微探究 微創新 彰素養 促教改

鄭麗生

《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見（2019年版）》[1]提出，試題命制一是要考查學生基礎知識以及基本技能的掌握情況，二是要檢驗學生是否具備良好的思維過程、是否擁有創新的意識，以及學生是否掌握了分析和解決問題的能力.2020年福建省中考數學試卷考慮到今年突發疫情對教育方方面面都產生了影響，因此試題素材的選擇和試卷難度進行合理選擇和科學控制;同時，試卷命制既需要兼具基礎性和合格性，又注重創新性、綜合性以及應用性.2020年中考第16題主要特點：微探究，微創新，彰素養，促教改.

1試題特點分析

1.1原題呈現

（2020年中考福建卷.16）設A，B，C，D是反比例函數y=k/x圖象上的任意四點，現有以下結論：①四邊形ABCD可以是平行四邊形;②四邊形ABCD可以是菱形;③四邊形ABCD不可能是矩形;④四邊形ABCD不可能是正方形.其中正確的是____.（寫出所有正確結論的序號）

1.2 試題取材和立意

試題源于福建中考統一命題的前三年第16題的反比例函數和平行四邊形的綜合問題.2020年的試題核心點和方法相對穩定，試題進行微探究，首次出現不定項選擇，體現了創新性、發展性、導向性，促進教學改革.

1.3 試題分析

本題是典型的反比例函數與特殊四邊形綜合問題填空壓軸題，以函數為情境幾何存在性探究拓展題.題目給出反比例函數圖象上的任意四點A，B，C，D，要求探究四邊形ABCD可以是哪些特殊四邊形;四個選項層層遞進，又有一定的聯系.

從知識層面來看，本題核心知識主要有兩塊：反比例函數和平行四邊形，為幾何圖形疊加反比例.考查了以下幾個點：（I）反比例函數性質、圖象的認識.（Ⅱ）特殊平行四邊形判定、對稱性的掌握，對特殊四邊形包含關系（如圖1）的理解.（Ⅲ）命題與否命題的理解.（Ⅳ）直線和反比例函數圖象的交點應用.（V）初、高中的數學知識及思維的銜接.

從試題結構呈現上看，本題共有四問，四問之間有一定的邏輯關系（如圖2），演繹歸納，注重螺旋式上升.第①問判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形，難度小，入口寬，通過學生最熟悉的基本試題圖形，應用反比例函數圖象與平行四邊形的中心對稱性，當對稱中心重合時，可得結論成立.目的在于檢測學生是否很好掌握了平行四邊形判定.第①問在于啟發，其定位是通過應用四邊形對角線關系引導考生進行判斷，挖掘其蘊含的基本結論尋找解題思路.反思2017年第16題，本題的第③問是2017年福建中考第16題的一個發展，解題的突破口也是對稱性.第①和③問著眼基礎圖形，關注通性通法，給了學生親切感，增強了解題信心.第②和④問可作圖直觀判斷或者反例法.

從數學思想能力上看，本題的呈現形式從一般到特殊的變化過程，發現反比例函數與平行四邊形之間的特殊關系，提出問題.整個過程體現了歸納、理解、應用、拓展的探究型學習過程.試題著眼學生的演繹推理、合情推理、類比歸納推理能力，關注化歸、數形結合、轉化、集合思想，關注動手能力.除此之外，要求學生具備應用和創新的意識，

從數學核心素養上看，本題旨在引導學生應用數學的視角思考教材的延伸問題，關注對學生分析和解決問題的能力評價.試題設置學生已有的知識情境，指引考生在關聯的情境中抽象出未知的性質，接著引導探究特殊四邊形存在性的過程，從多個角度理解反比例函數性質，并用數學思維來分析和解決問題，這體現了對數學運算、論證素養的考查.這題優秀之處在于：以學生未來成長為立足點;關心數學的本質;考查學生自身數學的學科核心素養的高低;解決試題需要綜合運用多種數學素養.

