真實學習：策略的自覺、自省、自創、自生
——《解決問題的策略》教學設計

文|趙 斌

【教學內容】

蘇教版五年級下冊第105、106頁，“練一練”及練習十六第1~3題。

【教學過程】

一、基于經驗的自主探究——激發策略自覺

1.自主探究，比較面積。

師：今天，我們繼續研究解決問題的策略。

圖1

師：看到這兩個圖形，你想提出什么數學問題？

生1：我想問這兩個圖形的面積各是多少格？

生2：我想知道這兩個圖形的面積哪個大？

師：兩位同學能用數學的眼光觀察圖形，并提出數學問題！用你喜歡的方法，想想兩個圖形的面積各占多少格，再比比它們的面積哪個大一些。想好后在《學習單》上記一記、畫一畫，表示出你的想法。

2.分層展示，交流方法。

師：大家是怎么比較兩個圖形面積的？介紹一下你的想法。

圖2

圖3

圖4

方法1：我用數方格的方法。第一個圖形有38個整格、20個半格，總共有48格；第二個圖形有36個整格、24個半格，總共有48格，兩個圖形面積相等。

方法2：我將第一個圖形下面部分剪下后向上平移，補成一個長8、寬6的長方形，面積是48格；第二個圖形把上面的部分割開，左、右各旋轉一下，正好補成一個長12、寬4的長方形，面積也是48格。兩個圖形面積相等。

方法3：第一個圖形我把上面的半圓平移到下面，也是拼成長8、寬6的長方形；第二個圖形我把這兩個半徑2格的半圓旋轉一下補在兩邊，這樣，兩個長方形都是長8、寬6，面積相等。

師：你們為什么要用這些方法比較兩個圖形的面積？

生1：因為這些圖形中有的是整格，有的是半格，不太規則，不能直接用公式計算，所以可以用數格子的方法。

生2：因為這兩個圖形不規則，比較復雜，不好直接計算，把它們變成長方形就好比較面積了。

師：但你把它們變成兩個長方形后，比出來面積相等，怎么就說明原來兩個不規則圖形面積也相等呢？

生2：因為兩個圖形變成長方形后，面積沒有變。

3.引導對比，感受價值。

師：比一比他們的方法，有什么想說的？

生1：我覺得方法1數方格的方法太麻煩，而且數出來可能不準確，后面兩種方法比較方便，而且還準確。

生2：我覺得方法1麻煩、容易錯；方法2好一些，但兩個長方形還需要計算面積；方法3最好，變成的兩個長方形不用計算就能看出面積相等。

（多媒體動態演示幾種典型轉化的比較方法）

師：直接數方格也能比較出兩個不規則復雜圖形的面積，但大家認為比較麻煩、可能不夠準確。我們也可以通過平移、旋轉等方法，把它們都變成規則、簡單的長方形，面積不變，就能方便、準確地計算并比較面積。

4.引導抽象，提煉策略。

師：比較時方法不同，但背后的思考過程有什么相同之處嗎？

生1：原來圖形比較復雜，不好計算面積，我們就通過一些方法，把它們變成簡單的長方形去比較面積。

生2：這些方法都是將不規則圖形變成規則圖形，然后比較面積。

師：這些方法中體現了一種解決問題時重要的思考策略——轉化，將不規則、復雜圖形轉化成規則、簡單圖形，準確方便地解決問題。這就是這節課我們要研究的“轉化的策略”。

二、基于對比的技能反思——促進策略自省

1.自主探究，比較周長。

師：下面兩個圖形，哪個周長大一些？仔細觀察，你打算用什么策略進行比較？為什么？想好后在《學習單》上把你的想法表示出來。

圖5

2.分層展示，碰撞思維。

師：請介紹一下你們的想法。

生1：（圖6）我使用了轉化的策略，因為第二個圖形不規則，不方便比較，可以把它轉化成規則圖形再比，把它右下角的長方形割下來平移到左上角，補成一個邊長4格的正方形。計算出長方形周長是20，正方形周長是16，所以第一個圖形的周長大一些。

圖6

生2：（圖7）我也是使用轉化的策略，原因也是第二個圖形不規則。我把它的四條邊進行平移，轉化成一個長6格、寬4格的長方形，第一個長方形也是長6格、寬4格，所以它們的周長相等。

