整體建構圖形關聯 變式發展空間觀念
——《立體圖形的表面積和體積復習》教學設計

文|慕振亮（特級教師）

【教學內容】

青島版五四制五年級下冊總復習第123頁“圖形的認識與測量”。

【教學過程】

一、知識整理，導入課題

師：今天這節課，我們對立體圖形表面積和體積這一單元的知識進行回顧與整理。課前已經布置對立體圖形進行自主梳理總結復習。下面我們一起來匯報交流一下，想一想，我們都研究過了哪些立體圖形？

生：長方體、正方體、球體、圓柱體和圓錐等。

1.回顧整理立體圖形的體積。

師：我們先來復習立體圖形的體積，下面請同學們回顧一下我們學過哪些立體圖形的體積計算公式及它們的推導過程？

生：我們在研究長方體的體積計算公式時，用擺小正方體的方法，一行擺幾個，就是長方體的長；擺幾行就是長方體的寬；再看擺幾層，就是長方體的高。這樣就得出長方體體積計算公式：長方體的體積=長×寬×高。

師：通過拼擺小正方體推導出長方體的體積計算公式，那正方體的體積計算公式呢？

生：也是用擺小正方體的方法，由于正方體是特殊的長方體，當長方體的長、寬、高都相等時，這時就是棱長，所以正方體的體積=棱長×棱長×棱長。

師：我們是怎樣推導出圓柱的體積計算公式呢？

生：我們推導圓的面積計算公式時，將圓形轉化成長方形。依此類推，我們把圓柱體積轉化成長方體體積，長方體的底面積就是圓柱的底面積，長方體的高就是圓柱的高。長方體的體積=底面積×高，所以圓柱的體積也是底面積×高。

師：圓錐的體積公式又是如何推導來的呢？

生：我們用做實驗的方法得出圓錐的計算公式。把一個圓錐容器倒滿沙子，倒入與它等底等高的圓柱體容器里，發現圓錐的體積是等底等高圓柱體積的三分之一，從而得出圓錐的體積公式。

2.回顧整理立體圖形的表面積。

師：剛才我們對立體圖形體積進行了系統的回顧和整理，我們一起再來復習立體圖形的表面積，由于圓錐的表面積比較復雜，初中以后我們再繼續研究。

生：長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2。

生：正方體的表面積=棱長×棱長×6。

師：圓柱的表面積公式是怎樣得來的？

生：圓柱是由兩個底面加一個側面組成。底面積就是圓的面積。圓柱的側面展開后是一個長方形，長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高，長方形面積就是圓柱側面積。從而推導出圓柱的側面積等于底面周長×高。得出圓柱的表面積＝側面積+底面積×2。

【設計意圖：讓學生自主梳理知識，形成知識網絡，掌握“通法”，在回顧的過程中把知識進行串聯，讓復習課有新意不枯燥。回憶學過的立體圖形的體積，在回顧立體圖形體積計算公式的推導過程中，讓學生體會轉化思想的運用以及立體圖形中長方體、正方體、圓柱體體積之間的相通性。通過創設實際問題使學生在應用過程中進一步加深對基礎知識的理解，增強了學生的應用意識。】

二、系統梳理，串聯知識

師：剛才我們一起回顧了立體圖形體積計算公式的推導過程，觀察一下這些立體圖形體積計算公式之間有怎樣的聯系呢？

生：我覺得長方體、正方體和圓柱是有聯系的，如果都以底面為底，向上平移就會得到這樣直直的柱體，根據體積=底面積×高來求這樣直柱體的體積。

生：它們有共同的字母體積計算公式：V=Sh。

生：通過做實驗的方法，我發現等底等高的圓錐的體積是圓柱體體積的。

師：像這樣上下一樣的直柱體，體積都是底面積×高，而圓錐不屬于直柱體，同底等高的圓錐體積是圓柱體體積的。長方體、正方體、圓柱的體積公式都可以用V=sh表示，這幾種圖形的表面積的計算方法有沒有一定的聯系呢？

生：圓柱的表面積由3個面組成的，長方體和正方體都由6個面組成的。圓柱的表面積等于側面積加上兩個底面積。長方體的表面積=（底面+左面+前面）×2。

師：如果把這些立體圖形展開，觀察一下立體圖形的側面積，你有沒有新的發現？

生：底面的形狀不同。它們的側面沿高展開都是長方形，長方形的長相當于立體圖形的底面周長，長方形的寬相當于立體圖形的高。它們的表面積都可以用側面積加兩個底面積得到。有共同的側面積計算公式，側面積＝底面周長×高。

生：我們家裝修給衛生間貼瓷磚，裝修工人要測量衛生間4面墻的面積時，用卷尺繞著底面的四條邊一圈，測量出周長來，然后量出高，用底面周長×高得出側面積，硬硬的墻面如果想象成軟軟的平面，就是一個大長方形。

