優化問題設計 促進思維發展
——特級教師李培芳《集合》教學片斷賞析

文|楊國雄

美國數學家哈爾莫斯指出：“問題是數學的心臟。”問題是激發學生興趣，促進學生知識理解、思維提升的源泉，在數學教學中具有重要地位。教師要善于優化問題的設計，激發學生學習的內驅力，促進學生認知結構的形成和思維品質的提升。近期筆者聽了特級教師李培芳老師執教的《集合》一課，令人印象深刻。李老師通過巧妙的問題設計，將抽象的集合知識形象化、趣味化、結構化，促進學生對集合概念的理解，推動學生思維水平不斷進階。現從本節課擷取幾個教學片斷進行賞析。

片斷一：問題引發，激活思維。

師：老師今天準備了一個很簡單的問題：5＋3等于幾？一起回答。

生：8。

師：那5＋3在什么情況下等于7呢？

生：5＋3在算錯的時候等于7。

師：但是有一個真實的故事，在這個故事中5＋3真的等于7。有一天，李老師來到了601班，然后李老師問：愛吃肉的請舉手，5個人舉手；愛吃魚的請舉手，3個人舉手。

師：我們回憶一下，幾個人愛吃肉？幾個人愛吃魚？

生：5個愛吃肉，3個愛吃魚。

師：這時李老師說剛剛舉過手的站起來，只有7個人。5個愛吃肉，3個愛吃魚，加起來應該是幾個呀？

生：8個。

師：怎么站起來只有7個呢？1個人怎么說沒就沒了呢？誰能夠來說一說。

生：可能是老師數錯了。

師：老師也會犯錯，有可能哦！（掌聲）但是李老師告訴你，那天老師沒數錯。

生：有1個人重復了。

師：好棒哦！她一下子就知道了問題所在。（掌聲）

生：有1個人忘記站起來了。

師：有沒有這種可能啊？（掌聲）但是那天舉手的都站起來了，但只有7個人。

生：有1個人愛吃肉也愛吃魚。

師：他也想到了，很棒。（掌聲）

師：看來我們班有些同學已經想到了！下面四人小組討論一下，為什么是7個人？

師：我們請剛才第一個想到的同學，大聲告訴大家你的想法。

生：可能有1個人愛吃魚也愛吃肉。

【賞析：于學生而言，“5＋3=8”是不容置疑的。李老師基于學生的已有認知，抓住了集合運算的新奇處設計問題“5＋3為什么等于7？”，引發學生的認知沖突，激發學生強烈的探索欲望。在教學組織上，李老師沒有急于讓“學霸”說出答案，而是通過問題的引導、語言的激勵讓更多的學生卷入到問題的思考中。好的問題，一定是低門檻、開放式的，這樣可以讓全體學生迅速投入到課堂學習中。課始，李老師用新奇的問題引發學生深度思考，激活了學生的思維，讓學生的思考逐步聚焦到集合的交集——重復部分。】

片斷二：問題探究，理解概念。

師：現在我們把601班的這種情況擺出來，問題就清楚了。

師：5個人愛吃肉；3個人愛吃魚。（教師邊數邊擺磁鐵）

師：這個時候出現了什么情況啊？

生：重復。

師：對，有1個人既愛吃肉，又愛吃魚。重復了。（教師邊說邊移磁鐵）

師：這個同學的名字李老師都猜得到，他的名字應該叫做“小胖”！吃肉的時候，他舉手了，1、2、3、4、5；吃魚的時候，他又舉手了，6、7、8。但實際只有7個人，因為重復了。

師：這種情況我們可以用圖把它表示的更清楚。老師給大家介紹一個數學概念，這個概念叫做“集合”。（板書：集合）

師：把愛吃肉的人，用一個圈圍在一起，這就表示這5個人愛吃肉，這就是一個集合；還有一個集合叫什么集合啊？

生：愛吃魚。

師：愛吃魚的集合有幾個人？

生：3個。

師：誰能把愛吃魚的3個人放在這個集合里面？

（學生上臺移動磁鐵，將“小胖”放進愛吃魚的集合中）

師：愛吃肉的有幾個人？

生：5個。

師：趕緊把“小胖”放過去啊。（學生移動磁鐵）

師：愛吃魚的有多少個？

生：3個。

師：對啊！趕緊把“小胖”放過來。（學生遲疑了）

師：你知道她為什么不拿嗎？她很聰明啊！因為她拿過來后，愛吃肉那里就會少一個了。再拿過去的話，愛吃魚又會少一個了。怎么辦？誰愿意上來試一試？

師：小胖要放在哪里？你說。

（學生把愛吃魚的圈擦掉，準備畫圖）

師：（讓學生停下來）我知道她懂，她這一畫就“完了”。她這一畫，你們就沒機會畫了，因為她一下子就把正確答案畫出來了。可能她是想到了，但是有的同學可能還沒有想到。

師：這樣老師給大家一點啟發。“小胖”愛吃肉，應該放在圈里對不對？“小胖”也愛吃魚，也應該放在圈里對不對？那怎么把“小胖”既愛吃肉也愛吃魚表示出來呢？請大家在《學習單》上畫一畫。

