提升小波和分水嶺算法在礦石粒度檢測中的應用

張建立，馮小雨，張建強

（1.鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001；2.鄭州市市政工程勘測設計研究院，河南 鄭州 450000 ）

1 引言

提升小波是一種新的時頻域分析方法[3]，它廣泛的應用于圖像處理的去噪、圖像邊緣檢測、特征提取等方面。相較于傅立葉變換和小波變換，提升小波變換有以下優點：（1）構造簡單靈活，可以從一些簡單的小波函數構造得到；（2）它更加適合于圖像這種離散數據的處理；（3）算法簡單，運算速度快，占用內存小[4]。

首先利用三次B樣條函數來構造提升小波，再對礦石圖像使用構造的提升小波，對得到四個子圖分別進行中值濾波，再進行小波重構，最后使用改進的分水嶺算法，得到礦石圖像的分割圖。

2 基于提升小波的礦石圖像去噪

2.1 提升小波的原理

提升小波算法有三個步驟組成：分裂、預測和更新。

分裂：將原信號Sn等分成兩個子集，每個子集是原信號的一半，同時兩個子集相互正交。對于這里礦石圖像，將其分裂為奇數序列on-1和偶數序列en-1，及Sn=on-1+en-1。

據悉，α9Gen 2影像處理器是LG去年推出的α9處理器的升級版，α9處理器曾亮相于CES 2018，并被應用于LG的高端子品牌“璽印”W8 OLED電視中。新一代α9Gen 2影像處理器在α9處理器的功能上再次進行了升級和優化，不但支持120幀的4K視頻播放，還有望完成4K 120FPS視頻的直接傳輸。

預測：由于奇數序列和偶數序列本身存在著相關性，可以用一個序列來預測另一個序列，一般用偶數序列en-1來預測奇數序列on-1，預測值P(en-1)與實際值on-1之間存在差值，差值的大小叫做小波系數dn-1［5］，它反映了二者之間的相似程度，對于礦石圖像，它還可以表示圖像的高頻信息。奇數序列與偶數序列的相關性越強，則圖像的高頻信息dn-1越小［6］。預測過程為：dn-1=on-1-P(en-1)。

更新：經過分裂得到的子集，可能導致原信號的某些特性（如均值）發生改變，為了保證這些信號的基本特征不變，需要一個更新過程。用算子U來代替，同時它是自變量為dn-1的函數，用U(dn-1)表示，通過更新算子U(dn-1)可以求得原信號Sn的低頻信號Sn-1，其過程為：Sn-1=en-1+U(dn-1)。

提升小波的重構也可分為三個步驟：反更新、反預測和合并，分別對應提升小波變換的三個步驟［7］，它是提升小波的逆變換。

反更新：利用低頻信號Sn-1和更新算子U(dn-1)以及高頻信號dn-1，可以得到原信號的偶數序列en-1，過程為：en-1=Sn-1-U(dn-1)。

反預測：利用高頻信號dn-1和預測函數P(en-1)以及反更新得到的偶數序列en-1，可以求得奇數序列on-1，其及過程為：on-1=dn-1+P(en-1)。

合并：把上兩步得到的偶數序列en-1和奇數序列on-1合并起來，就可得到提升小波變換的重構圖S′n，其過程為：S′n=Merge(en-1，on-1)。

由于礦石圖像是二維的信號，不同于一維信號，它要進行兩次提升小波變換［8］。具體步驟：先對圖像按行分裂成兩個子集，對得到的兩個子集進行提升小波變換，得到一個低頻圖和一個高頻圖。再對得到的低頻圖和高頻圖按列分裂，分別得到兩個子集，再進行提升小波變換，最后得到四個子圖，分別為低頻-低頻圖、低頻-高頻圖、高頻-低頻圖和高頻-高頻圖。

2.2 小波函數的選擇

提升小波變換中，需要確定的函數有預測函數P和更新算子U，由于預測函數P 和更新算子U 本身存在著關聯，為了簡化計算，把這兩個函數取成相同的函數。通過查閱大量資料，發現樣條函數構造簡單、使用方面，擬合準確，能夠避免擬合中產生極值點，并能對圖像進行平滑的擬合。因此，這里選取三次B樣條函數作為提升小波的預測算子。

