對一道“直線與圓”問題的研究與推廣

華子謙 陸庭

一題多解與多題一解作為數學中重要的解題思考方式，在解決幾何問題時顯得尤為重要.本文從一試題出發，從代數與幾何角度作切入點進行分析，并將原題部分結論推廣到一般情況.

本題主要考查了直線方程、圓的方程及直線與圓的位置關系等基礎知識，考查了推理論證能力和運算求解的能力，考查了數形結合、化歸等數學思想.本文將對該題給出一些常見的解答，并將第（2）問推廣到一般性的結論，供讀者參考.

點評 方程思想是解決解析幾何問題的重要思想，設出未知點坐標，通過等量關系建立方程，利用代數運算求出未知點坐標，大大減少學生思維量，同時利用代數方法解決平面幾何問題也能夠提升學生的數學運算與直觀想象等核心素養.

點評 在圓中構造直角三角形是解決直線與圓相交問題的一個重要解題思路.這里構造Rt△CAD與Rt△CMD，借助直角三角形邊的關系建立方程組求出CD與AD的長度.如何提高學生利用圖形特征找到等量關系建立方程就需要教師在平時教學中引導學生尋找圖形特點、培養解題后反思總結.

點評 初中所學的切割線定理在高中數學中有著廣泛的應用，這里體現著由“形”到“數”的轉化過程.通過將動割線AB的問題轉化到定切線MO的問題，能靈活運用圓內相關定理可巧妙解決與圓的有關問題從而減少計算量，優化解題過程，快速算出弦長AB，進而通過垂徑定理求出圓心到弦AB的距離解決問題.

本題第（1）問為基礎題，涉及到的知識點有圓的標準方程，直線與圓相切中垂徑定理、弦長公式.在上述解法中，既可以通過幾何角度，利用切割線定理或構造直角三角形;又可以通過代數角度直接運算，方法各有千秋.教師在教學過程中要培養學生一題多解能力，讓學生不拘泥于一種解法，開拓學生思維，發展學生核心素養.

點評 利用代數方法解決平面幾何問題思路清晰、方法簡便，將此小問化難為筒，拓展了學生思維，同時這也旨在培養學生的邏輯推理與數學運算能力.至此并不完美，由于代數運算時運算量較大，這促使我們另辟蹊徑，能否利用圓的性質簡化計算由“數”轉到“形”去考慮問題，培養學生的幾何直觀想象能力，下面給出第（2）小問的幾何證明.

解完本小問后，不禁思考此結論是否具有一般性？從問題條件分析，直線x=1恰好經過圓心，再從結論過程分析，斜率乘積結果與圓心所在位置無關，似乎只與E，F到圓心距離有關.進一步大膽設想若圓心不在x軸上呢？當圓心被放置在任意位置時，QP’，QP”分別與直線x=a交于E，F兩點，利用GGB畫出圖形后發現QCP''E仍四點共圓！會不會有類似結論呢？下面給出該結論的推廣.

4 教學啟示

（1）重視知識的積累，注重學生認知結構的建設

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾強調知識的再創造，也就意味著學生在學習過程中不是一味地進行知識記憶，而是學生本人要將知識復習、鞏固、再發現、再創造.教師要做的就是在學生解決問題過程中引導并幫助學生實現“再創造”.數學知識不是教出來的，也不是學出來的而是研究出來的，研究問題并將結論推廣是一種很好的解題方法，能夠增強學生好奇心提升學習興趣，啟發思考.

（2）重視方法的培養，加強學生一題多解的能力

高中數學靈活性較高，對學生綜合運用知識解決問題的能力提出考驗.華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，在解決平面幾何問題時數形結合起到了巨大的作用，在平面幾何教學過程中鼓勵學生思考問題是否還有其他解法.再通過代數、幾何角度作為切入點分析問題，能夠讓學生真正將知識內化，從而實現思維的發展，找到自己擅長的解法，提升學生學習興趣，保持解題自信.

（3）重視能力的提升，促進學生核心素養的培養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中指出高中數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.在平面幾何教學過程中，提升學生數據分析能力能夠有效使學生在解題時快速識別筒捷解法;提升直觀想象能力能夠幫助學生形成論證思路;提升邏輯推理能力能夠加強學生證明時嚴謹的邏輯思維;提升數學運算能力能夠提高學生解題效率.

綜上，對題目的思考角度不同影響著解題速度.因此教師在教學過程中要鼓勵學生嘗試一題多解，啟發學生將結論進行推廣，脫離“題海”深淵，提升解題教學有效性.