2020年全國高考數學l卷理科第18題的評析與思考

盧秀敏

立體幾何能突出數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養的考查，是歷年各地高考試題的一大陣地，考生在立體幾何模塊的得分情況很大程度地影響了其在高考中的成績檔次，因而提高立體幾何的得分率就顯得非常重要.本文以2020年高考全國I卷理科第18題為例，談談本題的解法及典型錯誤分析，并提出高三模塊復習的教學建議，期望對后續高三復習備考有所幫助.

1 試題及標準答案展示

2 試題評析

本題以考試熟悉的圓錐與正三棱錐的組合體為背景，通過對線面垂直的證明、二面角的平面角的余弦值的求解，考查目標是考生的數學思維嚴密性及數學運算的準確性，試題立足教材又高于教材，體現了直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養對立體幾何模塊的知識要求及能力要求，試題難度適中，福建省的整體平均分約為4.5分，難度系數0.6-0.7.

從考生答題情況看，本題的設計符合新高考命題模式：針對不同數學基礎，不分文理科，但又是有文理思維不同的文理科同題考查，給考生提供了充分的想象空間和多角度的思維平臺.考生入題較容易，同時又有不同維度的觀察角度和相應計算難度，要求考生準確選擇解題方向，因此不少考生得不到高分.

3考生答題情況分析

第（1）問（1）目標

證明線面垂直，關鍵是在平面PBC中找到兩條相交直線都與直線PA垂直，本小題設置為5分，標準解法中數據分析2分，由勾股定理確定線線垂直各1分，判斷線面垂直1分，考查了數據分析，數據處理，邏輯推理能力.

（2）第（1）問的典型錯誤集錦 數據運算中未設定具體長度，導致運算復雜化，進而結果有誤;沒有數據分析過程，直接“易得”“由題可知”“由圖可知”滿足勾股定理;判定定理運用出錯，“兩條相交直線”只找到一條;線面垂直的判定中目標選擇錯誤，如PA⊥PE，PA⊥CE等.

（3）其它解法及錯因

方法1取線段BC的中點F，可證得PA⊥ PF.

此解法引入了輔助點、線，將數據運算統一集中到了APAE中，可利用題設分析APAE中的各線段長度，進而由勾股定理得出結論;也可利用對應邊成比例，得三角形的相似，進而得出垂直關系.

較普遍的錯誤典型為BC⊥面PAD，PA 面PAD，BC 面PBC=>PA⊥面PBC.原因：對線面垂直關系的判定定理不熟悉，胡亂應用.

③因為三棱錐P- ABC為正三棱錐，所以對棱PA⊥BC.此解法直接利用特殊幾何體的基本線面位置關系.

錯誤解法將三棱錐P- ABC判斷為正四面體;由三棱錐P-ABC為正三棱錐可得側棱兩兩垂直，即PA⊥PB，PA⊥PC.

錯誤解法建系方向錯誤;點坐標運算錯誤;向量坐標運算錯誤;法向量求解錯誤;法向量n與PA的關系判定出錯.典型錯誤代表：因為n.PA -0，所以n∥PA.錯因：向量之間的運算關系與線面位置關系的轉化混亂，基本理論依據不熟悉.

本解法巧妙之處在于將代數關系與幾何關系很好地進行轉化，可見該考生的思維很好.

第（2）問（1）目標

求二面角B-PC-E的余弦值.

（2）解題思路

建系→求點→求平面向量→求平面法向量→應用向量數量積求夾角余弦值→二面角的余弦值.

（3）考查知識點

立體幾何與平面幾何的轉化，幾何問題代數化，數學運算能力.

（4）給分原則

建系（方向及長度）1分，點坐標2分（關鍵點能算對一個即給1分），關鍵向量1分，法向量2分，余弦值1分.

（5）失分情況

①建系時僅有方向，沒有規定單位長度;

②圖中點與線的位置關系分析有誤，導致關鍵點的坐標錯誤;

③求法向量時，解方程組過程運算出錯，或者x，y，z三者的順序出錯;

⑤由于本題的坐標原點可在O，A，B，C，P，AABC三邊中點等位置，坐標系單位長度可自由設定，x，y兩軸方向可旋轉，導致學生在太多的選擇中變成無法選擇，表明學生在建模方向上的選擇困難癥狀.典型錯誤代表：C為x軸，CB為y軸;O為x軸，OB為y軸.

⑥直觀想象圖中∠BCE，∠BPE或者∠BPC即為二面角B-PC-E的一個平面角，目標明顯錯誤.

