平面幾何中與動點有關的最值問題

崔懷勝

【摘要】動點和最值的綜合問題是初中數學中的重點和難點，很多學生遇到此類問題時不知道如何下手.因此，教師有必要在復習階段引導學生系統地將常見的動點和最值的綜合問題進行歸類分析和深化探究，使之掌握解決此類問題的基本思路和常用方法.

【關鍵詞】平面幾何;動點問題;最值問題;中考真題

平面幾何中的動點和最值綜合問題常常出現在初中數學各類試題中，而且多以壓軸題的面目示人. 難度大，分值高，讓諸多基礎差的學生望而卻步.動點問題就是在題設圖形中存在一個或幾個可移動的點，探尋移動點的幾何關系的問題.平面幾何中最值問題大都歸于“兩點之間的連線中，線段最短”和“三角形兩邊之差小于第三邊”等模型.掌握解決動點和最值綜合問題的基本思路，舉一反三.筆者結合教學實踐優選幾道2022年中考真題對如何解決動點和最值綜合問題進行探討.

1一個動點

例1如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，點E在折線BCD上運動，將AE繞點A順時針旋轉得到AF，旋轉角等于∠BAC，連接CF.連接DF，點E從點B運動到點D的過程中，試探究DF的最小值.

解如圖2所示，當點E在BC邊上時，過點F作FM⊥AC，過點D作DH⊥FM于點H，

易證△ABE≌△AMF，

則AM=AB=4，

CM=AC-AM=1，∠AMF=90°，

故點F在射線MF上運動，且點F與點H重合時，DH的值最小.在△CMJ與△CDA中，

所以Rt△CMJ∽Rt△CDA，

所以Rt△CMJ∽Rt△DHJ，

如圖3所示，當點E在線段CD上時，將線段AD繞點A順時針旋轉∠BAC的度數，得到線段AR，連接FR，過點D作DQ⊥AR，DK⊥FR，由題意可知，∠DAE=∠RAF，

所以△ADE≌△ARF，

所以∠ARF=∠ADE=90°

故點F在RF上運動，當點F與點K重合時，DF的值最小.

由于DQ⊥AR，DK⊥FR，∠ARF=90°，

故四邊形DQRK是矩形，

所以DK=QR，

注本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關鍵是各性質定理的綜合應用.單個動點問題相對容易解決，但是有時也需要結合題意轉變思路.

2兩個動點

解因為點E是AC的中點，

根據勾股定理得

由翻折知

由旋轉知EF=EG，

所以點G在以點E為圓心，EG為半徑的圓上，

所以B′G的最小值為B′E-EG，要B′G最小，則EG最大，即EF最大，

因為點F在AD上，所以點在點A或點D時，EF最大，

注本題考查了等腰三角形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，全等三角形的性質與判定，軸對稱線的性質，點到圓上一點距離最值問題，正確的添加輔助線是解題的關鍵.

3三個動點

例3如圖6，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE⊥DC.

（1）求證：四邊形DBCE為菱形;

（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P，M，N分別在線段BE，BC，CE上運動，求PM+PN的最小值.

解（1）證明：略;

（2）作N關于BE的對稱點N′，過D作DH⊥BC于H，

由菱形的對稱性知，點N關于BE的對稱點N′在DE上，所以

PM+PN=PM+PN′，

所以PM+PN≥MN′，

因為DE∥BC，

所以MN′的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，

在Rt△DBH中，

∠DBC=60°，DB=2，

注兩個或三個動點類型的問題是一個動點問題的“加強版”，屬于初中數學中的高難度試題，常與實際問題結合設問.解決此類問題，我們要結合數學知識來尋找多個動點之間的幾何關系和函數關系，讓動態問題變成有規律可循的靜態問題.