全國統(tǒng)一命制的不分文理科高考數(shù)學(xué)試卷評析

蘇泰川 鄭雪靜 陳清華

2014年9月3日國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》，在“啟動高考綜合改革試點(diǎn)”中明確提出高考將“不分文理科”，新一輪高中課程改革正穩(wěn)步推進(jìn)，

繼2014年浙江、上海成為首批啟動高考綜合改革的試點(diǎn)，至2019年秋季學(xué)期，已有三批共14個省市啟動高考綜合改革[1].2020年高考，山東和海南迎來了首次使用全國統(tǒng)一命制的不分文理科高考數(shù)學(xué)試卷（以下簡稱“新高考數(shù)學(xué)卷”），其中山東使用2020年新高考全國I卷（以下簡稱“2020山東卷”），海南使用2020年新高考全國Ⅱ卷（以下簡稱“2020海南卷”）.新高考數(shù)學(xué)卷是在高考《考試大綱》退出歷史舞臺的背景下，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2017年版）》）和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）》的公共內(nèi)容為重點(diǎn)考查依據(jù)，以2019年11月教育部考試中心發(fā)布的《中國高考評價體系》為指南，開啟探索素養(yǎng)導(dǎo)向命題的新征程，本文基于《課標(biāo)（2017年版）》對新高考數(shù)學(xué)卷進(jìn)行評析，進(jìn)而對不分文理科的高考數(shù)學(xué)進(jìn)行思考和展望.

1 新高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)概述

與2017年以來全國統(tǒng)一命制的高考數(shù)學(xué)卷（簡稱“原高考數(shù)學(xué)卷”）的試卷結(jié)構(gòu)對比，新高考數(shù)學(xué)卷的結(jié)構(gòu)主要發(fā)生了兩個方面的變化，一方面，取消選考題.新高考數(shù)學(xué)卷由22道必做題構(gòu)成，取消原高考數(shù)學(xué)卷第22道選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程和第23道選修4-5不等式選講這二選一的選考題模式.另一方面，出現(xiàn)新題型.原高考數(shù)學(xué)卷由12道單項(xiàng)選擇題、4道單空填空題和6道解答題構(gòu)成，新高考數(shù)學(xué)卷出現(xiàn)了多項(xiàng)選擇題和條件開放的結(jié)構(gòu)不良試題，選擇題調(diào)整為8道單項(xiàng)選擇題（每題分值仍為5分）和4道多項(xiàng)選擇題（全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分），第17題是一道條件開放的結(jié)構(gòu)不良試題.新題型為不同層次數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力的考生提供了發(fā)揮的空間，同時有效提高了全卷的得分率，增強(qiáng)了區(qū)分選拔功能.其實(shí)，早在2019年11月份的山東模擬卷，新高考數(shù)學(xué)卷的試卷結(jié)構(gòu)己基本成型，新的試卷結(jié)構(gòu)和新題型的設(shè)置，成為不分文理科數(shù)學(xué)科高考的重要特征.

新高考數(shù)學(xué)卷緊密聯(lián)系高考評價體系的“一核”“四層”“四翼”的核心內(nèi)容，發(fā)揮高考“立德樹人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，以“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”為重點(diǎn)考查內(nèi)容，貫徹“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求，扎實(shí)推進(jìn)新高考改革[2][3].

2 新高考數(shù)學(xué)試卷內(nèi)容評析

2020年高考數(shù)學(xué)山東卷（以下簡稱為山東卷）與2020年高考數(shù)學(xué)海南卷（以下簡稱為海南卷）只存在三個方面的差異，山東卷與海南卷第18題的第（2）小題不同、山東卷第21題是海南卷第22題，山東卷第22題與海南卷第21題題干和第（l）小題一樣，只是第（2）小題不同，除此之外，兩卷其它試題完全相同.因此，本文以山東卷為對象，以《課標(biāo)（2017年版）》為視角，從“四基”“四能”“三會”四個方面進(jìn)行評析[4].

2.1科學(xué)命題，立足“四基”

《課標(biāo)（2017年版）》提出了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及未來發(fā)展所必須的“四基”，包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).“四基”是在原來“雙基”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步凝練的目標(biāo)，數(shù)學(xué)基本思想可歸結(jié)為三個核心要素[5].抽象、推理、模型;基本活動經(jīng)驗(yàn)是在已有經(jīng)驗(yàn)和直觀基礎(chǔ)上，經(jīng)歷和感悟歸納推理和演繹推理過程，尤其是歸納推理過程后建立的新經(jīng)驗(yàn)和更高層次的直觀[6].山東卷在命題上重視“四基”的落實(shí)，在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的同時，對基本思想與基本活動經(jīng)驗(yàn)也有一定要求.

《課標(biāo)（2017年版）》給出必修課程和選擇性必修課程的定位：必修課程為學(xué)生發(fā)展提供共同基礎(chǔ)，具有基礎(chǔ)性;選擇性必修課程是計(jì)劃通過參加高考進(jìn)入高等學(xué)校學(xué)習(xí)必須學(xué)習(xí)的課程;必修課程和選擇性必修課程是高考的內(nèi)容要求.山東卷試題所考核的知識點(diǎn)相應(yīng)題數(shù)在課程結(jié)構(gòu)中的分布情況如圖1所示.

