高考“數學文化”試題特征分析與教學啟示

彭達浩 李袆

自2017年高考開始，數學文化試題在高考試卷中占比已明顯提升，基于數學核心素養導向下的高考命題，以數學文化內容為橋梁，連接學生“四基”的同時，還充分考慮到學生數學核心素養的培養，本文以2020年高考數學卷為例，從核心素養角度出發，探討數學文化在高考試題中的滲透，并對教師教學提出指導與建議.

1 試題基本情況分析

整理、分析2020年各類高考卷中的數學文化試題，從真題來源、題型、背景、分值等信息進行統計、歸納，如下表1.

由表1可見，在2020年的13套數學高考試卷中，總共有14道與數學文化相關試題，除天津卷、上海卷和浙江卷以外，其余各套試卷均在不同程度上將數學文化滲透到高考試題中，其中全國Ⅱ卷（理）總分占比最大，占10%，而江蘇卷僅占3.13%.在知識點分布上，囊括函數、幾何與代數、概率與統計主題.問題背景既涉及數學史料，又緊扣當代社會的時事熱點與發展前景，題型則主要集中于選擇題和填空題.

2 試題命制特征分析

通過對2020年高考數學文化試題進行整理，基于命題背景，結合數學價值和學科核心素養，從試題分析到評析，對部分數學文化試題展開研究.

2.1 觀建筑之宏偉，鑄數學抽象、數學建模素養

建筑的宏偉，不僅指建筑物的外部形態，更重要的是其內在的實際效用，而將數學融入建筑學中，一是對數學應用價值的體現，并且還是使建筑內外兼修的重要途徑，近年來，為進一步考查學生數學知識的同時，讓其用發展的眼光看待數學與建筑學的完美融合，宏偉建筑便成為了命制高考試題的良好素材.

例1

（2020年全國I卷·理（文）3）如圖1，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）.

分析 本題以胡夫金字塔為背景，將正四棱錐知識融入其中，并基于英國作家約翰·泰勒對胡夫金字塔中使用底面高的平方與側面積相同的發現，巧妙地設計出側面三角形底邊上的高與底面正方形邊長之比的問題.而正四棱錐在現實生活中也有著廣泛的實用價值，如埃菲爾鐵塔、機器人正四棱錐聲源定位系統等，故學生在欣賞金字塔美的同時，還能領略數學為建筑帶來的巨大應用價值，以此激發學生對數學的學習興趣，并進一步落實對美育價值的探究，使得人們更能感受到數學并非一種虛無縹緲的抽象存在，而是寓于可觀、可觸的實體之中.

學生解決實際問題的過程，亦是其素養體現的過程.要解決此問題，學生需形成抽象的邏輯思維，將正四棱錐形從金字塔背景中抽象剝離，并逐步形成正四棱錐面與面、線與線之間的比例問題.并以此為基礎，在新的情境中用數學的符號、圖形、文字語言表達問題，選擇和運用一定的方法構建數學模型，從而解決問題.總的來說，此題重點考查數學抽象和數學建模素養，并伴隨直觀想象、數學運算等素養的考查.

評析 從核心素養角度，學生需經歷對實物的直觀想象，開展數學抽象，并建立適當模型，進行數學運算求解的過程，這也對“核心素養怎么考”有一定導向意義.大部分學生對此題的情境比較熟悉，但這似乎與學生抱怨此題太難、太新，不知所云相矛盾，實則是學生缺乏將實際問題轉化為數學問題的能力，從而導致不能列出相應的等式，同樣的例子在2019年高考數學卷中的“維納斯”一題中也有體現，這都是抽象素養和建模素養不強的表現.

2.2思疫情之溫暖，凝數據分析、數學運算素養

數學是一門研究現實生活中數量關系和空間形式的科學，現實是數學的源頭，而數學也深深地根植于現實.數學與生活密不可分，當今正面臨新冠肺炎疫情的挑戰，高考命題也應對社會現象進行回應，彰顯時代特色.

