以題為點，建構知識網絡；變式為線，深化綜合應用

連永欣

在新高考改革和高考命題改革的大背景下，“高考數學科在考查過程中要體現基礎性、綜合性、應用性和創新性”，其中“綜合性是指數學知識體系的內部聯系，強調數學各分支內容的相互交叉與滲透”[1]，從而“促進學生從整體上建構知識框架，形成合理的認知結構”[2].從高考命題角度，則通過“增強試題新穎性和靈活性，促進學生融會貫通、真懂會用，引導中學數學全面教學、夯實基礎、靈活學習、創新思考”[3].

近年來，在高考全國卷和各省市卷中，亦頻繁出現對數學綜合性的考查試題.以高考全國卷理科試題為例，2019年I卷第21題，利用數列遞推求解概率問題;2018年I卷第16題，2018年I卷第20題，2017年I卷第16題，2017年Ⅲ卷第21題，均是利用函數與導數觀點，求解不同模塊（涉及三角函數，概率統計，立體幾何，數列等）的最值相關問題;2013年I卷第12題，利用橢圓的基本背景求解數列的單調性問題;2012年第12題，利用導數切線的幾何意義來求解點點距離的最值……

該類問題對學生整體把握數學知識體系提出了更高要求，僅靠傳統的二輪模塊復習模式對專題進行逐個復習，難以讓學生在遇到此類問題時有較為有效的嘗試手段與處理辦法.對此，在二輪復習后期，適當地加入以完善高中數學知識框架、培養學生合理認知結構為目標的微專題課程，不僅對知識的廣度延拓（與其他模塊知識的聯系）有益，對知識的深度理解（一般理論在具體背景下的應用）有益，更是通過剖析過程本身，讓學生在處理壓軸問題時的視角更加廣闊、思維更加靈活、角度更加豐富，是對綜合性與整體性試題解決的有效嘗試.

本文以三角函數背景的導數問題為例，通過對2018年高考全國I卷理科第16題的深入剖析與改編，構建微專題課程.

高考真題（2018年高考全國I卷·理16）己知函數f（x）=2 sinx+sin2x，則f（x）的最小值是一_____.

選題依據 三角函數是高中數學的重要組成部分，在高中階段，更多地是將其看成特殊的函數（三角函數）對其進行“個性化”研究，而較少利用導數這一工具對其進行“一般化”的處理.在學習完基本初等函數的求導公式后，課本例題與習題較少出現導數之于三角函數相關問題研究之例，故學生對利用導數研究三角函數較為陌生，很多時候更缺乏引入導數作為工具的主動性.

微專題目標：本節微專題旨在實現三個目標：

（1）從更一般的函數角度認識三角函數這一特殊對象，利用導數這一處理函數最值的通用工具輔助三角函數最值相關問題的研究，建立三角函數與導數間的知識網絡連接;

（2）從三角函數特殊性出發，通過分析利用導數這一工具時常遇到的問題及解決途徑，深化函數與導數相關問題中的常用技巧（極值條件回代，必要性等）的理解;

（3）通過試題剖析的過程，展示處理綜合性考題的嘗試方法與處理路徑，提供針對該類問題的解題策略.

本節微專題設計三個題組.

題組1求解下列函數的值域：

（1） f（x）= 2sinx+cosx;

（2） f（x）= 2sinx+cos2x;

（3）f（x）= 2sinx+sin2x.

設計意圖題（1）（2）是學生熟知的三角函數最值問題，分別利用三角恒等變換知識和換元與復合函數知識來求解;題（3）“形似”但無法利用以上兩種方法處理.借由設計該題組，一方面回顧分析三角恒等變換和換元與復合函數兩種常見方法的適用情況，另一方面，對于以上兩種適用情況均不適用的題（3），啟發學生從題設“函數”背景與目標“最值”角度進行分析，從而得到能夠借助導數這一重要工具之嘗試方向，并在此基礎上建立三角函數與導數之間的知識網絡連接.

設計意圖1引入導數的工具處理三角函數最值問題這一想法一旦被啟發，則不難提供該類問題的解決思路;但之于三角函數的特殊性，在求解單調區間的過程中，常常要求極值點為特殊弧度（即12的整數倍），在該條件無法滿足的情況下，應對方式的調整將是解決問題的重點.此時，合理的應對方式一般包括兩類，借助反三角的基本知識進行表示（因現行考試大綱中并不要求，此略）或借助方程思想利用極值條件.

說明 在求解過程中，使得cosθ =√3/3的θ的弧度數并非最終結論中所需要的，只需知道對應的sinθ的值即可求出答案（而sinθ的值可以通過同角三角函數基本關系求解），這樣的過程是方程思想的重要應用.事實上，同樣的技巧在利用導數求解極值（特別是導函數等于零的方程無法求解）時，常被用到：通過虛設極值點，并對極值條件進行適當變形后代回輔助極值化筒. 設計意圖2本題在利用導數的同時，還需要整體換元思路，但求解極小值的過程，容易直接將

cosθ=√3/3所對應的θ1+2kπ（k∈z）和θ2+2kπ（k∈z）

當作函數的極小值點來處理（如圖1），導致錯解.錯解的主要原因是因為忽略了函數甜=cosx的影響（如圖2），這類似于復合函數單調性中內層函數的影響，是復合函數單調性問題的易錯點.本部分設計意圖包括兩點：（1）類比復合函數單調性，深化在換元角度下，函數單調性的分析判斷（如圖2）;（2）通過必要性先確定范圍后逐一求解排除，是避開該類易錯點的有效途徑（見解析2）.

說明 注意到“只要把函數y=f（x）的所有極值連同端點函數值進行比較，就可以求出函數的最大值與最小值”[4][5]，而這里f （x）的定義域是R，故函數的最小值必然在所有極小值中取得，進一步必然在所有駐點（導數值為0的點）的函數值中取得.從而只需求出所有駐點的函數值進行比較.

事實上，這里我們先求出了所有可能最小值點的函數值，后利用逐項比較的方式，來驗證得到最小值.究其本質，即利用必要性先求出可能的解或范圍，后利用充分性進行驗證或取舍.而這樣的思路，是利用導數求解恒成立背景下的參數問題中的重要思路[6].

設計意圖本題設計為作業，旨在熟悉與鞏固利用導數處理某類三角函數最值相關問題中的基本流程與技巧.求解過程需要利用到三倍角公式并求解一個簡單的三次方程.另一方面，試題原型為教材“閱讀與思考”篇幅《振幅、周期、頻率、相位》[7][8]中的例子.該題的設置，希望通過高中所學相關知識輔助三角相關問題處理，進一步加深對高中數學整體性的理解.

參考文獻

[1]于涵，任子朝，陳昂，趙軒，李勇，新高考數學科考核目標與考查要求研究[J].課程·教材·教法，2018 （6）：21-26

[2]任子朝，趙軒，基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑[J].中國考試，2019 （12）：27-32

[3]任子朝，高考命題創新[J].中學數學教學參考（上旬），2018 （10）：

[4]劉紹學，普通高中課程標準實驗教科書A版·數學·選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007

[5]章建躍，李增滬，普通高中教科書A版-數學·選擇性必修（第二冊）[M].北京：人民教育出版社，2019

[6]張永輝，全國卷滿分秘籍導數篇[M].北京：清華大學出版社，2017：14-15

[7]劉紹學，普通高中課程標準實驗教科書A版-數學·必修4[M].北京：人民教育出版社，2007

[8]章建躍，李增滬，普通高中教科書A版·數學·必修（第一冊）M]，北京：人民教育出版社，2019