2 解題分析

從代數方向進行解法分析：解決反比例函數問題主要關注[2]：（I）k的幾何意義.（Ⅱ）軸對稱性（兩條對稱軸），中心對稱（原點是對稱中心）.（Ⅲ）與一次函數相關聯（解方程組、韋達定理、根的判別式）.應用代數法，借助建立坐標系，把幾何問題中需要判斷的線段長度，計算角度，通過坐標計算來解決.

（4）因為四邊形ABCD不可能為菱形，所以第④問四邊形ABCD不可能是正方形正確的.

從幾何方向進行解法分析：在應用幾何法時多方面思考，不同角度出發作出輔助線幫助解題.根據平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理的一個共同要素對角線，利用反比例函數的對稱性，畫好圖形，結合反例法.反比例函數的對稱性知識是解題的關鍵.

由圖6可知本題考查反比例函數的對稱性，要構成平行四邊形一定要對角線經過原點，所以平行四邊形是有可能的，矩形只要在平行四邊形的基礎上加上對角線相等即可.如圖7，以O為圓心畫一個圓，使圓與反比例函數有四個交點.但菱形和正方形的構成還需要對角線互相垂直.所以由圖4可知，要四個點都在反比例上，對角線垂直的情況下，一條對角線在一、三象限的話，另一條對角線在二、四象限，如圖8，所以菱形和正方形都不可能存在.

3試題拓展延伸

（1）可以把己知改為“純幾何”條件進行探究.將己知條件反比例函數y=k/x圖象改為在矩形四條邊，已知M，N，P，（分別是任意矩形ABCD四條邊上的點（不與端點重合），探究的四個結論不變，那么第①②③結論通過作圖直觀操作得到結論（如圖9-11），第④結論用反證法可得結論.

（2）改變己知條件，同時四個結論可以更深入一步.將己知條件反比例函數y=k/x圖象上改為在矩形四條邊上，探究結論特殊平行四邊形存在性個數問題.解題思路類似.

（3）可以把已知條件反比例函數背景進一步的拓展探究，把己知條件反比例函數拓展為同一條拋物線或者同一個圓，結論特殊平行四邊形存在性變為直角梯形存在性.直角梯形ABCD的四個頂點在同一條拋物線上、一個反比例函數的圖象上.通過作圖操作（如圖12，13）觀察與函數圖象的另外兩個交點，發現結論.直角梯形ABCD的四個頂點在同一個圓上.應用反證法，根據圓周角定理（如圖14）得四邊形ABCD是矩形.

（4）由幾何存在性增加平移條件轉為代數求解算證探究.例如，已知雙曲線y=k/x（k>0）與其中對稱軸（直線y=x）直線交于A，B兩點（點A在第三象限如圖15），將雙曲線在第一象限的一支沿射線BA的方向平移，使其經過點A;將雙曲線在第三象限的一支沿射線AB的方向平移，使其經過點B，平移后的兩條曲線相交于P，Q兩點，求PQ的長.應用對稱性，探究多種解法.

4 基于核心素養考查，反思教學改革

2020年的這道題是基于“數學核心素養”的微探究試題.近幾年備受重視，考出了學的水平，也考出了教的質量.這類試題考查學生對題目的理解、思考解題的能力以及將思路歸納總結為結論的表達能力，最顯著特征為創新性，也是數學學習中最有價值的體現.基于試題發展趨勢，再結合學生這題出錯的原因，反思我們的教學，是不是過多地關注刷題的數量、題型、模式，而不是對知識本質的剖析與運用缺乏對一類問題在思維、方法、思想上的歸納、總結、抽象、概括，“讀思達”教學法真正以“核心素養為導向”，將注意力放在學習的過程和關鍵環節上.在教學實踐中嘗試開展課題型微探究活動，指引學生實現建構化、合作化和體驗化的學習.運用有結構和邏輯的課題型微探究幫助學生逐步養成良好的思維方式和探究問題的能力，與此同時助力學生建立系統化的數學知識、技能，使得學生能夠擁有更加成熟的理性思維.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部教育部，教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見（教基[2019] 15號）[EB/OL].（2019-11-22）.http：∥www.moe.gov.CI“

[2]反比例函數k的幾何意義專項練J題[EB/OL].（2019-9-2）.https：//wenku.baidu.com/view/7bfa07f9d5bb fdOa795673 72 .html