例2 （2020年高考全國Ⅱ卷·理3、文4）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）.

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

分析 無論是個人，還是社會，都將受到疫情所帶來的強大威脅，經濟發展趨勢、人性善惡都將面臨巨大考驗.此題借助新冠肺炎疫情期間，市場訂單堆積而帶來的人員缺失和分配問題，將概率統計知識嵌于其中，讓學生在經歷問題解決的過程中，感悟灰色疫情下志愿者的紅色溫暖，從而弘揚無私的志愿精神和為人民服務的優良傳統.

此題在考查素養方面，學生首先應提取關鍵信息，在綜合的情境中將數據進行預處理，進一步明晰和推斷題干中概率的實際含義，適當建立模型，逐步將問題轉化為運算問題，并明確數學運算的對象，依據運算法則得出結論.可見數據分析、數學運算素養貫穿其中.

評析數據分析是解決此題的關鍵，具體而言，大部分學生雖熟悉疫情這一背景，但在對數據進行預處理時，卻不易將題干中0.05的概率與0.95的概率相聯系，直接影響了后期模型的建立.但也有少數學生能厘清題意，并能將數據有效整合，但較弱的運算能力，直接導致學生產生模糊的運算思路、錯亂的運算程序，使得學生最終也無法求得正確答案.

2.3品音律之瑰異，悟邏輯推理素養

在數學史上，畢達哥拉斯首次發現了數學與音樂的聯系，后愛因斯坦也曾表示“世界既能由音符構成，同樣也能由數學公式構成”，即音樂藝術與數學美學相輔相成.此外，數學還與繪畫、雕刻等藝術緊密相關，這也成為當下各地區命制數學文化試題的共同趨勢.

分析 天有五星，地有五行，天地有五音，古有古琴二十四況，今有鋼琴大小和弦，該題以鋼琴鍵上7個白鍵和5個黑鍵構成一個音區和弦為背景，完美地將數學之理寓于音樂藝術當中，結合和弦固有的規律與數列、排序等知識，讓學生感悟數字排列與琴鍵聲響之間的奧妙，這也應證了萊布尼茨所說的“音樂是數學在靈魂中無意識的運算”.

此題需在較為復雜的情境中明晰各信息之間的聯系，理解事物的發生與發展，有條理地厘清相關概念的邏輯關系，分層次、按步驟，逐步將問題解決.

評析 一些具體事實和命題是邏輯推理的出發點，基于此題，應緊緊圍繞i，j，k三者之間的變化規律，辨別大三和弦與小三和弦區別與聯系.推理過程中，應時刻關注，的變化，借助歸納和類比的方法，發掘其中的數量關系，進一步圍繞主題，有理有據地開展論述.學生能否用數學的眼光找尋此題的研究對象，發現一定的數學問題，并借助數學語言和思維對題目進行表達，其主要依賴于學生邏輯推理素養，顯然邏輯推理素養水平不高的學生將不能準確無誤地推理出此規律.

2.4賞文物之韻味，品直觀想象素養

在中華文明上下五千年的發展歷程中，形成了許多優秀的傳統文化，這些優秀的傳統文化多以保留至今的文物為載體.不論是小巧玲瓏的配飾，還是匠心獨運的器皿，小小的物件都蘊含著大大的數理知識，而以一些古代文物為背景的高考試題便成為了傳播數學文化的重要媒介.

例4 （2020年新高考I（Ⅱ）卷.4）如圖3，日晷是中國古代用來測量時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的維度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的維度為北緯40。，則晷針與點A處的水平面所成角為（ ）.

A.20°

B.40°

C.50°

D.90°

分析 自古以來人們對時間計時的探究從未暫停，例如日晷、刻漏、沙漏、鐘表.雖然現代鐘表計時精度越來越高，但卻淡化了其中的自然現象.日晷利用太陽投射原理既可以測量時間又可以測量四季，此題以日晷為背景，讓學生既能感受到古人的智慧所在，又能從中領悟數學的奧妙.

