“三局二勝制”獲勝概率辨析及拓展猜想

張國坤

轉述高中數學人教A版教材選修2-3 P59習題2.2B組第1題如下：“甲、乙兩選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？”

教學參考書給出解答如下：

“每局比賽可以看成是相互獨立的，所以甲獲勝的局數x是隨機變量，x服從二項分布.

但在“采用3局2勝制”的實際比賽中，可能甲連勝兩局或連輸兩局就結束比賽，因此懷疑上述“教參”解法不一定正確，按實際比賽情況計算如下：記“采用3局2勝制”的比賽中甲勝為事件A，其中甲通過前2局贏得比賽為事件4，甲通過3局贏得比賽為事件A2，則A1與A2互斥，

兩種算法在數值上是相等的，這是偶然還是必然呢？

再看“采用5局3勝制”的比賽，記甲勝為事件B，其中甲通過前3局贏得比賽為事件B1甲通過4局贏得比賽為事件B，甲通過5局最后贏得比賽為事件B3，則B1，B2，B3兩兩互斥，

從兩種局制的兩種算法分別相等的結果來看，兩種算法內部可能具有必然的本質的“相等”聯系.

因此，兩種算法結果相等是必然而不是偶然.

考慮一般情況，假設甲、乙兩者比賽中甲每局勝的概率均為p，記1-p=q.在甲、乙兩者采用“2n+1局n+1勝”賽制的比賽中，求甲勝的概率.

筆者列舉了許多特例驗證，這個等式都是成立的，但沒能從理論上給出嚴格的邏輯證明，希望讀者能夠給出證明，

從比賽活動的實際需要分析，如果甲在前n+1局中連勝而贏得了比賽，但出于觀賞或訓練的需要，后面再進行n局比賽（補足2n+l局）…不管前多少局甲贏得比賽，都安排把局數比足2n+1局，后面補充的比賽并不影響甲獲勝的結果（也不影響概率）.對贏得比賽來說，甲勝n+2，n+3，，.，2n+1局都是不必要的，只需勝n+1局即可.這樣一來，兩種計算方法“合情合理”地要相等，因此猜想肯定是正確的，組合等式.