出論證AC⊥面BOP途徑，并用嚴謹的數學語言表達.這個過程使學生深入理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的相關定理及其定理之間的邏輯關系，構建空間垂直證明體系的網絡結構.

4 結語

在數學教學過程中培養學生的邏輯推理能力，不僅可以讓學生更順利的構建數學知識體系，發現和提出有意義的數學命題，而且還可以培養學生的思維品質，這種思維品質可以遷移到其他學科及其生活中去.本文僅從立體幾何中的兩類垂直證明思維過程的展現論述如何將邏輯推理素養的內涵、要求融入具體的課堂教學內容中，進而提升學生邏輯推理能力.其實，邏輯推理普遍存在于幾何與代數、函數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動等高中數學的幾大教學模塊中.教師在教學過程中，要精準提煉邏輯推理的培養策略，依托教材，深入鉆研教材內容背后所蘊含的邏輯推理素養;要立足課堂，不斷改變課堂教學方式，讓學生經歷知識發生發展及探索過程，發散學生的思維，使學生有邏輯地思考問題，發展學生邏輯思維素養.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定，普通數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018