近年數學競賽中條件為a+b+c=1型三元不等式的證法探究

范廣哲

一直以來，不等式試題是國內外各類數學競賽中經常出現的一類題目，其靈活多變，常考常新.條件不等式是指在限定條件下考慮的一類特殊不等式題目.在各類國內外數學競賽不等式類型的題目中，筆者發現條件為a+b+c=1的三元不等式出現的頻率頗高，本文給出此類型不等式的解法探究，不等式的綜合應用對培養中學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養有著非常重要的作用，同時也有助于提高學生發現問題、分析問題，進而解決問題的能力，

均值不等式和柯西不等式是兩類非常重要的不等式，其應用非常廣泛.基于此，本節列舉了幾道近年國內外數學競賽中的不等式試題，主要探討用這兩種方法解決此類題目，闡述均值不等式和柯西不等式的奇思妙用，僅供讀者參考和借鑒.希望本文能給讀者帶來一些思考和啟迪，能夠學會舉一反三，觸類旁通，

分析由于所求結論為輪換對稱結構，現考慮其中一項具有怎么的特點，發現利用拼湊化筒，然后利用均值不等式，可化為以a，b，c一次項的關系，進而求得結果.

證明由均值不等式可得：

分析 本題的關鍵是如何對結論中的項進行適當放縮，使其結論左邊形式和右邊建立適當的關聯.另外，條件a+b+c=1進行適當變形，使用代換方式達到預期效果.

分析 雖然本題結論比較復雜，但仔細分析發現，可使用代換方法，從而達到預期效果.

分析 本題的放縮具有較高的技巧性，要對結論適當添加某些項，進而達到預期的放縮結果，再對放縮后的項進行恰當處理.

分析 本題先想到利用柯西不等式達到放縮的目的，另外利用已知條件，運用代換方法，適當進行合并同類項，從而達到預期結果.

分析 本題從形式看，首要想到的是放縮，把所求表達形式放小，另外要使放縮后的結果與己知條件建立起一定的關聯，進而想到柯西不等式.

分析 本題的著眼點還是觀察分母特點，利用不等式放縮使其形式簡化，使所求表達式放縮后的結果與已知條件建立一定關聯，進而想到柯西不等式.進一步思考，再利用己知條件達到進一步放縮的目的.

分析本題結構較為復雜，難度較高.首先觀察到結果中的以a，b，c的地位相同，因而考慮a=b=c情況下取得等號.其次再思考如何把分母簡化，進而想到柯西不等式.在后續的過程，同樣運用到均值不等式.本題綜合性較強，需要有較強的不等式基本功.