推進(jìn)減負(fù)增效 提升教學(xué)質(zhì)量
——暨“第十二屆初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)”總結(jié)

章建躍

（中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)）

一、概況

本次活動(dòng)受到全國(guó)初中數(shù)學(xué)教師、教研部門(mén)、各會(huì)員單位的高度重視，得到展示教師所在學(xué)校的大力支持，得到中國(guó)教師研修網(wǎng)的高質(zhì)量技術(shù)支持.本次活動(dòng)共有117位各地選派的教師進(jìn)行優(yōu)秀課例展示.由58人組成的學(xué)術(shù)委員會(huì)對(duì)本次活動(dòng)展示的優(yōu)秀課進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo).因?yàn)橐咔榉揽氐囊螅敬位顒?dòng)全程都在線(xiàn)上進(jìn)行，在線(xiàn)觀看直播人數(shù)近30萬(wàn)人.衷心感謝全國(guó)各地初中數(shù)學(xué)老師和廣大數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)本次活動(dòng)給予的高度關(guān)注，感謝你們的積極參與，大家辛苦了！

二、對(duì)活動(dòng)滿(mǎn)意度的調(diào)查（1310人參與）

1.對(duì)本次活動(dòng)的總體評(píng)價(jià)，調(diào)查結(jié)果如表1所示.

表1

（1很不滿(mǎn)意，5很滿(mǎn)意.）

2.最感興趣的環(huán)節(jié)，調(diào)查結(jié)果如表2所示.

表2

3.對(duì)評(píng)委點(diǎn)評(píng)的滿(mǎn)意程度，調(diào)查結(jié)果如表3所示.（1很不滿(mǎn)意，5很滿(mǎn)意.）

表3

4.對(duì)選手展示的滿(mǎn)意程度，調(diào)查結(jié)果如表4所示.（1很不滿(mǎn)意，5很滿(mǎn)意.）

表4

三、總體評(píng)價(jià)

本次活動(dòng)堅(jiān)持以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為指導(dǎo)，全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù).

本次活動(dòng)全面落實(shí)“雙減”任務(wù)，著眼優(yōu)化教學(xué)方式，強(qiáng)化課堂教學(xué)主陣地作用，提升學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率，切實(shí)減輕學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，提升課堂教學(xué)質(zhì)量.

本次活動(dòng)根據(jù)深化義務(wù)教育教學(xué)改革提高教學(xué)質(zhì)量的新要求，聚焦當(dāng)前義務(wù)教育課程改革中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，積極探索、大膽創(chuàng)新，特別是在運(yùn)算的一致性、代數(shù)推理、尺規(guī)作圖、幾何直觀、統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的意義、綜合實(shí)踐活動(dòng)等方面開(kāi)展深入研究與實(shí)踐，涌現(xiàn)了一批具有示范意義的課例.

本次活動(dòng)展示的課例注重把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，努力發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值，加強(qiáng)單元教學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)研究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，積極探索基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)，努力創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫场⑻岢龊线m的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過(guò)積極主動(dòng)的數(shù)學(xué)思考和交流，獲得“四基”、提高“四能”，從而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)在課堂.

本次活動(dòng)展示的課例堅(jiān)持教學(xué)相長(zhǎng)，努力做到“該講的講清楚，該放的放到位”.注重講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，通過(guò)先行組織者、課堂小結(jié)等各種方式幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、積極提問(wèn)、自主探究.

本次活動(dòng)展示的優(yōu)秀課例注重融合運(yùn)用傳統(tǒng)與現(xiàn)代技術(shù)手段，重視情境教學(xué)；積極探索基于數(shù)學(xué)學(xué)科的課程綜合化教學(xué)，大膽開(kāi)展研究型、項(xiàng)目化、合作式學(xué)習(xí)；注重精準(zhǔn)分析學(xué)情，重視差異化教學(xué)和個(gè)別化指導(dǎo).

本次活動(dòng)取得的預(yù)期效果，必將有力推動(dòng)我國(guó)初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革，引領(lǐng)“雙減”背景下的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革.

四、本次活動(dòng)的特點(diǎn)

1.聚焦重點(diǎn)、難點(diǎn)課題，提供典型豐富課型

本次活動(dòng)的課型非常豐富，有起始課、概念課、性質(zhì)課、公式法則課、練習(xí)課、試卷講評(píng)課、數(shù)學(xué)推理課（探究數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題的綜合實(shí)踐活動(dòng)課）、數(shù)學(xué)建模課（用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的綜合實(shí)踐活動(dòng)課）等.

例如，本次活動(dòng)指定的“體育運(yùn)動(dòng)與心率”課題，屬于綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，要求以跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法，從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡釋社會(huì)生活以及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、金融、地理、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的融合，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.承擔(dān)本課題的地區(qū)調(diào)動(dòng)強(qiáng)有力的研究力量展開(kāi)深入研究，給出了非常好的示范性教學(xué)案例.

2.教學(xué)設(shè)計(jì)科學(xué)化、規(guī)范化立意較高

教學(xué)設(shè)計(jì)比較好地體現(xiàn)了中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)（以下統(tǒng)稱(chēng)“中數(shù)專(zhuān)委會(huì)”）頒發(fā)的《中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（2021年修訂版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，按“教學(xué)內(nèi)容解析”“教學(xué)目標(biāo)設(shè)置”“學(xué)生學(xué)情分析”“教學(xué)策略分析”“教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)”五維度框架，或按“內(nèi)容和內(nèi)容解析”“目標(biāo)和目標(biāo)分析”“教學(xué)問(wèn)題診斷”“教學(xué)媒體設(shè)計(jì)”“教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)”“目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)”六維度框架進(jìn)行設(shè)計(jì)，使教學(xué)設(shè)計(jì)質(zhì)量得到基本保證.

【說(shuō)明】按照教學(xué)的一般理論，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情確定.這樣，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該在內(nèi)容解析、學(xué)情分析之后呈現(xiàn).但《評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“嚴(yán)格按照國(guó)家課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施教學(xué)，確保學(xué)生達(dá)到國(guó)家規(guī)定學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）規(guī)定了“內(nèi)容要求”和“學(xué)業(yè)要求”.日常教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)必須遵循這一規(guī)定.所以，教學(xué)設(shè)計(jì)的任務(wù)，首先，是對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上明確教學(xué)目標(biāo)；其次，再進(jìn)行教學(xué)問(wèn)題診斷，分析出學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知準(zhǔn)備與教學(xué)目標(biāo)之間的差距，得出教學(xué)難點(diǎn)的描述；最后，再給出消除認(rèn)知準(zhǔn)備與目標(biāo)之間差距的教學(xué)策略.

教學(xué)設(shè)計(jì)能力是全面提升教師數(shù)學(xué)課程教材實(shí)施能力的關(guān)鍵抓手.中數(shù)專(zhuān)委會(huì)給出的教學(xué)設(shè)計(jì)框架，意在按照新一輪課程改革提出的“精選學(xué)科內(nèi)容，重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)”的要求，以“數(shù)學(xué)的整體性，邏輯的連貫性，思想的一致性，方法的普適性，思維的系統(tǒng)性”為追求，設(shè)置單元內(nèi)容及其解析（含單元教學(xué)重點(diǎn)）、單元目標(biāo)及其解析、單元教學(xué)問(wèn)題診斷（含單元教學(xué)難點(diǎn)）、單元教學(xué)支持條件、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)（含課時(shí)教學(xué)內(nèi)容、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)、課時(shí)重點(diǎn)難點(diǎn)、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)等）等欄目，要求在單元設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì).實(shí)踐表明，通過(guò)基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究，可以有效幫助教師在掌握教學(xué)設(shè)計(jì)方法與技能的過(guò)程中，提升數(shù)學(xué)理解水平，提升把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的水平，提升學(xué)情分析、情境與問(wèn)題設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)及作業(yè)設(shè)計(jì)等方面的能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)育人能力.

3.注重?cái)?shù)學(xué)整體性，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體架構(gòu)

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點(diǎn)是整體性，這種整體性主要表現(xiàn)為如下幾個(gè)方面.

（1）同一主題內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性——縱向聯(lián)系，主要包括一個(gè)內(nèi)容的不同認(rèn)知層次、不同角度認(rèn)識(shí)之間內(nèi)在的一致性、關(guān)聯(lián)性，以及認(rèn)識(shí)不同方面內(nèi)容所采用的類(lèi)似過(guò)程與思想方法.例如，數(shù)系擴(kuò)充、數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律，代數(shù)式的定義和運(yùn)算，其內(nèi)容、研究架構(gòu)、過(guò)程和方法都有一致性，數(shù)、式及其運(yùn)算是一個(gè)整體.

（2）具有內(nèi)在聯(lián)系的不同內(nèi)容之間的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性——橫向聯(lián)系.例如，一元一次方程、不等式與一次函數(shù)，一元二次方程、不等式與二次函數(shù)中，以函數(shù)為主線(xiàn)，分別把三者“編織”成一個(gè)整體，把方程、不等式看成函數(shù)的某種（類(lèi)）特定狀態(tài)下特性.