（6）其他解法賞析

由第（1）問的數據分析可得四棱錐P- ABC為正三棱錐，且PA⊥PB⊥PC，以下解法中設OA=1.

方法1面積射影法

4 高三對立體幾何模塊的教學定位及復習建議

（1）加強常規立體幾何模型（柱、錐、球等）的認識

加強常規立體幾何模型（柱、錐、球等）的認識，增強空間及平面圖形中點、線的位置關系的辨別，培養建立合理的優化運算的坐標系模型（盡可能的使關鍵點都在坐標軸上或坐標面內），是正確解題的關鍵.

從2020年各地的高考試題中發現對立體幾何的考查，所鋪設的空間模型都是基本的簡單幾何體為主，如全國I卷的第3題：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.全國Ⅱ卷第20題：已知三棱柱ABC- A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形.這一條件指明了研究對象為特殊的正三棱柱.全國Ⅲ卷的第19題的題設條件為“在長方體ABCD - A1B1C1DC中”，山東卷第20題：四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.研究主體也是一個簡單的常見的幾何體.

這些題只需考生能夠分析簡單的柱、錐、臺、球等幾何體，就可以考查學生的讀圖能力、空間想象能力，再結合邏輯推理和數學運算的要求，就可取得多維度的能力考查，使學生明確了立體幾何的考查要求，又實際演練應答方式，既激發了學生的學習熱情，也提升了學生的學習立體幾何的信心.

（2）加強對立體幾何公理、定理、推理的認識和理解

立體幾何眾多的公理、定理、推理，是立體幾何的一個特色，也是準確推理的前提，對于立體幾何眾多的公理、定理、推理，不僅要知其然，更要知其所以然，做到了然于胸.

（3）加強運算素養的培養

加強運算能力的提升訓練，主要是細化到位，如線中尋點，面中覓點，兩點成向量，向量的數量積及模長運算等基本環節.

數學核心素養中的運算求解能力具有鮮明的數學學科特點，是學生學習數學必須具備的能力，也是數學教學中著力培養的、數學考試著重考查的能力[1].高考試題在立體幾何模塊第二問的設置上主要集中為對空間角的求解，主要是通過代數運算解決問題，其中對關鍵點的坐標分析是成功的第一步.為鼓勵學生將本題的目標確定為滿分，在復習過程中，建議慢工出細活，追求準確性地進行運算.全國I卷的第18題就可以作為課堂復習例題，要求學生分別以O，A，B，C，P，△ABC三邊中點等位置為空間直角坐標系的原點，計算出關鍵點的坐標，再變換不同單位長度，重新計算關鍵點的坐標，進而提升了運算能力.

（4）加強邏輯推理的訓練

加強邏輯推理的模式訓練，運用分析法，由目標制定推理框架，再依據題設，結合判定定理和性質定理進一步完善框架，因而點、線、面位置關系的判定定理及性質定理的記憶尤為重要，可分類整合，辨析記憶，精選例題，反復運用以致熟爛于心.

要梳理好幾種位置關系的常見基本證明方法，比如求證線面垂直，既可通過線線垂直，也可通過面面垂直實現;求證線面平行，既可由線線平行判定，也可通過面面平面判定.在解題時要善于從題目己知條件出發聯想判定定理、由待證結論聯系判定依據，即分析法與綜合法相結合來尋找證明思路;要培養學生縝密邏輯思維，避免使用一些雖正確但教材中未作為定律或推論的二級、三級結論來證明.

（5）加強增分能力的訓練

加強解題增分能力的訓練，如本題第（1）問即可建立坐標系，可在第（2）問中“由（1）可知”，延用第（1）問的計算結果，節約了計算量，節省了解題時間.再如第（1）問中利用勾股定理證得PA⊥PB后，根據PB，PC兩者的對稱關系，同理可得PA⊥PC.克服會而不對，對而不全的毛病.特別是定理的運用，一定要滿足所有條件，才能推出結論.

立體幾何在歷年的高考試卷中的分值設置比例較高，通常是兩小題一大題，共計22分，而且該模塊分值是學生“蹦一蹦”就能夠著的內容，所以教師對學生的高三復習備考過程要加以重視，在課堂教學過程中激發學生的挑戰熱情，鍛煉學生的空間想象能力，注重對數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養的滲透，同時著重研究提高學生解題效率及簡化學生解題思維的解題方法，這樣才能實現立體幾何的高效率、高質量教學.[2]

參考文獻

[1]任子超，趙軒，基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑[J].中國考試，2019 （12）; 27-31

[2]陳學亮，高考立體幾何題的解析及所涉模塊的教學啟示[J].福建基礎教育研究，2019 （08）：8-11