從圖1可以看出，全卷22道試題有19道題考核的知識涉及必修課程的內(nèi)容，側(cè)重考查函數(shù)、幾何與代數(shù)這兩條內(nèi)容主線.結(jié)合《課標(biāo)（2017年版）》的課時分布建議，可以進(jìn)一步得到表1（注：表中“課時分布”一欄小括號中的數(shù)字表示數(shù)學(xué)建模活動、數(shù)學(xué)探究活動和機(jī)動課時總和，在計(jì)算中不考慮這部分課時）.

由表1可以看出，必修課程與選擇性必修課程的課時所占比例接近山東卷分值分布比例，說明山東卷的命題契合《課標(biāo)（2017年版）》的課程結(jié)構(gòu)定位.同時，山東卷必修課程的考核分值比例為57.3%，說明試卷整體注重基礎(chǔ)性的考查，體現(xiàn)立足“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識”的命題方式.

此外，山東卷融合了數(shù)學(xué)基本技能的考查，如第6題流行病學(xué)涉及閱讀理解，第7題涉及作圖分析等，運(yùn)算求解基本技能的考查更是貫穿整份試卷.同時，問題解決的過程，綜合考查了學(xué)生應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，如第1 7題條件開放題涉及推理的基本思想，考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握與基本思想方法的應(yīng)用;第20題第2小問涉及構(gòu)造坐標(biāo)系利用法向量求解的基本活動經(jīng)驗(yàn)等.第4題更是立足“四基”的綜合體現(xiàn).

例1（第4題）如圖2，日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)寫OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所的角為

A.20°

B.40°

C.50°

D.90°

評析 本題涉及空間點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系的基礎(chǔ)知識，同時要求考生具備解決空間位置關(guān)系的基本活動經(jīng)驗(yàn)，作圖分析等基本技能以及將題設(shè)相關(guān)事物抽象成數(shù)學(xué)符號的基本思想.通過將晷針、晷面、赤道所在平面等抽象為直線、平面，再利用直線、平面的位置關(guān)系作圖分析即可推出晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角也為40°.命題者立足“四基”，有效融合“四基”的考查，凸顯“四基”的重要性.

2.2 巧妙設(shè)計(jì)，落實(shí)“四能”

《課標(biāo)（2017年版）》在“四基”的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)“四能”，即從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力是在原先強(qiáng)調(diào)的分析與解決問題的能力的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的補(bǔ)充，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新和創(chuàng)新意識的培養(yǎng).其中，分析與解決問題的能力涉及的是對“已知”情況的應(yīng)對，而發(fā)現(xiàn)與提出問題是對“未知”的考驗(yàn)，因此，發(fā)現(xiàn)與提出問題對學(xué)生的能力水平要求更高，更能激發(fā)學(xué)生的潛能.2020山東卷主要通過問題情境，借助客觀事物巧妙設(shè)計(jì)，有效指向“提高發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”的課標(biāo)培養(yǎng)目標(biāo)，側(cè)重考核考生分析和解決問題的能力.

例2（第15題）某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖3所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C， tan∠ODC=3/5，BH∥DG，EF= 12cm，DE= 2cm，A到直

線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1，則圖中陰影部分的面積為____ cm2.

評析 本題通過現(xiàn)實(shí)生活中某零件的構(gòu)造提出相關(guān)問題，培養(yǎng)考生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.利用零件構(gòu)造巧妙設(shè)計(jì)考題，考查考生從看似復(fù)雜的條件中分析和解決問題的能力.考生需要明確題目要求——求陰影部分面積;分析思考解決問題的方法——例如可以拆成扇形OAB的面積與三角形OAH的面積;再由己知條件分析解題的突破口—根據(jù)己知條件EF =12cm，DE = 2cm且A到DE和EF的距離均為7cm可知A到DG和FG的距離相等為Scm，然后設(shè)參數(shù)再根據(jù)邊角關(guān)系即可求得關(guān)鍵距離OA.

2.3聚焦素養(yǎng)，引導(dǎo)“三會”

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育階段重要的學(xué)科之一，《課標(biāo)（2017年版）》明確指出數(shù)學(xué)的課程性質(zhì)：提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（以下簡稱“三會”）.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.”包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.史寧中指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是實(shí)現(xiàn)“三會”的具體化，“三會”本質(zhì)上是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中.數(shù)學(xué)的眼光強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)抽象，而直觀想象作為數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)，成為其中的一個核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)的思維強(qiáng)調(diào)的是邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算在高中階段的重要性使其也成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一;數(shù)學(xué)的語言強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)模型，數(shù)據(jù)分析因?yàn)榇髷?shù)據(jù)的時代背景自然也成為了核心素養(yǎng)的一個要素[7].