（3）不同領(lǐng)域之間的融合所體現(xiàn)的整體性——綜合貫通，主要是幾何與代數(shù)之間的融合，體現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)思想與方法之間的相互融合，形成具有統(tǒng)一性、內(nèi)在一致性的數(shù)學(xué)一般觀念，這是在最高層面上體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，其統(tǒng)攝性最強(qiáng)、適用性最廣.幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的融合，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究圖形的性質(zhì)（如銳角三角函數(shù)），利用直角坐標(biāo)系表示幾何元素，通過(guò)坐標(biāo)的關(guān)系研究幾何圖形等，蘊(yùn)含著綜合性的數(shù)學(xué)思想，其結(jié)果是在更高層次上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性.

（4）不同學(xué)科的聯(lián)系與綜合也是一種整體性的體現(xiàn)，在課程內(nèi)容上表現(xiàn)為綜合實(shí)踐活動(dòng)，是這一次課程改革所特別強(qiáng)調(diào)的.

本次活動(dòng)的展示課中，許多教師注重在數(shù)學(xué)整體性的統(tǒng)領(lǐng)下，為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體架構(gòu).

①在課堂起始階段建立整體架構(gòu).

例如，在“平行線(xiàn)的性質(zhì)”一課的起始，教師通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生“復(fù)習(xí)舊知，厘清學(xué)路”.

通過(guò)圖1，把相交線(xiàn)、平行線(xiàn)從數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)起來(lái)，使之成為一個(gè)具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的整體.

圖1

研究對(duì)象：從“相交線(xiàn)”到“三線(xiàn)八角”，類(lèi)比從“相交線(xiàn)”到“垂線(xiàn)”（特殊的相交），從“三線(xiàn)八角”提出特例“兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截”.

研究?jī)?nèi)容與路徑：概念—性質(zhì)—特例（概念—判定—性質(zhì)）.

發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的方法：把判定“反過(guò)來(lái)”，以“兩直線(xiàn)平行”為條件，能得出什么結(jié)果？

②在課堂小結(jié)時(shí)建立知識(shí)架構(gòu).

例如，在“正比例函數(shù)”一課的小結(jié)中，教師給出如圖2、圖3所示的兩張圖.

圖2

圖3

通過(guò)這兩張圖，以“研究對(duì)象—研究?jī)?nèi)容—研究方法”為基本架構(gòu)，把初中階段要學(xué)習(xí)的幾類(lèi)函數(shù)整合到一起，并且以正比例函數(shù)的整體架構(gòu)給出研究函數(shù)的一般套路，在后續(xù)教學(xué)中不斷讓學(xué)生重溫，就可以達(dá)到螺旋上升的理解.

③通過(guò)類(lèi)比建立研究架構(gòu).

例如，在“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)中，教師用13分鐘建立了如圖4所示的框架，然后再具體展開(kāi)研究.

圖4

【說(shuō)明】比較可惜的是，教師在電子黑板上書(shū)寫(xiě)這個(gè)框架，接著就清除掉了.這個(gè)框架應(yīng)該在黑板上保留，以作為這堂課中指引學(xué)生自主學(xué)習(xí)的“導(dǎo)游圖”.

4.注重“一般觀念”引領(lǐng)作用，提升課堂教學(xué)品味

一般觀念，是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式、幾何性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)、概率性質(zhì)各是什么等問(wèn)題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論，對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題等都具有指路明燈的作用.能自覺(jué)地運(yùn)用一般觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)，是實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”，再到“何由以知其所以然”跨越的表現(xiàn)，是理性思維得到良好發(fā)展的表現(xiàn)，也是學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的標(biāo)志.

例如，“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”是“方程論”中的一個(gè)重要的代數(shù)性質(zhì).從系統(tǒng)上看，這是對(duì)一元二次方程要素之間關(guān)系的認(rèn)識(shí).這里，“研究對(duì)象要素之間的關(guān)系就是性質(zhì)”就是一般觀念，它是學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的“指路明燈”.如何發(fā)現(xiàn)這種“關(guān)系”呢？運(yùn)算是代數(shù)學(xué)的根源，運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)各種各樣代數(shù)性質(zhì)的根本方法，“運(yùn)算”就是一般觀念.

本次展示課中，教師設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題串.

問(wèn)題1：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），前面已經(jīng)學(xué)了一元二次方程的概念和解法.它有實(shí)數(shù)根時(shí)系數(shù)要滿(mǎn)足什么條件？

追問(wèn)1：此時(shí)，方程的根可以怎樣表示？

追問(wèn)2：不妨把方程的兩根記為x1和x2.由求根公式可知，一元二次方程的根由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式.除此之外，根與系數(shù)之間還會(huì)有什么形式的關(guān)系嗎？

問(wèn)題2：為了探索出更多形式的根與系數(shù)之間的關(guān)系，你認(rèn)為還可以對(duì)兩個(gè)根做怎樣的處理呢？

如果學(xué)生想不到，可以進(jìn)行如下引導(dǎo)性追問(wèn).

追問(wèn)：在代數(shù)的研究中，運(yùn)算是主角，我們可以通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過(guò)運(yùn)算歸納出代數(shù)定理.通過(guò)對(duì)兩個(gè)根的運(yùn)算你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)果？

問(wèn)題3：通過(guò)探究我們得到了4個(gè)結(jié)果（對(duì)兩根進(jìn)行加減乘除），請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，你覺(jué)得哪幾個(gè)更適合作為一元二次方程根與系數(shù)的一般關(guān)系？

追問(wèn)1：（在學(xué)生說(shuō)出兩根之和、之積的結(jié)果更加簡(jiǎn)單等之后）除此以外，還有其他原因嗎？

追問(wèn)2：（如果學(xué)生想不到，再引導(dǎo)）請(qǐng)大家思考一下x1-x2與x1+x2，x1x2的聯(lián)系，能用兩根的和、積表示x1-x2嗎？

教師講解：實(shí)際上，從運(yùn)算上考慮，加法、乘法是基本運(yùn)算，因此以?xún)筛汀⒎e為根與系數(shù)的一般關(guān)系更合適.

可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)設(shè)計(jì)非常好地體現(xiàn)了“一般觀念引領(lǐng)下研究代數(shù)性質(zhì)”的思想.教學(xué)實(shí)踐也表明，在上述問(wèn)題串引導(dǎo)下，學(xué)生代數(shù)學(xué)的學(xué)科特性——代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過(guò)運(yùn)算解決問(wèn)題.

5.注重以邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展系列化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)

顯然，教學(xué)中提出高水平問(wèn)題需要以理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生為基礎(chǔ).本次活動(dòng)中，展示教師普遍注意創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展需要，數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的情境，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的必然性；注重精心設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，采取問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生帶著問(wèn)題開(kāi)展探索活動(dòng)，將轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式落在實(shí)處；普遍采用啟發(fā)式、互動(dòng)式、探究式教學(xué)，注重學(xué)生參與，讓學(xué)生有主動(dòng)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，教師采用追問(wèn)等方式推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.許多展示課中創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題串都體現(xiàn)了高水平問(wèn)題的幾個(gè)要點(diǎn)：（1）反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)；（2）在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，對(duì)學(xué)生的思維形成挑戰(zhàn)性——不輕易捅破“窗戶(hù)紙”；（3）具有可發(fā)展性，形成系列問(wèn)題；（4）具有可模仿性，實(shí)現(xiàn)從“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問(wèn)，展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí)”過(guò)渡.

例如，在“加權(quán)平均數(shù)”一課中，教師創(chuàng)設(shè)了如下問(wèn)題串.

情境導(dǎo)入：關(guān)注青少年的身高.已知某班級(jí)男生平均身高為170 cm，女生平均身高為160 cm，能否算出全班學(xué)生的平均身高？

問(wèn)題1：（1）若1班有男生30人、女生20人呢？

（2）若2班有男生20人、女生30人呢？

（3）若3班有男生25人、女生25人呢？

思考1：已知男生人數(shù)、女生人數(shù)，在不計(jì)算的前提下，你能大致估計(jì)班級(jí)所有學(xué)生的平均身高嗎？

思考2：平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果是否符合估計(jì)值？它的大小和人數(shù)有關(guān)聯(lián)嗎？

問(wèn)題2：（1）若某年級(jí)有男生240人、女生160人呢？

（2）若某初中學(xué)校有男生900人、女生600人呢？

思考3：到底是什么量影響了平均數(shù)？

思考4：影響因素在平均數(shù)公式中如何體現(xiàn)？

思考5：如何從數(shù)學(xué)角度說(shuō)明男生30人、女生20人時(shí)，平均數(shù)偏向男生的平均身高？

問(wèn)題3：若男生a人、女生b人呢？

權(quán)的古代釋義：權(quán)，然后知輕重；度，然后知長(zhǎng)短.物皆然，心為甚.——《孟子·梁惠王上》

問(wèn)題4：一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xk出現(xiàn)的次數(shù)分別為f1，f2，…，fk，如何計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

上述問(wèn)題串圍繞身高問(wèn)題，采取“控制變量”的方法，在保持男女生平均身高不變的假設(shè)前提下，讓學(xué)生初步感知“權(quán)”、明晰“權(quán)”、理解“權(quán)”.隨著環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，學(xué)生對(duì)“權(quán)”的理解層層遞進(jìn)，從感知數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)對(duì)平均數(shù)結(jié)果的影響力大小進(jìn)行“權(quán)”的定性描述，走向加權(quán)平均數(shù)的數(shù)學(xué)定義，給出定量計(jì)算公式.