（學生上臺展示，教師結合韋恩圖梳理）

師：所以“小胖”放在這個交叉的位置，就能表示“既愛吃肉又愛吃魚”。

師：剛才大家解決的這個問題，為什么只有7個人呢？因為重復了。好，我們來看課件。

【賞析：學習，起源于問題，發展于問題探究之中。集合是現代數學的基本語言，可以簡潔、準確地表達數學內容。但集合概念是抽象的，三年級學生理解起來存在困難，此時要有恰當的情境帶入，要讓學生經歷、感知、體驗知識的產生過程，學生才能深刻理解集合知識的本質。因此，李老師在故事情境的基礎上，引導學生圍繞問題“5＋3為什么等于7？”展開深入探究，通過教具的直觀演示，設計“擺一擺”“辨一辨”“畫一畫”等豐富的學習活動，讓學生經歷從集合概念的引入到集合交集的理解，再到集合交集的創造性表示的完整學習過程，從而使學生在知識形成的過程中理解概念的內涵和意義。】

片斷三：問題串聯，整體建構。

師：接下來老師要講第三個故事了，誰猜到老師的故事怎么講？

生：有一天，李老師來到603班，問愛吃肉的舉手，有5個，又問愛吃魚的舉手，有3個，結果讓他們站起來，發現只有5個人。

師：對啦！（掌聲）那你們能把這種情況畫出來嗎？

（生1上臺畫圖，如下圖）

師：我們簡單看一看，這個畫的有沒有道理？這個圖里愛吃肉的是有5個人嗎？

師：愛吃魚的圈里是有3個人嗎？

師：但是我們可以發現圖里愛吃魚的3個人全部都……

生：愛吃肉。

師：數學上為了清楚地表示這種情況，用了一種新的圖。（教師板書兩個圈，且存在包含關系）

師：你們現在會表示嗎？試著畫一畫。

（學生1上臺展示畫法，如下圖）

師：他畫的對嗎？我們來驗證一下。大圈是愛吃肉的，小圈是愛吃魚的。愛吃魚的有3個嗎？數一數。愛吃肉的有5個嗎？數一數。

生：是的。（齊數后回答）

師：所以數學就是這樣，會想辦法把多余的部分省略掉，用最簡單的方式把它表示出來。

師：今天我們認識了集合，把愛吃肉的人全部圍在一起，愛吃肉就是一個集合了，把愛吃魚的人全部放在一起，又成了一個新的集合。那請大家思考“5個人愛吃肉，3個人愛吃魚，愛吃肉和愛吃魚的一共可能有幾個人？”

生：可能有7個人、6個人或5個人。

生：我覺得“5＋3”還可能有8個人，在沒有重復的時候。

師：你們聽懂他的想法了嗎？（掌聲）那你能不能上來把這種情況畫出來？

（學生上臺展示畫法，如下圖）

師：同學們，這就是“集合”。我們認識的兩個集合的位置可能是怎樣的啊？

生：分開的；交叉的；大圈包小圈的。（教師指著集合圖）

師：今天大家真的掌握的很快，學得也很快！接下來需要大家作出快速反應。

（PPT出示：快速反應——寫出所有的可能。5個人是男生，3個人是女生，男生和女生一共可能有幾個人？）

生1：我認為可能有8個人、7個人、6個人或5個人。

生2：我也同意他的答案，可能是8、7、6、5。

生3：不可能有人既是男生又是女生的。

師：跟大家說說你的答案是？

生3：8。

師：為什么只有一個答案8？

生3：因為不可能有人既是男生，又是女生。

師：所以這時“5＋3”一定等于？

生3：8。

【賞析：“雙減”背景下的數學課堂，要求大力提升教育教學質量，確保學生能在校內學足學好。學“足”的重要體現是教師能以孩子真正接受能力為基礎，突破教材的束縛，為學生提供更為豐富、更為多元的學習內容。回顧本節課的教學，李老師沒有局限于交集的教學，而是引導學生在理解概念的基礎上進一步探究集合的子集、并集，幫助學生整體建構小學階段集合知識的全貌，讓學生的學習“見樹木也見森林”，更具結構化。學“好”的表現是學生在課堂上就能輕松地掌握好知識和方法，同時思維能力得到真正的提高。李老師用問題“5＋3等于幾？能不能等于7？還能等于幾？都能等于8、7、6、5嗎？”將本節課的教學串聯在一起，用核心問題的持續思考推動學生深度學習的發生，促使學生的數學思維由低階走向高階。】

片斷四：課堂“留白”，彰顯魅力。

師：有一天放學，李老師來到604班，看到幾個同學在值日。我就問：你們喜歡吃肉的有幾個啊？他們告訴我，5個。我又問喜歡吃魚的舉手，我數了數，有3個。5個愛吃肉，3個愛吃魚，于是我就跟他們說，你們值日的人數要么是8個，要么是7個，要么是6個，要么是5個。

生：李老師你猜錯了，我們有9個人。

師：“5＋3”怎么會等于9呢？

師：這個問題今天肯定是解決不了了，你們回家再想吧！留個問題回家想會更有意思。

【賞析：課堂的適當“留白”，可以調動學生思維的主動性與積極性，讓學生基于自己的理解構建認知結構。課末，李老師以問題“5＋3為什么等于9啊？”結尾，看似沒有將這節課上完，但這恰恰是李老師喜歡結課方式。在課結束時，給學生留下問題、留下懸念，也就給學生留下了思考的空間，讓學生在課后、在家中繼續思考，起到“言有盡而意無窮”的效果。課已停，思不止，這就是數學課堂理想的樣態。】