結(jié)合《課標(biāo)（2017年版）》關(guān)于六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念界定、主要內(nèi)容、主要表現(xiàn)和水平劃分表統(tǒng)觀山東卷，可以發(fā)現(xiàn)其在命題中聚焦六個核心素養(yǎng)，幾乎每道試題都至少綜合兩種素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間相互獨(dú)立、又相互融合的有機(jī)整體的關(guān)系，突出了命題的綜合性;同時，基于素養(yǎng)的不同水平編制了不同的試題，合理控制試卷的難易程度，既保證基礎(chǔ)水平素養(yǎng)的考核，又注重高水平素養(yǎng)的要求，有利于人才選拔.另外，筆者發(fā)現(xiàn)山東卷在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)方面的考查較為缺乏，主要是以數(shù)學(xué)模型為背景命題，并沒有深入考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平.

問題情境是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，其中情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境[4].山東卷試題命制主要以數(shù)學(xué)情境為載體，從考生熟知或者相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識入手，根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求提出問題.少部分試題結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境（如第3、5、15、19題）和科學(xué)情境（如第4、6、12題）.下面就三種情境，探析山東卷如何通過聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)“三會”.

例3（第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（ ）.

A.62%

B.56%

C.46%

D.42%

評析本題結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境，以生活中喜歡不同體育鍛煉的統(tǒng)計(jì)問題為背景，考查考生對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析能力，引導(dǎo)考生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活問題，考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng);或用集合Venn圖解決問題的能力，引導(dǎo)考生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)生活問題，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

評析 本題結(jié)合科學(xué)情境，信息論中一個很重要的概念信息熵為背景，考查對數(shù)運(yùn)算及其增減性，科普了重要的信息熵公式，同時考查考生對模型的理解與應(yīng)用，涉及了直觀想象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析五個核心素養(yǎng)的考查，引導(dǎo)考生感悟用數(shù)學(xué)眼光去觀察信息世界，用數(shù)學(xué)思維去思考信息世界，體會虛無縹緲的信息可以用數(shù)學(xué)語言去度量刻畫的過程，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用價值，激發(fā)考生在信息世界感知數(shù)學(xué)的興趣，符合《課標(biāo)（2017年版）》對“三會”的目標(biāo)要求，

例5（第16題）己知直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD= 60°.以D1為球心，√5為半徑的球面與側(cè)面BC1B1的交線長為____.

評析 本題結(jié)合數(shù)學(xué)情境，以一個平面截球體的截面為圓盤的事實(shí)，求解直四棱柱側(cè)面（有邊界）與球面的交線長的特殊情形，考查考生的抽象推理、借助幾何直觀解決問題以及計(jì)算求解等相關(guān)能力，涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算四大核心素養(yǎng)的綜合考查，對學(xué)生的核心素養(yǎng)水平具有較高的要求，有助于“三會”的引導(dǎo).

3 思考與展望

山東卷基于課標(biāo)科學(xué)命題，立足“四基”;巧妙設(shè)計(jì)，落實(shí)“四能”;聚焦素養(yǎng)，引導(dǎo)“三會”的命題特征，開啟了不分文理科新高考數(shù)學(xué)全國卷命題的新篇章.新高考數(shù)學(xué)卷在穩(wěn)定中創(chuàng)新，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的引導(dǎo)作用，需要我們深入品味和思考.

3.1深入解讀課標(biāo)，把握高考改革方向

山東卷無論命題理念還是考核知識點(diǎn)都在《課標(biāo)（2017年版）》中有跡可循，其中“四基”“四能”“三會”“六素養(yǎng)”是高中數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)，也是高考命題關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容，新課程結(jié)構(gòu)中各單元內(nèi)容的具體要求更是高考命題的重要依據(jù).因此，深入解讀《課標(biāo)（2017年版）》是迅速把握不分文理科背景下新高考改革方向的有效途徑，對高中數(shù)學(xué)教與學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義.

3.2 關(guān)注知識載體，發(fā)掘問題情境價值

問題情境是知識考查的重要載體，是落實(shí)課標(biāo)思想的重要方式，是實(shí)現(xiàn)高考命題科學(xué)高效的重要工具，在高考命題中發(fā)揮著重要作用.教師應(yīng)注重利用問題情境來滲透核心價值觀，明確提高學(xué)生對問題情境的信息提取、信息整合、信息使用等能力是基礎(chǔ)教育階段的重要任務(wù).同時，發(fā)掘問題情境的“教一學(xué)一考”價值、思考如何科學(xué)設(shè)置問題情境也是值得今后進(jìn)一步研討的內(nèi)容.

3.3 堅(jiān)持探索創(chuàng)新，發(fā)揮高考導(dǎo)向功能

新高考試題在“數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”的考查還主要停留在滲透的層面;數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查力度還不夠.傳統(tǒng)題型很難很好地解決這兩個問題.新題型是新高考的重要創(chuàng)新，進(jìn)一步發(fā)揮了數(shù)學(xué)科高考的選拔功能，由新題型啟發(fā)探索新的命題方式來解決上述問題是可行的思路，這需要后續(xù)不斷地探索和試驗(yàn).唯有堅(jiān)持探索創(chuàng)新，才能使得高考這根“指揮棒”發(fā)揮更加積極的引導(dǎo)教學(xué)功能.

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