6.遵循概念認(rèn)知規(guī)律，經(jīng)歷完整學(xué)習(xí)過(guò)程

注重遵循認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于概念獲得的相關(guān)理論，普遍注意以概念形成方式安排學(xué)習(xí)過(guò)程，完成“情境與問(wèn)題—共性分析與歸納—抽象本質(zhì)特征、下定義—關(guān)鍵詞辨析—簡(jiǎn)單應(yīng)用—聯(lián)系與綜合”的過(guò)程，讓學(xué)生在觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、歸納與概括中經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程，把數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)滲透其中.

特別值得肯定的是，許多展示課在引入的必要性、概念抽象的過(guò)程性上有比較好的表現(xiàn).例如，在“銳角三角函數(shù)的概念”一課中，展示教師注意利用本節(jié)課“章起始課”的地位，將研究課題置于三角形邊、角關(guān)系的大背景下，說(shuō)明引入銳角三角函數(shù)的必要性，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，構(gòu)建研究框架.

先以“在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2.（1）△ABC的形狀和大小是確定的嗎？為什么？（2）你能求出其余的邊長(zhǎng)和內(nèi)角嗎？（3）為什么要作CD⊥AB？”引出“已知三角形的某些元素，求其他元素”的問(wèn)題，并將問(wèn)題聚焦到“解直角三角形”上.然后，以“關(guān)于直角三角形的邊和角，我們已有哪些結(jié)論？”“還可以研究什么問(wèn)題？”引出研究直角三角形邊角關(guān)系的問(wèn)題；再?gòu)匿J角為30°，45°，60°得到直角三角形的大小可以改變，但對(duì)邊與斜邊之比不變的猜想；并以“在Rt△ABC中，∠A=37°時(shí)，無(wú)論大小如何都有∠A所對(duì)邊與斜邊之比為定值”進(jìn)行驗(yàn)證；最后給出證明.

7.定理、法則、公式等注重自主發(fā)現(xiàn)

教學(xué)設(shè)計(jì)中，在“如何使學(xué)生想得到”上下了較多的工夫，力爭(zhēng)通過(guò)問(wèn)題情境促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)自主發(fā)現(xiàn).例如，本次活動(dòng)的指定課題“平行線(xiàn)的性質(zhì)”，展示教師先讓學(xué)生回顧“平行線(xiàn)的判定”研究的問(wèn)題、路徑和方法；然后提出問(wèn)題“將平行線(xiàn)的判定中的條件和結(jié)論互換，也就是以‘兩條直線(xiàn)平行’為條件，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角各有什么關(guān)系呢？”，從而明確要研究的問(wèn)題；再類(lèi)比“判定”的研究路徑，確定“同位角—內(nèi)錯(cuò)角—同旁?xún)?nèi)角”的研究路徑；再類(lèi)比“判定”的研究方法，通過(guò)驗(yàn)證的方法得出“性質(zhì)1：兩直線(xiàn)平行，同位角相等”；再通過(guò)推理證明“性質(zhì)2：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”“性質(zhì)3：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”.通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題成為必然，而不是“撞大運(yùn)”.

8.開(kāi)始注意課堂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)是課堂教學(xué)的重要組成部分，主要目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí).在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中就注意建立旨在落實(shí)“四基”“四能”的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)，運(yùn)用過(guò)程性評(píng)價(jià)考查學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的表現(xiàn)，診斷學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的獲得情況，以及數(shù)學(xué)思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的達(dá)成水平，對(duì)于實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)教學(xué)、達(dá)成減負(fù)增效的效果是非常重要的.例如，在“加權(quán)平均數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)中就專(zhuān)門(mén)給出了如下學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì).

（1）理解“權(quán)”的意義，能夠把實(shí)際問(wèn)題中的“人數(shù)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)意義上數(shù)據(jù)的“權(quán)”，來(lái)衡量數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)影響力的大小.

（2）會(huì)用“加權(quán)平均數(shù)”的方法計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，能提取數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，結(jié)合“數(shù)據(jù)本身”和“數(shù)據(jù)的權(quán)”兩個(gè)方面綜合分析，作為決策的依據(jù).

（4）能在活動(dòng)中積極表達(dá)想法，部分達(dá)成共識(shí)，并繼續(xù)思考討論存在異議的部分，進(jìn)一步完善總結(jié).

9.課堂小結(jié)注重結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化

本次活動(dòng)展示的課例中，許多教師都不再提“學(xué)了今天的內(nèi)容，你有哪些收獲？”這樣大而化之的課堂小結(jié)要求，而是以精心設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化板書(shū)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以?xún)?nèi)容為載體的、旨在幫助學(xué)生形成融“四基”于一體的課堂小結(jié).例如，圖5是指定課題“代數(shù)推理”的課堂小結(jié).

圖5

10.展示教師表現(xiàn)良好

疫情防控常態(tài)化下，展示教師克服了大量困難，充分準(zhǔn)備，圓滿(mǎn)完成了展示任務(wù)，特別是為了完成指定課題，教師克服了許多困難.參加展示的教師都表現(xiàn)出很好的親和力，自然大方，有激情.課堂氣氛比較生動(dòng)活潑，教學(xué)效果普遍較好.

最優(yōu)秀選手名單

馮 婷 四川省成都市七中育才學(xué)校

崔 娜 貴州省貴陽(yáng)市觀山湖區(qū)外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)

高 原 遼寧省營(yíng)口市鲅魚(yú)圈區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校

吳 娜 湖北省襄陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)

楊夢(mèng)嬌 上海市嘉定區(qū)外岡學(xué)校

周正峰 江蘇省蘇州市相城區(qū)黃橋中學(xué)

朱元苑 上海市徐匯中學(xué)

張曉鵬 內(nèi)蒙古興安盟烏蘭浩特市第十二中學(xué)

李 焱 新疆烏魯木齊市第16中學(xué)

趙冬艷 陜西省西安市高新區(qū)第一中學(xué)初中校區(qū)

楊倩倩 河南省鄭州市第七初級(jí)中學(xué)

王 浩 湖北省華中科技大學(xué)附屬中學(xué)

趙子祎 天津市南開(kāi)翔宇學(xué)校

尹佩芬 廣東省東莞市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校

王昕昕 遼寧省鞍山市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校

張 璇 上海市民辦新華初級(jí)中學(xué)

11.學(xué)術(shù)委員工作認(rèn)真負(fù)責(zé)

為了做好點(diǎn)評(píng)工作，本次活動(dòng)學(xué)術(shù)委員會(huì)事先做了大量準(zhǔn)備工作，8個(gè)小組分別建立了學(xué)術(shù)委員微信群，多次召開(kāi)專(zhuān)家組會(huì)議.通過(guò)微信群明確點(diǎn)評(píng)任務(wù)，研討點(diǎn)評(píng)工作，達(dá)成共識(shí).本次活動(dòng)在線(xiàn)上舉行，評(píng)委們遇到了一些不熟悉的技術(shù)問(wèn)題，大家群策群力，相互幫助，在中國(guó)教師研修網(wǎng)的強(qiáng)大技術(shù)力量支持下，圓滿(mǎn)解決問(wèn)題，為大會(huì)直播奠定了良好的基礎(chǔ).

評(píng)委們事先觀看了完整的課堂實(shí)錄，預(yù)先寫(xiě)好了點(diǎn)評(píng)提綱，并事先做好PPT，再結(jié)合選手的現(xiàn)場(chǎng)表現(xiàn)給予認(rèn)真點(diǎn)評(píng)，評(píng)委的點(diǎn)評(píng)得到廣大教師的普遍好評(píng).

五、今后需要努力的一些方面

1.加強(qiáng)學(xué)習(xí)

除了“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解技術(shù)，理解教學(xué)，理解評(píng)價(jià)”等，還要注意了解國(guó)家的方針政策.例如，中共中央國(guó)務(wù)院《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見(jiàn)》在“提升智育水平”一條中提出：著力培養(yǎng)認(rèn)知能力，促進(jìn)思維發(fā)展，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí).嚴(yán)格按照國(guó)家課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施教學(xué)，確保學(xué)生達(dá)到國(guó)家規(guī)定的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn).充分發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，引導(dǎo)教師深入理解學(xué)科特點(diǎn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法，科學(xué)把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，上好每一堂課.突出學(xué)生主體地位，注重保護(hù)學(xué)生好奇心、想象力、求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)能力.加強(qiáng)科學(xué)教育和實(shí)驗(yàn)教學(xué)，廣泛開(kāi)展多種形式的讀書(shū)活動(dòng).各地要加強(qiáng)監(jiān)測(cè)和督導(dǎo)，堅(jiān)決防止學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重.

