三角形中角平分線的一個結論及應用

吳國慶 朱杰

【摘要】學習了三角形角平分線后，經(jīng)常會遇到涉及三角形中線段的比的問題，本文對其圖形結論進行歸納，并例析其應用.

【關鍵詞】三角形角平分線;結論;應用

八年級學生學習了三角形角平分線后，經(jīng)常會遇到涉及三角形中線段的比的問題，本文對其圖形結論進行歸納，并例析其應用.

分析問題條件只有一個三角形和該三角形的一條角平分線，學生初步接觸三角形的相關知識，如何得到這四條線段的比例關系？

由于學生的知識不足，方法不豐富，顯然有難度，這里可以用面積的相關知識來證明.

證明過點D作DE⊥AB，過點D作DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).

因為AD平分∠CAB，

所以DE=DF.

上面結論為：三角形的一條角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例.問題結論非常和諧，在解決相關問題中，發(fā)現(xiàn)并應用這一結論，對于問題解決尤為重要，下面舉例說明.

例1如圖2，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，C4=CB=3，CE=CD，點A在DE上，若AE：AD=1：2則Rt△ABC和Rt△DEC重疊部分的面積為（）

分析問題中求△ACF的面積，直接由三角形面積公式難求出，由于△ACB的面積可求，問題可以思考△ACF和△ACB的面積關系，能夠求出AF和AB的關系即可.

解連接BD，設AB和CD交于點F.

因為∠ACB=∠ECD=90°

所以∠ACE=∠BCD.

又因為EC=DC，AC=BC，

所以△ECA≌△DCB，

所以∠CDB=∠AEC=∠ADC=45°

BD=AE.

因為AE：AD=1：2，

所以BD：AD=1：2.

由“角平分線結論”知

BD：AD=BF：AF=1：2，

即AF：AB=2：3，

故選（C）.

接AE，交BC于F，若BF=a，CB=b，則AC=________.（用含a，b的式子表示）.

分析問題中隱藏著“EA為∠CAB的角平分線”，即∠FAB=∠FAC=20°，由BF=a，CB=b可得CF=b-a，構造等邊三角形BKA，由三角形全等可以用a，b表示等邊三角形BKA的邊長BK，即表示出AB，再由“角平分線結論”可以進一步表示出AC.

解過點E作EI⊥AD，EH⊥CB，EG⊥AB交AB延長線于G，延長BC至K使得BK=AB，連接AK.

因為∠CBA=60°，

所以△ABK為等邊三角形.

因為∠ABC=∠EBC=60°，

所以∠EBG=∠EBC=60°，

EG=EH.

所以2∠BCE+∠ACB=180°，

∠ECD=∠ECB，

所以EI=EH，EI=EG.

所以∠EAB=∠EAD=∠CAK=20°，

△CKA≌△FBA.

所以KC=FB，

因為BF=a，CB=b，

所以CF=b-a，CK=BF=a，

BK=AB=b+a.

由“角平分線結論”知

AC：AB=CF：FB，

解在AB上取AE，BF，使得AE=AD，BF =BC，連接OE，OF.

因為AC，BD分別平分∠DAB和∠ABC，

∠DAB+∠ABC=90°，

所以△DAO≌△EAO，

△CBO≌△FBO，

∠AOB=135°，

所以∠AOD=∠AOE=∠EOF

=∠BOF=∠COB

=45°，

DO=OE，BO=4OD，

所以BO=4OE.

在△EOB中，OF平分∠EOB，

由“角平分線結論”知

BO：EO=BF：FE=4：1，

設BF=BC=4a，

EF=a，

DA=AE=x，

在△DAB中，AO平分∠DAB，

由“角平分線結論”知

DA：AB=DO：BO=1：4，

在△ABC中，BO平分∠ABC，

由“角平分線結論”知

故選（B）.