師：同學們真會動腦思考，有一雙發現數學問題的眼睛。剛才對這部分知識進行了整理，想一想，你是怎樣整理的？有什么感受？

生：課前我根據老師布置的任務要求，回去自主整理相關立體圖形知識，做成海報形式。

生：我是畫了一個思維導圖的形式來呈現，將立體圖形從形狀、特征、表面積、體積幾個部分整理完后，我最大的感受是知識是連貫的，像一棵大樹一樣有根、有枝、有蔓，成為一個體系。

【設計意圖：在回顧中整理，在整理中串聯，在串聯中思考，在這樣的情境下，學生并不是進行簡單喚醒回顧。在教師的引導下，學生基于生活經驗和知識經驗，從低階思維走向高階思維，回顧過程中學生不僅收獲了知識，更主要掌握復習的方法，培養了學生整理問題的意識和能力，發展知識遷移和應用的能力。】

三、拓展提升，鞏固應用

1.有一個長方體玻璃魚缸，由5塊玻璃板圍成，在運輸的過程中，不小心壓碎了，而且破損幾塊看不清楚，只剩下兩塊完整的，一塊長10分米，寬8分米；一塊長10分米，寬5分米。

師：你能推斷出這個長方體魚缸有多大容積嗎？

生：根據分析可以得出這兩個面是相鄰的兩個面，可以推斷出長方體的長寬高分別是10分米、8分米、5分米，所以長方體魚缸的體積是10×8×5=400立方分米。

師：剛才我們觀察長方體有6個面，減少到剩下兩個面我們依然能推想出長方體的大小，如果只給一張紙，你還能想辦法得到一個長方體嗎？

2.一張長是20厘米，寬是14厘米的長方形紙，從長方形紙的四個角剪去同樣大小的正方形，用剩下的紙折成一個無蓋的長方體小紙盒。（1）如果剪去的正方形邊長分別是1、2、3、4……厘米，表面積和體積分別是多少呢？（2）剪去的正方形越大，盒子的容積怎么變？

生：因為小正方形的邊長在這里相當于折成新長方體的高，如果剪去的正方形的邊長是1厘米，所以確定它的高是1厘米，長是18厘米，寬是12厘米。

生：長方體的表面積=18×12+（18×1+12×1）×2=276（平方厘米）。

生：我想到從一張整體的長方形紙上減去4個正方形，剩余圖形的表面積就是新折成長方體的表面積，算式表示20×14-1×1×4=276（平方厘米）。

師：老師觀察同學們通常想到第一種方法比較多，很少有人想到第二種方法，換個角度看問題，往往會有意想不到的收獲。

生：我算出長方體的體積=18×12×1=216（立方厘米）。

師：這是在長方形紙的四個角剪去邊長是1厘米的正方形時的結論。還有不同的剪法嗎？誰來說說你得出的結果？

生：我剪去邊長是2厘米，表面積是264平方厘米，體積是320立方厘米。

生：我剪去邊長是3厘米，表面積是244平方厘米，體積是336立方厘米。

師：下面我把同學們匯報的各種情況整理成表，此時觀察這幾組數據的變化規律，你有什么發現嗎？你推想可能會是什么情況？

?

生：我發現剪去的正方形的邊長逐漸增加，紙盒的表面積逐漸變小，體積變化沒有明顯的變化規律。

生：我不同意這種觀點，當剪去的邊長是3厘米時，表面積是244平方厘米，體積是336立方厘米。表面積還是繼續變小，體積這時是最大的，再往后邊長雖然長了，體積卻開始變小了。

師：哪位同學又有新的發現？這里面的道理是什么呢？

生：因為隨著邊長越大，四個角的正方形的面積越大，也就是剩下的表面積變得越來越小，所以邊長越大，表面積越小。但是隨著四個角的邊長變大，長方體的體積變得也越來越大。剪去的邊長也就是長方體的高長到一定的程度時，高越長，長方體的長和寬會變小，但是長方體的體積是由長寬高三個因素決定的，所以當底邊剪去太大時，體積反而會變小。

師：我們一起通過超級畫板來演示一下，一起來驗證剛才我們通過計算得出的結論。

通過動態的課件展示學生直觀發現的規律。

【設計意圖：雙減背景下的復習課到底應該有怎樣的目標定位？如果僅僅從看看公式做做題的視角上看，是起不到鍛煉思維、發展能力的目的。復習課的順序應該經歷一個先“復”再“習”的建構過程。復盤的是原有知識網絡的建構。習的是學生基于原點引出生長點，從而達到發展學生的空間觀念和批判性思維。從基礎練習到有難度的變式練習，從單一平面走向立體空間，學生在二維到三維空間的切換是有困難的，對突破發展立體空間的想象能力方面有難度的，所以在設計時，選擇了最后一道剪紙盒題目，在學生已有的長方體體積和表面積基礎上進一步探究立體圖形與平面圖形的關系。幫助學生從二維平面到三維空間轉換，借助超級畫板輔助學生進行辨析與比較，培養學生的空間想象能力，發展學生空間觀念，體會極限數學思想。】