在“優(yōu)化教學(xué)方式”中提出：堅(jiān)持教學(xué)相長(zhǎng)，注重啟發(fā)式、互動(dòng)式、探究式教學(xué)，教師課前要指導(dǎo)學(xué)生做好預(yù)習(xí)，課上要講清重點(diǎn)難點(diǎn)、知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、積極提問(wèn)、自主探究.融合運(yùn)用傳統(tǒng)與現(xiàn)代技術(shù)手段，重視情境教學(xué)；探索基于學(xué)科的課程綜合化教學(xué)，開(kāi)展研究型、項(xiàng)目化、合作式學(xué)習(xí).精準(zhǔn)分析學(xué)情，重視差異化教學(xué)和個(gè)別化指導(dǎo).各地要定期開(kāi)展聚焦課堂教學(xué)質(zhì)量的主題活動(dòng)，注重培育、遴選和推廣優(yōu)秀教學(xué)模式、教學(xué)案例.

在“加強(qiáng)教學(xué)管理”中提出：省級(jí)教育部門(mén)要分學(xué)科制定課堂教學(xué)基本要求，市、縣級(jí)教育部門(mén)要指導(dǎo)學(xué)校形成教學(xué)管理特色.學(xué)校要健全教學(xué)管理規(guī)程，統(tǒng)籌制定教學(xué)計(jì)劃，優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)；開(kāi)齊、開(kāi)足、開(kāi)好國(guó)家規(guī)定課程，不得隨意增減課時(shí)、改變難度、調(diào)整進(jìn)度；嚴(yán)格按照《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》零起點(diǎn)教學(xué)，小學(xué)一年級(jí)設(shè)置過(guò)渡性活動(dòng)課程，注重做好幼小銜接；堅(jiān)持和完善集體備課制度，認(rèn)真制定教案.各地、各校要切實(shí)加強(qiáng)課程實(shí)施日常監(jiān)督，不得有提前結(jié)課備考、超標(biāo)教學(xué)、違規(guī)統(tǒng)考、考試排名和不履行教學(xué)責(zé)任等行為.

在“完善作業(yè)考試輔導(dǎo)”中提出：統(tǒng)籌調(diào)控不同年級(jí)、不同學(xué)科作業(yè)數(shù)量和作業(yè)時(shí)間，促進(jìn)學(xué)生完成好基礎(chǔ)性作業(yè)，強(qiáng)化實(shí)踐性作業(yè)，探索彈性作業(yè)和跨學(xué)科作業(yè)，不斷提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量.杜絕將學(xué)生作業(yè)變成家長(zhǎng)作業(yè)或要求家長(zhǎng)檢查批改作業(yè)，不得布置懲罰性作業(yè).教師要認(rèn)真批改作業(yè)，強(qiáng)化面批講解，及時(shí)做好反饋.從嚴(yán)控制考試次數(shù)，考試內(nèi)容要符合《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》、聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際，考試成績(jī)實(shí)行等級(jí)評(píng)價(jià)，嚴(yán)禁以任何方式公布學(xué)生成績(jī)和排名.建立學(xué)困生幫扶制度，為學(xué)有余力學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間.各地要完善政策支持措施，不斷提高課后服務(wù)水平.

由此可見(jiàn)，“減負(fù)增效”一直是黨和政府的期待和要求.

2.深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每位公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、實(shí)施素質(zhì)教育的功能.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性.學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，掌握適應(yīng)現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，養(yǎng)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、好奇心與求知欲，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，并具有合作交流的意愿，形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，形成正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀等.廣大教師一定要意識(shí)到，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)絕不僅僅是為了分?jǐn)?shù)、為了升學(xué)，育人始終是第一位的，我們要將育德和育智統(tǒng)一在課堂教學(xué)中，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中必須做到以數(shù)學(xué)知識(shí)技能為載體，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展獨(dú)立思考、自主探究、合作交流，獲得“四基”，提高“四能”，形成數(shù)學(xué)的思維方式，培養(yǎng)理性思維和科學(xué)精神.

另外，也要防止貼標(biāo)簽式德育、庸俗化德育，要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的學(xué)科特點(diǎn)，用數(shù)學(xué)的方式育人才有力量.

3.加強(qiáng)教學(xué)目標(biāo)的研究

課堂教學(xué)目標(biāo)不明確現(xiàn)象普遍存在，許多教師不重視教學(xué)目標(biāo)的分析、理解，甚至不知道如何正確設(shè)置課堂教學(xué)目標(biāo).可以非常肯定地說(shuō)，當(dāng)前課堂教學(xué)效率不高的主要原因之一是教師沒(méi)有想清楚“本堂課要達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)是什么”.

對(duì)于明確教學(xué)目標(biāo)的重要性、如何制定教學(xué)目標(biāo)、如何檢驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況等，我們從2008年的全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課比賽活動(dòng)的總結(jié)中就開(kāi)始講，并明確指出“三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)，不是課堂教學(xué)目標(biāo)的維度，將課堂教學(xué)目標(biāo)分裂為三個(gè)維度進(jìn)行陳述，削弱了教學(xué)目標(biāo)對(duì)課堂教學(xué)的定向功能，導(dǎo)致貼標(biāo)簽式的數(shù)學(xué)思想方法、情感態(tài)度價(jià)值觀教學(xué).課堂教學(xué)目標(biāo)主要是針對(duì)當(dāng)前教學(xué)任務(wù)而制定的，應(yīng)該具體化，要具有可操作性、可檢測(cè)性，但從效果來(lái)看并不理想.這次活動(dòng)中，還有一些教學(xué)設(shè)計(jì)仍然以“三維目標(biāo)”“四維目標(biāo)”等方式呈現(xiàn)，暴露出這些教師不注意學(xué)習(xí)，沒(méi)有與時(shí)俱進(jìn)地更新觀念.

為什么“三維目標(biāo)”分裂表述課堂教學(xué)目標(biāo)是不合適的？這是因?yàn)檫@樣的表述沒(méi)有體現(xiàn)課堂教學(xué)的基本規(guī)律.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)包括推理、運(yùn)算、作圖等可觀察的表現(xiàn)性目標(biāo)，以及基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、關(guān)鍵能力，對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性、自信心，獨(dú)立思考、反思質(zhì)疑的科學(xué)精神等難以觀察的內(nèi)隱性目標(biāo).表現(xiàn)性目標(biāo)給出了教學(xué)后學(xué)生應(yīng)出現(xiàn)的行為變化的精確陳述.這一類(lèi)目標(biāo)所回答的問(wèn)題是：學(xué)生有怎樣的行為表現(xiàn)就可以認(rèn)定他已經(jīng)達(dá)成了目標(biāo).課堂教學(xué)目標(biāo)中更大量的是歸納、類(lèi)比、抽象、概括等分析性思維所涉及的高級(jí)學(xué)習(xí)的具體目標(biāo)，這些學(xué)習(xí)的出現(xiàn)是內(nèi)隱性的，并不表現(xiàn)為外在的可測(cè)行為.對(duì)于這類(lèi)目標(biāo)的描述，通常的做法是先把學(xué)生應(yīng)該學(xué)到什么描述出來(lái)，再設(shè)計(jì)具有測(cè)量信度和效度的問(wèn)題情境，通過(guò)觀察學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中的行為表現(xiàn)去推測(cè)學(xué)生是否已經(jīng)達(dá)成了目標(biāo).這也是我們強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程和學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)同步設(shè)計(jì)的原因.

接受上一輪課程改革的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，為了扭轉(zhuǎn)教學(xué)實(shí)踐中三維目標(biāo)相互割裂、過(guò)程與方法走過(guò)場(chǎng)、情感態(tài)度價(jià)值觀貼標(biāo)簽和形式化的問(wèn)題，本輪數(shù)學(xué)課程改革特別注重建立核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程教學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程教學(xué)對(duì)全面貫徹黨的教育方針、落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的獨(dú)特育人價(jià)值，具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上，從而明確了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程后應(yīng)達(dá)成的正確價(jià)值觀念、思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，逐步形成會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

我們提倡單元整體設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì).相應(yīng)地，在教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置中，要注重“四基”“四能”目標(biāo)的地位——“四基”“四能”目標(biāo)構(gòu)建了通往數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的教學(xué)過(guò)程，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的橋梁.因此，教師在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)要注重做好兩件事：一是做好對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的“內(nèi)容要求”的解析，把“了解”“理解”“掌握”“體驗(yàn)”“感悟”“領(lǐng)會(huì)”等的含義解釋清楚，從而明確單元目標(biāo)；二是將單元目標(biāo)分解到課時(shí)，并以“通過(guò)（經(jīng)歷）X，能（會(huì)）Y，發(fā)展（提高、體會(huì)）Z.其中X表示數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，Y表示應(yīng)會(huì)解決的問(wèn)題（顯性目標(biāo)，主要是具體知識(shí)、技能目標(biāo)），Z表示數(shù)學(xué)思想和方法、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力（隱性目標(biāo)）”的方式進(jìn)行表達(dá).總之，課時(shí)教學(xué)目標(biāo)要以教學(xué)內(nèi)容為載體，經(jīng)歷一個(gè)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題”的過(guò)程，在掌握知識(shí)技能的過(guò)程中領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入日常教學(xué)過(guò)程中.