以歷史文物為載體，滲透數學文化，使得題目的呈現不再枯燥乏味，轉而以豐富的文字語言，生動形象地描繪出問題的因果關系，從而借助具體實物，抽象出實物的幾何圖形，將實物和幾何圖形構建聯系，并根據題目要求，對復雜的數學問題進行直觀表達，直接反應出問題的本質，利用幾何圖形發現數學規律，進一步啟發解題思路，最終輔以數形結合思想解決問題，而整個過程都離不開直觀想象的核心素養.

評析此題以空間點、線、面間的位置關系為基礎，要求學生具備解決空間位置關系的基本活動經驗、作圖分析的基本操作技能、將文字語言轉化為圖形語言的基本數學思想.依托直觀想象素養，使生硬的文字瞬間變得形象生動，并通過觀察幾何圖形，理清題目線索，解決此題.但題目中北緯40。地平面和赤道既不平行也不垂直，雖向學生證實了天圓地方的道理，但也打破了學生以往認為地平面就是平行于赤道的想法，這為學生發揮直觀想象能力造成了一定的阻礙，無法想象和繪制出對應的幾何圖形.

3啟示與建議

3.1博古通今，搭建數學文化之橋，踐行核心素養之路

在社會的歷史發展進程中，文化被定義為物質財富和精神財富的總和，而數學文化則是數學成就領域中誕生的物質財富.憶往昔，西方數學文化中的《幾何原本》《算術研究》，東方數學文化中的《周髀算經》《九章算術》等，都在不斷地被人們所傳頌;看今朝，大數據時代下，數學在航空業、通訊業等領域的廣泛運用，是當今科技騰飛的最有力表現.數學文化是由古延伸至今的橋梁，借助數學文化是培養學生核心素養的一條途徑.同時在數學教學中，應注重向學生滲透古今中外典型的數學文化知識，以文化熏陶的方式提高學生對數學價值的認識.

3.2熟能生巧，徜徉數學文化之海，耕種核心素養之田

數學學習是一種充滿經驗性的活動，數學的認知依賴于思維的內部操作，亦是其經驗性的重要表現[3].自2017年高考考綱修訂以來，近四年來高考真題、模擬試題中，與數學文化相關的題目層出不窮，學生在此方面積累的經驗直接影響著他們解決數學文化試題的能力.教師應從數學文化海洋中篩選、組合與所學知識相關內容，有組織、有計劃地開展數學文化試題的專題訓練，引導學生將自己脫離出具體的問題情景，將解決問題的活動過程轉變為思考的對象，在此過程中，既是知識建構的過程，同樣也是素養提升的過程，以此引領文化之水耕種素養之田.

3.3終身教育，弘揚數學文化之魂，發展核心素養之翼

教育是貫穿人一生的活動，高考并非教育的終點.要真正借助數學文化貫徹素養落地，更重要的是立足終身教育，將數學的精神、思想等廣泛地傳播與應用.無論是面對當下嚴峻的疫情挑戰，還是未來科技的風云變幻，數學都發揮著舉足輕重的作用，這也是數學素養作為育人價值的集中表現，因此，數學文化教育不應受高考局限，應放眼學生的終身教育，將當下的時事熱點以及未來的科技發展作為依托，讓學生經歷問題抽象、模型建立等過程的同時，注重學生的未來發展，啟發學生的應用意識，逐步培養學生數學思維品質，提升學生核心技能，建立學生正確的價值觀念.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部，普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2]汪曉勤，基于數學史的數學文化內涵課例分析[J].上海課程教學研究，2019 （2）：37-43

[3]李士鑄.熟能生巧嗎[J].數學教育學報，1996 （03）：46-50

[4]陳昂，任子朝，突出理性思維，弘揚數學文化[J].中國考試，2015（3）：10-14