圖7

師：兩位同學都用轉化的策略比較周長，但結論卻不相同。你們同意誰的方法？說說理由。

生3：我同意生2的方法。生1把小長方形進行平移，轉化成正方形后，有一些邊重疊了，周長和原來不相等；生2是把邊進行平移，轉化后邊的長度沒有增加和減少，周長不變。

生4：我也同意生2的方法。因為要比的是兩個圖形的周長，生1平移的是面，面積沒變，但周長變了；生2平移的是邊，周長不變，這樣才能比較周長。

（多媒體動態演示平移邊進行轉化的過程）

3.深化對比，感悟思想。

師：剛才我們先比較了圖8中圖形的面積，再比較了圖9中圖形的周長。在思考時，有什么相同和不同的地方？有什么要提醒大家的？

圖8

圖9

生1：兩次給我們的圖形中都有不規則圖形，比較復雜，不好比較，所以我們都是將不規則圖形轉化成規則、簡單的長方形，這樣便于計算出面積或周長，也便于比較。

生2：第一次比較時我們是將圖形的面進行平移、旋轉轉化成簡單的長方形再比較面積；第二次我們是把圖形的邊進行平移轉化成簡單的長方形再比較面積。

生3：它們相同的地方都是用了轉化的策略，把不規則的圖形轉化成規則圖形。但要看清問題比較的是什么。比較面積，轉化中要保持面積不變；比較周長，轉化中要保持周長不變。

師：比較面積，轉化時形狀變化但面積不變，這叫“等積轉化”；比較周長，轉化時形狀變化但周長不能變，這叫“等長轉化”。總之，在運用轉化策略的時候，要確保所求量在轉化前后不變。

三、基于經驗的問題解決——豐富策略技能

1.實際問題，開放解決。

師：學校在同一塊長方形空地中設計花圃，有三種設計方案。哪種設計花圃面積大？想一想，你打算用什么策略比較三種花圃面積，為什么？在《學習單》上試著表示出你的想法。

圖10

2.多樣展示，深化交流。

師：請向大家介紹一下你的想法！

生1：這三個圖形都不規則，我用轉化的策略，第一個圖把小三角形平移補成一個正方形，第二個圖把一小塊旋轉補成三角形，第三個圖把三角形翻過來補成長方形。但這時候還是不好比較它們的面積，我再轉化一下，把第二個圖形割下三角形，旋轉補成正方形，第三個圖形把長方形割下一半，平移補成正方形。這時候三個圖形都成了一樣大的正方形，所以原來三塊花圃的面積相等。

圖11

師：比較時你用了幾次轉化？

生1：我用了兩次轉化。第一次雖然轉化成三個規則圖形，還是不好比較面積大小，所以我再把后面兩個圖形轉化成正方形比較。

師：連著用了兩次轉化，真了不起！還有一位同學是這樣比較的，介紹一下你和他相同、不同的地方吧！

圖12

生2：我和他相同的地方都是用了轉化的策略，而且第一次轉化的方法也是相同的，但是接下來雖然形狀不一樣，但是圖形都是占了長方形圖形的二分之一，因為是同一塊空地，所以它們的二分之一面積肯定相等。

師：第一次將不規則圖形轉化后成了三個規則圖形，然后再將圖形轉化成分數二分之一表示，得出花圃面積相等。看來圖形之間不僅能轉化，圖與數之間也能進行轉化！

四、基于自省的設計活動——引發策略自創

1.開放問題，引發創造。

師：同學們已經能根據問題運用轉化策略對多種設計進行比較，那你能自己進行設計嗎？

圖13

師：學校在一大塊空地上設計小路，其余地方鋪設草坪，所用草坪總面積為15×10=150（平方米）。想一想，你打算怎樣設計小路，能使草坪總面積符合要求？想好后在《學習單》的圖中畫出小路，并標出小路寬度。

2.分層展示，創異求同。

師：他的設計符合要求嗎？

圖14

生1：他設計的符合要求，因為現在草坪的長是17減2等于15米，寬是12減2等于10米，面積就是15乘10等于150平方米。

師：理由簡潔、準確！再看這幾位同學的設計，請用盡量簡潔的方式，讓大家清楚看出草坪面積是15乘10等于150平方米。

圖15

圖16

圖17

圖18

生2：將右邊長方形草坪向右平移2米，草坪面積就是就和剛才的圖一樣，面積就是15乘10等于150平方米。

生3：我的也只要將左邊兩塊草坪向右平移2米，再把下面的向上平移2米，合并成的也是和剛才的圖一樣，草坪面積也是150平方米。

生4：我的草坪平移得多一點，把左邊的三塊向右平移1米，和中間合起來再向右平移1米，把下面的也這樣向上平移，合并成的也和第一個圖一樣，面積也是150平方米。

生5：我只要把下面的都向上平移2米，再把左邊的向右平移合并，面積也和第一個圖一樣是150平方米。

師：這幾位同學的設計各不相同，但設計和介紹中都運用了什么策略？

生：他們都使用了轉化的策略。