4.“理解數(shù)學(xué)”永遠(yuǎn)在路上

教好數(shù)學(xué)的前提是自己先學(xué)好數(shù)學(xué)，這是常識(shí).教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題大多源于對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解不到位，這是被實(shí)踐反復(fù)證明的.教學(xué)的站位不高，思想性不強(qiáng)，糾纏于細(xì)枝末節(jié)，導(dǎo)致培養(yǎng)核心素養(yǎng)乏力，主要原因是教師對(duì)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法的理解深度不夠.

教學(xué)設(shè)計(jì)的首要任務(wù)是從教學(xué)角度進(jìn)行內(nèi)容解析，就是做好“內(nèi)容的教學(xué)理解”.許多教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解限于“知道這些內(nèi)容是什么”，盡管也能用于解題，但對(duì)于“為什么”“怎么想”“如何才能想得到”等卻語(yǔ)焉不詳，這就必然導(dǎo)致課堂教學(xué)“講解法，講不出想法”“講推理，講不出道理”等現(xiàn)象.教師自己對(duì)數(shù)學(xué)基本思想不理解、不知道如何發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，怎么可能在課堂上落實(shí)好“四基”“四能”呢？

該如何進(jìn)行“內(nèi)容解析”呢？中數(shù)專(zhuān)委會(huì)在2012年正式發(fā)布過(guò)一個(gè)《中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》，而且每年都進(jìn)行修訂.這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中的要求如下.

教學(xué)內(nèi)容主要指《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識(shí)及其由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的主要載體.教學(xué)內(nèi)容解析的目的是在準(zhǔn)確理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上做到教學(xué)的準(zhǔn)、精、簡(jiǎn).這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)、有效開(kāi)展課堂教學(xué)、提高課堂教學(xué)質(zhì)量的前提.

教學(xué)內(nèi)容解析要做到以下幾點(diǎn)：（1）正確闡述教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵及由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法，并闡明其核心，明確教學(xué)重點(diǎn)；（2）正確闡述當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容的上位知識(shí)、下位知識(shí)，明確知識(shí)的來(lái)龍去脈；（3）從知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程角度分析內(nèi)容所蘊(yùn)含的思維教學(xué)資源和價(jià)值觀教育資源.所以，內(nèi)容解析的基本結(jié)構(gòu)是：（1）教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵；（2）由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法；（3）當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容的上、下位知識(shí)，明確知識(shí)的來(lái)龍去脈；（4）內(nèi)容的育人價(jià)值（從知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程角度分析內(nèi)容所蘊(yùn)含的思維教學(xué)資源和價(jià)值觀教育資源）.

下面以系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的“圓周角”內(nèi)容理解與教學(xué)設(shè)計(jì)（情境與問(wèn)題）為例做一個(gè)簡(jiǎn)單說(shuō)明.

一般觀念：研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，首先要定義對(duì)象，再?gòu)亩x出發(fā)研究性質(zhì).研究過(guò)程中，對(duì)象的要素始終處于核心地位.

整體架構(gòu)：背景—概念（定義、表示、分類(lèi)）—性質(zhì)—聯(lián)系—應(yīng)用.

概念中的“定義”給出了對(duì)象的內(nèi)涵，“分類(lèi)”明確了對(duì)象的外延.

性質(zhì)要研究的問(wèn)題：對(duì)象的要素之間的關(guān)系，相關(guān)的重要元素之間的關(guān)系，對(duì)象之間的相互關(guān)系，等等.

圓的要素：圓心、半徑、圓周（圓上的點(diǎn)）.

圓周把平面上的點(diǎn)分為3個(gè)部分：圓周內(nèi)、圓周上、圓周外.

以圓為基本對(duì)象，生成與圓相關(guān)研究對(duì)象（子對(duì)象），可以得到圓弧、弦、“圓內(nèi)角”（含圓心角）、圓周角、“圓外角”（含弦切角）.

將“與圓相關(guān)的角”作為一個(gè)系統(tǒng)：角的要素是兩邊一頂點(diǎn)，角要與圓相關(guān)，所以角的兩邊都要與圓有公共點(diǎn)；對(duì)這些角進(jìn)行分類(lèi)，可以以角的頂點(diǎn)位置作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，得到如圖6所示結(jié)果.

圖6

圓心角、圓周角在“分界點(diǎn)”的位置，是“關(guān)鍵少數(shù)”，居于核心地位.而且，圓心角的要素（頂點(diǎn)、邊）與圓的要素（圓心、半徑）一致，是更基本的.

研究順序：圓心角—圓周角—圓內(nèi)角、圓外角.

研究?jī)?nèi)容：①對(duì)于圓心角，其要素、相關(guān)要素是角、角所對(duì)的弧和弦等，它們之間的數(shù)量關(guān)系，同圓中的兩個(gè)圓心角之間的關(guān)系；②對(duì)于“圓內(nèi)角”，可以研究與圓心角之間的關(guān)系（如同弧上的圓內(nèi)角與圓心角的關(guān)系）；③對(duì)于“圓周角”，可以研究“同弧上的圓周角的關(guān)系”“同弧上的圓周角與圓心角的關(guān)系”等；④對(duì)于“圓外角”，可以與圓心角、圓周角聯(lián)系起來(lái)，是否有確定的結(jié)論，還可以研究“特例”，如過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)所得圖形，等等.

研究方法：從具體到抽象，獲得猜想，再進(jìn)行推理論證，得出定理.

理解內(nèi)容、理解學(xué)生基礎(chǔ)上的教學(xué)設(shè)計(jì).

活動(dòng)1：圓周角的概念.

內(nèi)容解析：概念是人類(lèi)在認(rèn)識(shí)過(guò)程中把所感覺(jué)到的事物的共同特點(diǎn)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，抽出本質(zhì)屬性而成.概念都有內(nèi)涵和外延，即其含義和適用范圍.通過(guò)定義明確內(nèi)涵，通過(guò)分類(lèi)（劃分）明確外延.

圓周角的定義：把角的要素與圓關(guān)聯(lián)起來(lái)，頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

圓周角與圓心的位置關(guān)系：可以分為三類(lèi)——圓心在圓周角的內(nèi)部、邊上、外部.

【說(shuō)明】有教師會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：這里講分類(lèi)的理由是什么？在證明圓周角定理的時(shí)候講分類(lèi)，是因?yàn)樾枰诸?lèi)證明.這里要弄清楚分類(lèi)證明和對(duì)象的分類(lèi)之間的邏輯關(guān)系.之所以要分類(lèi)證明，是因?yàn)閳A周角與圓心有不同類(lèi)型的位置關(guān)系，不是因?yàn)樾枰诸?lèi)證明才對(duì)圓周角與圓心的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi).在這里對(duì)圓心角與圓心的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)，是確定圓周角外延的一個(gè)必要步驟，是由概念本身所要求的.

圓周角定義的教學(xué)，其指導(dǎo)思想有兩條：（1）在與圓相關(guān)的角的系統(tǒng)中設(shè)計(jì)認(rèn)知過(guò)程；（2）以完整的概念形成過(guò)程為依據(jù)，讓學(xué)生經(jīng)歷“定義—表示—分類(lèi)”的過(guò)程.可以創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題串.

問(wèn)題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一種與圓相關(guān)的角——圓心角.如圖7，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交.改變圓心角頂點(diǎn)O的位置，你認(rèn)為能產(chǎn)生哪些不同的角？試畫(huà)出這些不同角的代表，并說(shuō)說(shuō)它們不同在哪里？

圖7

師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立思考、作答，教師幫助學(xué)生歸納結(jié)論，如圖8所示.

圖8

追問(wèn)1：你是以什么為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)的？

追問(wèn)2：在這些角中，你認(rèn)為應(yīng)該先研究哪一類(lèi)角？為什么？

追問(wèn)3：你能給“頂點(diǎn)在圓上的角”下個(gè)定義嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從圓心角概念出發(fā)，改變圓心角頂點(diǎn)的位置，得到圓周角定義，自然而然地建立圓周角和圓心角的聯(lián)系.

活動(dòng)2：圓周角與圓心的位置關(guān)系.

問(wèn)題2：圓周角不單是頂點(diǎn)在圓上，還要求兩邊都與圓相交，現(xiàn)在我們?cè)凇袿的圓周上給定兩點(diǎn)A，B，你能畫(huà)出一個(gè)劣弧AB所對(duì)的圓周角嗎？你能再畫(huà)出第二個(gè)嗎？更多的呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)作圖，熟悉圓周角的同時(shí)，為發(fā)現(xiàn)圓周角與圓心位置關(guān)系的類(lèi)型提供直觀基礎(chǔ).例如，圖9是學(xué)生作出的圖形.

圖9

追問(wèn)：面對(duì)一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象，在定義后我們要對(duì)它進(jìn)行分類(lèi).一方面，進(jìn)一步認(rèn)清對(duì)象；另一方面，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ).大家都畫(huà)出了同一條弧所對(duì)的圓周角，觀察自己畫(huà)出的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考并得出結(jié)論，如果學(xué)生不知道如何入手觀察，教師可適當(dāng)提示：可以從圓周角的個(gè)數(shù)、分類(lèi)等角度入手.然后進(jìn)行全班交流，教師幫助總結(jié)，得出結(jié)論：同弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們與圓心的位置關(guān)系可以分為3類(lèi)，即圓心在圓周角內(nèi)、圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角外.

教師強(qiáng)調(diào)：對(duì)一個(gè)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，分類(lèi)是非常重要的方法，它不僅使我們對(duì)這個(gè)對(duì)象的認(rèn)識(shí)深化了，而且為后續(xù)的研究奠定了邏輯基礎(chǔ).另外，以圓心這一確定圓的要素為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，前后一致，可以做到“不重不漏”，這樣的分類(lèi)方法具有一般性.

活動(dòng)3：圓周角性質(zhì)的猜想.

問(wèn)題3：研究了圓周角的概念，接下來(lái)應(yīng)該研究什么？如何研究？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，能夠想到要研究圓周角的性質(zhì)，可能不知道如何研究，教師可以通過(guò)如下追問(wèn)進(jìn)行引導(dǎo).

圖10

【設(shè)計(jì)意圖】?jī)蓚€(gè)追問(wèn)都采取“轉(zhuǎn)換視角”的方法，用“等值語(yǔ)言”進(jìn)行敘述，從而引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）圓周角所對(duì)弧相同，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)觀察、測(cè)量發(fā)現(xiàn)它們相等，進(jìn)而可以得出猜想1，即同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）圓心角和圓周角所對(duì)的弧是同一條，它們之間也應(yīng)該有內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)觀察、測(cè)量發(fā)現(xiàn)圓心角是圓周角的2倍，進(jìn)而得出猜想2，即同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半.

在學(xué)生得出猜想后教師提示：上述猜想過(guò)程運(yùn)用的思想方法是，一類(lèi)事物有相同的背景，那么它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系.這是指引我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想的一個(gè)基本思想方法.

活動(dòng)4：猜想的證明.

問(wèn)題4：前面我們獲得了2個(gè)猜想.你認(rèn)為應(yīng)該先證明哪個(gè)猜想？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)猜想的邏輯關(guān)系，明確：只要證明了猜想2，那么猜想1就是一個(gè)推論.

追問(wèn)1：我們已經(jīng)知道，圓周角與圓心的位置關(guān)系分為3類(lèi).相應(yīng)地，同弧上的圓周角與圓心角的位置關(guān)系可以分為幾類(lèi)？你能由此想到證明方法嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】先引導(dǎo)學(xué)生由圓周角與圓心的位置關(guān)系得出同弧上的圓周角與圓心角的位置關(guān)系可以分為3類(lèi)；再?gòu)?類(lèi)圖形中看出，可以從圓心在角的一邊上這一特殊位置開(kāi)始，再把其他情況化歸為這種情況.

在學(xué)生給出證明后，再進(jìn)行如下追問(wèn).

追問(wèn)2：在證明圓心在圓周角內(nèi)、外兩種情況時(shí)，共同的思想方法是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】歸納兩個(gè)證明過(guò)程的共同點(diǎn)，它們都是把圓周角的頂點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，其中的關(guān)鍵是利用確定圓的要素.

活動(dòng)5：推論的研究.

問(wèn)題5：在研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象或問(wèn)題時(shí)，特例往往具有特殊的意義.請(qǐng)同學(xué)們?cè)僖淮斡^察這個(gè)圖形（如圖11），除了圓周角等于圓心角的一半外，你還能看出一點(diǎn)什么嗎？

圖11

提示：對(duì)于一個(gè)幾何圖形，圍繞它的組成要素、相關(guān)要素畫(huà)一畫(huà)、連一連，就可能有一些新發(fā)現(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特殊圖形進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，通過(guò)添加輔助線(xiàn)得出圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角.

課堂小結(jié)：

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

（2）研究圓周角的路徑是什么？

（3）圓周角的性質(zhì)所研究的問(wèn)題是什么？

（4）圓周角定理是如何發(fā)現(xiàn)的？其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么？證明方法是如何想到的？

（5）得到推論的過(guò)程中蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)思想方法？

一點(diǎn)感想：圓周角是大家非常感興趣的內(nèi)容，圍繞它的教學(xué)故事被一說(shuō)再說(shuō)，但這些故事復(fù)述的居多，沒(méi)有太多新意，對(duì)于“如何使圓周角定理的分類(lèi)證明來(lái)得更自然些”這樣的問(wèn)題，始終沒(méi)有什么好方法.

如何才能在圓周角的教學(xué)中推陳出新？上述教學(xué)設(shè)計(jì)有如下幾個(gè)著眼點(diǎn).第一，注重?cái)?shù)學(xué)的整體性、思維的系統(tǒng)性，把圓周角放在與圓相關(guān)的角的系統(tǒng)中；第二，以確定一類(lèi)幾何圖形的要素為基準(zhǔn)，體現(xiàn)概念的奠基作用，以要素為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，從定義出發(fā)研究性質(zhì)；第三，把分類(lèi)放在概念教學(xué)中，不僅體現(xiàn)概念生成的邏輯性，而且可以有效化解難點(diǎn)——如何讓學(xué)生想到分類(lèi)證明；第四，猜想的獲得，“背景相同的事物一定有內(nèi)在聯(lián)系”“特例有特殊的重要性”等是指路明燈，是一般觀念指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)；第五，性質(zhì)的分類(lèi)證明，因?yàn)閳A周角概念中已經(jīng)表明它與圓心有3類(lèi)位置關(guān)系，所以證明也要分類(lèi)，這是自然的；等等.

5.加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的研究

本次活動(dòng)展示的優(yōu)秀課中，課堂互動(dòng)和課堂討論的質(zhì)量還有待提高，其背后的原因是教師缺乏對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的研究，對(duì)課堂提問(wèn)和課堂討論的相關(guān)理論知識(shí)了解不夠，有效組織學(xué)生自主、合作學(xué)習(xí)的方法和指導(dǎo)的能力有待提高.

要改變學(xué)習(xí)方式單一的現(xiàn)狀，注意調(diào)動(dòng)各種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)學(xué)生自己的觀察、操作、實(shí)驗(yàn)，獲得抽象數(shù)學(xué)概念、原理所需要的現(xiàn)實(shí)材料，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展歸納、類(lèi)比、抽象、概括活動(dòng)而抽取共性獲得概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律獲得原理、性質(zhì)，獲得解決問(wèn)題的方法的啟發(fā).要加強(qiáng)體驗(yàn)式學(xué)習(xí)方式的使用，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念、原理抽象概括的直接體驗(yàn)，不僅有數(shù)學(xué)對(duì)象的要素、概念內(nèi)涵的歸納，法則、性質(zhì)、公式等的歸納和發(fā)現(xiàn)，而且有“如何研究”“如何發(fā)現(xiàn)”的方法論感悟.使數(shù)學(xué)知識(shí)成為學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，為理解數(shù)學(xué)知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)應(yīng)用知識(shí)的背景條件形成完整的認(rèn)識(shí).

要使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生自己可以掌控的過(guò)程.教之道在于度，學(xué)之道在于悟.“悟”是需要時(shí)間的，教師要學(xué)會(huì)等待，不要急于“自答”.

要注重發(fā)揮非認(rèn)知因素的作用，激發(fā)學(xué)生的興趣、好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生以一種積極的態(tài)度投入探究活動(dòng).積極的情感體驗(yàn)是激發(fā)靈感的強(qiáng)大動(dòng)力，可以促使學(xué)生創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生.

教師要有正確的學(xué)生觀.對(duì)未知事物的探索是學(xué)生的天性，需要教師倍加愛(ài)護(hù)，我們常常因自己對(duì)學(xué)生心理的無(wú)知，低估學(xué)生的創(chuàng)造力而無(wú)意間扼殺了這種天性.學(xué)生的創(chuàng)新思維需要教師的激發(fā)，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考是數(shù)學(xué)教育的意義所在.要激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，教師自己應(yīng)先學(xué)會(huì)思考，歸納、類(lèi)比、推廣、特殊化是基本的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新之道.以一般觀念為指導(dǎo)，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)思考，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)獨(dú)立概括概念、性質(zhì)、公式、法則的機(jī)會(huì)，這是教師的教學(xué)智慧所在.

6.情境設(shè)計(jì)能力需進(jìn)一步提高

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教學(xué)情境包含生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等.本次活動(dòng)中的展示課普遍存在著情境單一的現(xiàn)象，不適當(dāng)?shù)厥褂蒙钋榫场⒖茖W(xué)情境的現(xiàn)象也比較突出.存在的主要問(wèn)題有：引入環(huán)節(jié)刻意聯(lián)系實(shí)際，不夠自然——幾乎所有的課都“從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)”；刻意設(shè)計(jì)探究、討論等活動(dòng)環(huán)節(jié)等；情境設(shè)計(jì)不適切；等等.下面給出一些具體實(shí)例.

（1）平行線(xiàn)的性質(zhì)——貼標(biāo)簽式情境.

情境引入：播放慶祝建黨100周年閱兵式飛行視頻，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行線(xiàn)組，引出學(xué)習(xí)內(nèi)容.

師生活動(dòng)：讓學(xué)生感受祖國(guó)的偉大，并有感而發(fā)“此生不悔入華夏，來(lái)世還做中國(guó)人！”

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀看視頻，直觀感知并發(fā)現(xiàn)平行線(xiàn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情.

（2）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系——違背事實(shí)的情境.

觀看視頻并思考：我們把太陽(yáng)看作一個(gè)圓，把海平面看作一條直線(xiàn).太陽(yáng)升起的過(guò)程中，太陽(yáng)和海平面會(huì)有幾種位置關(guān)系？你能得出直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)同學(xué)們觀察并討論直線(xiàn)和圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況.

（3）含30°角的直角三角形的性質(zhì)——不知所云的情境.

等邊三角形“三線(xiàn)合一”，沿“三線(xiàn)”剪開(kāi)可以得到什么圖形？——含30°角的直角三角形；

兩塊含30°角的三角板進(jìn)行拼接，能拼成什么三角形？——又分為兩個(gè)直角三角形，其中的一個(gè)三角形有什么性質(zhì)？

（4）有理數(shù)的乘法——與學(xué)生認(rèn)知水平不適應(yīng)的情境.

在蓄水時(shí)，該水箱水位每天升高3個(gè)單位長(zhǎng)度，取標(biāo)準(zhǔn)水位作為0點(diǎn).

問(wèn)題1：在蓄水時(shí)，1天后水箱水位的變化量是多少？2天后呢？3天后呢？

問(wèn)題2：沒(méi)進(jìn)水時(shí)，水位的變化情況可以列成類(lèi)似的算式嗎？

問(wèn)題3：在排水時(shí)，1天前水箱水位的變化量是多少？2天前呢？3天前呢？

排水時(shí)，該水箱水位每天下降2個(gè)單位長(zhǎng)度，取標(biāo)準(zhǔn)水位作為0點(diǎn).

問(wèn)題1：在排水時(shí)，1天后水箱水位的變化量是多少？2天后呢？3天后呢？

問(wèn)題2：沒(méi)排水時(shí)，水位的變化量可以列成類(lèi)似的算式嗎？

問(wèn)題3：在排水時(shí)，1天前水箱水位的變化量是多少？2天前呢？3天前呢？你能把以上現(xiàn)象列成數(shù)學(xué)算式嗎？

（5）一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系——強(qiáng)加于人的情境.

已知一元二次方程2x2-1=3x的兩根分別為x1，x2，求出下列代數(shù)式的值：

這里都涉及x1+x2，x1x2，那么它們與一元二次方程以及系數(shù)之間是否存在某種特定的關(guān)系呢？這就是我們今天要研究的……

這里，如何提出問(wèn)題比較合理？筆者覺(jué)得，應(yīng)該從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯加強(qiáng)思考，在一般觀念引領(lǐng)下引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

由求根公式可知，只要給定一元二次方程的系數(shù)，那么它的根是唯一確定的.也就是說(shuō)，一元二次方程的根可以由它的系數(shù)唯一表示.在數(shù)學(xué)的研究中我們常常要研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：如果已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根為x1，x2，能否用x1，x2表示系數(shù)a，b，c呢？

如此創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，蘊(yùn)含著研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般思想：遇到A推導(dǎo)出B這樣的表述時(shí)，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都要追問(wèn)“能否由B推導(dǎo)出A”，這是一種數(shù)學(xué)的基本思維方式.“反過(guò)來(lái)還對(duì)嗎？”把這個(gè)問(wèn)題放在心里，使之成為學(xué)生的數(shù)學(xué)探索工具之一，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力非常重要.

反過(guò)來(lái)的表述是否正確并不重要，重要的是，這樣的訓(xùn)練能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

（6）圓的切線(xiàn)——貼標(biāo)簽+違背事實(shí)的情境.

師：（觀看新聞）同學(xué)們！我們?yōu)槲覀兪呛教齑髧?guó)感到驕傲，現(xiàn)在有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖12，要讓衛(wèi)星信號(hào)完整地覆蓋地球赤道一周至少需要幾顆同步衛(wèi)星呢？

圖12

生：一顆、兩顆……

預(yù)設(shè)：可能有學(xué)生回答三顆.

師：（追問(wèn)）你知道這是為什么嗎？

生：根據(jù)直線(xiàn)與圓相切……

師：好！讓我們帶著這個(gè)問(wèn)題開(kāi)始今天的探究之旅！（板書(shū)課題：圓的切線(xiàn).）

（7）二元一次方程與一次函數(shù)——寬泛、目的不明的情境.

問(wèn)題1：前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程及一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，請(qǐng)大家回憶一下，對(duì)于二元一次方程主要研究了哪些內(nèi)容呢？對(duì)于一次函數(shù)我們又主要研究了哪些問(wèn)題呢？

可以改為：

問(wèn)題1：觀察二元一次方程x+y=5與一次函數(shù)y=5-x，你有什么發(fā)現(xiàn)？

容易發(fā)現(xiàn)，它們可以相互轉(zhuǎn)化.

追問(wèn)1：（1）對(duì)于二元一次方程，我們主要研究什么？——方程的解；

（2）對(duì)于一次函數(shù)，我們研究了什么？——圖象和性質(zhì).

追問(wèn)2：由此你能想到什么？——二元一次方程的解與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可能有聯(lián)系.

數(shù)學(xué)教學(xué)情境應(yīng)當(dāng)具有豐富性，不僅僅是現(xiàn)實(shí)生活情境，還可以是數(shù)學(xué)情境，也可以是科學(xué)情境，要看教學(xué)內(nèi)容的需要.一般而言，在數(shù)學(xué)對(duì)象引入階段，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，因?yàn)槌踔须A段的數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)、幾何圖形、統(tǒng)計(jì)、概率等都有明確的現(xiàn)實(shí)背景.數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中的內(nèi)容，要加強(qiáng)從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問(wèn)題的思考，多用特殊化、類(lèi)比、推廣等策略.例如，等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、正方形的引入，各種代數(shù)公式的引入等就不要用現(xiàn)實(shí)背景，如果用現(xiàn)實(shí)背景反而會(huì)破壞從一般到特殊的邏輯鏈條.

7.教師的問(wèn)題設(shè)計(jì)能力需要進(jìn)一步提高

課堂是學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的主陣地.為了有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，我們必須變革教與學(xué)的方式，大力實(shí)施基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立思考、自主探究、合作交流的時(shí)空，努力提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，使他們?cè)讷@得“四基”、提高“四能”的過(guò)程中，逐步形成理性思維、科學(xué)精神，促進(jìn)其智力發(fā)展，達(dá)成“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的目標(biāo).顯然，教師是課堂教學(xué)變革的“關(guān)鍵少數(shù)”，而“基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)”的關(guān)鍵又在于教師的提問(wèn)能力.課堂觀察發(fā)現(xiàn)，教師不會(huì)提問(wèn)是普遍現(xiàn)象.因此，當(dāng)務(wù)之急是大力開(kāi)展“如何學(xué)會(huì)提問(wèn)”的研究.

下面我們看本次活動(dòng)中的一個(gè)例子：“三角形的中位線(xiàn)”的引入.

想一想：如圖13，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是線(xiàn)段AC和線(xiàn)段BC的中點(diǎn).

圖13

（1）若AB=10，則DE= _______；

（2）線(xiàn)段DE和線(xiàn)段AB有什么關(guān)系？

追問(wèn)：如圖14，當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到直線(xiàn)AB的外面，構(gòu)造△ABC，點(diǎn)D和點(diǎn)E仍然分別是線(xiàn)段AC和線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，線(xiàn)段DE和邊AB有什么關(guān)系？

圖14

問(wèn)題分析：如此提問(wèn)，貌似巧妙，但這是孤立地創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題，是在“玩花樣”.

這個(gè)“情境+問(wèn)題”有兩點(diǎn)值得商榷：一是出發(fā)點(diǎn)不是“前面我們學(xué)了什么，下面我們學(xué)習(xí)什么”；二是缺乏發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的自然性.由此導(dǎo)致的問(wèn)題是：學(xué)生不知道“老師是怎么想到的”，該用哪些知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

一種改法：

前面學(xué)習(xí)了平行四邊形，我們利用平行線(xiàn)、三角形的相關(guān)知識(shí)得出了平行四邊形的性質(zhì)、判定等.反過(guò)來(lái)，能不能利用平行四邊形的知識(shí)推出一些新的三角形性質(zhì)呢？

如圖15，我們將?ABCD看成△ABC和△ADC拼接而成.這時(shí)，AC是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn).在研究圖形的性質(zhì)時(shí)，我們可以讓某些元素運(yùn)動(dòng)起來(lái)，看運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)什么規(guī)律.例如，讓對(duì)角線(xiàn)BD繞中心O旋轉(zhuǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖15

繞到與平行四邊形的邊平行的位置就出現(xiàn)三角形的中位線(xiàn)，其中還蘊(yùn)含了作輔助線(xiàn)的方法.

以下是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教材編寫(xiě)、教學(xué)研究中，根據(jù)獲得“四基”、提高“四能”、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及提升創(chuàng)新意識(shí)的時(shí)代要求，所提出的衡量情境與問(wèn)題質(zhì)量的八個(gè)指標(biāo)，供初中教師參考.

（1）目的明確.圍繞當(dāng)前的教學(xué)任務(wù)，能將學(xué)生的注意力吸引到教學(xué)任務(wù)上來(lái).

（2）反映本質(zhì).情境中蘊(yùn)含著新知識(shí)的要素，反映所學(xué)新知識(shí)的本質(zhì)，能引導(dǎo)學(xué)生從情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，能有效促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的方法.

（3）系統(tǒng)連貫.以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程為基本線(xiàn)索，形成一個(gè)循序漸進(jìn)、具有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的“情境與問(wèn)題鏈”.其中，第一個(gè)問(wèn)題要有統(tǒng)攝性、貫通性，起到先行組織者的作用，隨后的一系列問(wèn)題要能引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步走向所學(xué)知識(shí)的本質(zhì).

（4）自然而然.從知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程和相互聯(lián)系中提出問(wèn)題，使問(wèn)題具有邏輯的必然性.

（5）難易適度.與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的思維形成適度的挑戰(zhàn)性，為學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立思考空間，滿(mǎn)足“導(dǎo)而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)”的要求，讓學(xué)生自己“捅破窗戶(hù)紙”.

（6）簡(jiǎn)明易懂.問(wèn)題清晰、明確且有啟發(fā)性，語(yǔ)言準(zhǔn)確、無(wú)歧義且有條理性，學(xué)生不會(huì)因?yàn)榍榫撑c問(wèn)題的字面意思難懂而產(chǎn)生理解困難.

（7）恰時(shí)恰點(diǎn).與學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程相協(xié)調(diào)，準(zhǔn)確把握提問(wèn)的時(shí)機(jī)，“想學(xué)生所想，問(wèn)學(xué)生所問(wèn)”.

（8）啟迪創(chuàng)新.“看過(guò)問(wèn)題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問(wèn)”，使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)自主提問(wèn).

8.提升課堂小結(jié)的思想性、思維層次

課堂小結(jié)是教學(xué)過(guò)程中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，應(yīng)該有一定的結(jié)構(gòu)性，既不是知識(shí)點(diǎn)的羅列，又不是像“師：今天我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法呀？生：我們學(xué)了數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想.”的形式化數(shù)學(xué)思想方法總結(jié).因?yàn)槊撾x內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法是沒(méi)有力量的，像“今天我們發(fā)展了哪些核心素養(yǎng)？”的小結(jié)提問(wèn)就更是可以用離譜來(lái)形容.

一般而言，一堂課的小結(jié)應(yīng)該聚焦在“四基”“四能”的梳理上.例如，前面“圓周角”教學(xué)設(shè)計(jì)的小結(jié)中，就是按照研究?jī)?nèi)容、研究過(guò)程、思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以及發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的方法等給出的，其中包含“圓周角定理是如何發(fā)現(xiàn)的？其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么？證明方法是如何想到的？”“得到推論的過(guò)程中蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想方法？”這樣的反思性問(wèn)題.另外，如果學(xué)生的認(rèn)知水平比較高，還可以提出一些更加深刻的批判性問(wèn)題.例如，為什么要對(duì)圓周角與圓心的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)？圓周角定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程與推理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程一樣嗎？（實(shí)際上，圓周角定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程采用了從具體到抽象的歸納方法，而推論是直接從圓周角定理出發(fā)通過(guò)演繹推理得出的，所以思維方法是不一樣的.）

9.加強(qiáng)對(duì)過(guò)程性評(píng)價(jià)、形成性評(píng)價(jià)研究

總體上看，教師對(duì)課堂教學(xué)中的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)、反饋等缺乏必要的研究與設(shè)計(jì)，主要表現(xiàn)在以下幾方面.

（1）有的教師對(duì)學(xué)生回答問(wèn)題的反饋指導(dǎo)性和針對(duì)性不強(qiáng)，沒(méi)能及時(shí)指出學(xué)生回答中存在的問(wèn)題；

（2）缺乏教學(xué)機(jī)制，不能及時(shí)處理“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系，對(duì)學(xué)生的課上生成不能合理回應(yīng)；

（3）過(guò)程性評(píng)價(jià)的語(yǔ)言比較貧乏；

（4）作業(yè)比較單一，作業(yè)的內(nèi)容和形式都缺乏創(chuàng)新性、靈活性，離“提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，精心設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)，適當(dāng)增加探究性、實(shí)踐性、綜合性作業(yè)”的要求還有很大差距.

例“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”中教師的課堂評(píng)價(jià)用語(yǔ).

生1：列表中可以舍去……

師：哦，你觀察得非常仔細(xì)，非常好.

生2：因?yàn)榉质街衳不能等于0，所以圖象……

師：哦，說(shuō)得非常好，請(qǐng)坐，這位同學(xué)對(duì)表達(dá)式理解得很到位.

生3：只有半支，函數(shù)圖象應(yīng)該在第一、三象限.

師：哦，你觀察事情很全面.

生4：我覺(jué)得列表好，圖象不能有兩個(gè)端點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)中x可以向兩邊無(wú)限取值，所以圖象可以向兩邊無(wú)限延伸.

師：你說(shuō)得非常好！

師：得到了圖象，請(qǐng)同學(xué)們小組合作，觀察圖象，有什么性質(zhì)？……哦，謝謝你們的分享；哦，說(shuō)得非常好；……其他小組還有不一樣的發(fā)現(xiàn)嗎？哦，發(fā)現(xiàn)得更深入；哦，也是發(fā)現(xiàn)了k＞0的性質(zhì)；哦，他們從代數(shù)式的角度發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，非常好！

師：下節(jié)課我們學(xué)習(xí)什么？

生：從三個(gè)函數(shù)圖象去推導(dǎo)出k＜0時(shí)的函數(shù)性質(zhì)……

師：哦，說(shuō)得非常好！同學(xué)們，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)在k＞0時(shí)的函數(shù)性質(zhì)，下節(jié)課我們學(xué)習(xí)k＜0時(shí)的性質(zhì)（為什么不說(shuō)：“你能類(lèi)比k＞0時(shí)的函數(shù)性質(zhì)，自主探究得出k＜0時(shí)的性質(zhì)嗎？”）

我們看到，教師對(duì)學(xué)生答問(wèn)的評(píng)價(jià)用語(yǔ)非常枯燥，都是“非常好”“很全面”之類(lèi)的，沒(méi)有在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，通過(guò)點(diǎn)評(píng)幫助學(xué)生進(jìn)一步明確相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想、解決問(wèn)題的方法等.

六、結(jié)束語(yǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）剛剛頒布.我們知道，這一輪課程改革以落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)為宗旨，以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為抓手，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是聯(lián)系核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程教學(xué)的橋梁.進(jìn)一步地，一般觀念引領(lǐng)的“四基”“四能”教學(xué)就是日常教學(xué)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的抓手.核心素養(yǎng)立意的課堂教學(xué)要遵循一些基本原則.概括起來(lái)，可以歸結(jié)為如下幾點(diǎn).

第一，以研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路為主線(xiàn)建構(gòu)每一單元內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性.

第二，加強(qiáng)一般觀念的指導(dǎo)，提升教學(xué)的思想性，發(fā)展學(xué)生的理性思維.

第三，以數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式（如通過(guò)幾何圖形的組成元素及其形狀和位置關(guān)系定義幾何圖形）、數(shù)學(xué)概念的獲得方式（概念形成、概念同化及其融合）為指導(dǎo)，以適當(dāng)?shù)乃夭臑檩d體創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)基本概念的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生在完成一類(lèi)事物組成要素、本質(zhì)特征的歸納與概括的過(guò)程中深刻理解概念，發(fā)展抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)等.

第四，在把握代數(shù)性質(zhì)、幾何性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)等的表現(xiàn)方式，明確“數(shù)學(xué)性質(zhì)”所要研究的問(wèn)題是什么的基礎(chǔ)上，有的放矢地設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，使學(xué)生富有成效地發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、提出猜想并進(jìn)行推理論證，在獲得“四基”、提高“四能”的過(guò)程中，發(fā)展運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力.

第五，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)、外問(wèn)題的過(guò)程中，逐步使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式，形成運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的意識(shí)，能夠感悟數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值，有意識(shí)地使用真實(shí)數(shù)據(jù)表達(dá)、解釋與分析現(xiàn)實(shí)世界中的不確定現(xiàn)象.逐步形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔與優(yōu)美的欣賞力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流的習(xí)慣，形成跨學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力.

在《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》頒布之前，我們舉辦本次活動(dòng)，對(duì)于推動(dòng)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程改革有著特別的意義，讓我們?yōu)閷?shí)現(xiàn)課程改革的愿景一起努力！