三次B樣條函數表達式如式（1）：

式中：Pi—給定的點；

Gi，3(t)—三次B樣條函數的基函數，（i=0，1，2，3）。

基函數的具體表達式，如式（2）：

由三次B樣條函數的端點性質可以近似把擬合過程看作相鄰三個點不同權重的疊加，即可得其對應的預測函數P和更新算子U分別如式（3）、式（4）所示。

式中：i，j—圖像像素點所在的行坐標和列坐標；

en-1—圖像的偶數序列；

dn-1—圖像的高頻信息。

所以經過提升小波變換，圖像的低頻信息Sn-1和高頻信息dn-1分別如式（5）、式（6）：

3 分水嶺算法

分水嶺算法是一種常用的圖像分割方法。它最先應用于測地學的地形分割，隨著分水嶺應用的不斷擴大，最后應用到圖像的處理。它把圖像看作是拓撲地貌，圖像中各點的像素值表示該點的海拔高度。分水嶺的形成可以用模擬的浸入過程來說明，在每一個局部極小值表面，刺穿一個小孔，然后通過這個孔，慢慢向模型里注水，隨著水平面的加深，每一個局部極小值的影響域慢慢向外擴展，在相鄰的兩個集水盆匯合處構筑大壩，即形成分水嶺［9］。

直接對礦石圖像運用分水嶺算法分割圖像會產生過度分割的現象［10］。對提升小波重構后的圖像應用改進的分水嶺算法進行圖像的分割。具體思路是：對經過提升小波重構的圖像先進行形態學運算，消除礦石圖像存在的孔洞部分，同時分離出礦石圖像的前景和背景，在標記出前景和背景的基礎上，使用分水嶺算法。

4 實驗處理及結果分析

圖像處理部分是在MATLAB軟件上運行得到的。圖像處理流程圖，如圖1所示。

為了減少礦石圖像的運算量，首先對原圖，如圖2所示。進行灰度變換[11]，得到的灰度圖像，如圖3所示。

圖2 原始圖像 Fig.2 The Original Image

圖3 灰度圖像Fig.3 Grayscale Image

在灰度圖像的基礎上，用三次B樣條函數作為預測函數和更新算子，進行提升小波變換，得到的四個子圖分別是高頻-高頻圖，如圖4所示。高頻-低頻圖，如圖5所示。低頻-高頻圖，如圖6所示。低頻-低頻圖，如圖7所示。

圖4 高頻-高頻圖 Fig.4 High Frequency-High Frequency Image

圖5 高頻-低頻圖Fig.5 High Frequency-Low Frequency Image

圖6 低頻-高頻圖 Fig.6 Low Frequency-High Frequency Image

圖7 低頻-低頻圖Fig.7 Low Frequency-Low Frequency Image

對四個子圖分別進行中值濾波，濾除礦石圖像的噪聲，再進行提升小波的重構，得到的重構圖[12]，如圖8所示。然后，對重構圖進行相應的形態學運算，標記出礦石圖像的背景和前景，再使用分水嶺運算，得到分水嶺脊線圖，如圖9所示。

圖8 重構圖Fig.8 Reconstruction Image

圖9 分水嶺脊線圖Fig.9 Watershed Ridge Diagram

分割結果，如圖10所示。

圖10 這里分割結果Fig.10 Segmentation Results

對比直接利用分水嶺算法的分割結果，如圖11所示。未能把所有礦石都分割開，有大量礦石產生了欠分割。所用方法的結果實現了把每個礦石分割開來，分割結果更好。

圖1 礦石圖像處理流程圖Fig.1 Ore Image Processing Flow Chart

圖11 直接利用分水嶺算法的分割結果Fig.11 Direct Use of the Watershed Algorithm for Segmentation Results

5 礦石顆粒的標定方法及實驗驗證

5.1 礦石顆粒的標定方法

在分水嶺脊線圖的基礎上，對圖像進行連通域運算[13]，獲得連通域的個數（礦石個數）和連通域的面積（礦石的水平投影面積），再把圖像中的像素個數轉化為實際的礦石面積，把礦石的水平投影等價于圓形，通過圓的面積公式：S=π·r2，可以求得近似的礦石粒度r。根據在新鄉某公司的實驗驗證，CCD工業相機在高度、焦距及分辨率固定時，10mm 的礦石顆粒的平均像素個數為959，20mm的礦石顆粒的平均像素個數為2927。即圖像連通域的面積在（959～2927）之間，可以認為礦石粒度大小在（10～20）mm 之間。同理依次可以得出其他像素面積區間所對應的礦石粒度。

5.2 實驗驗證

為了檢測這里算法的可行性，在新鄉某公司做相關實驗，首先搭建的圖像采集平臺，如圖12所示。獲得實時的礦石圖像，應用這里算法對礦石圖像進行粒度檢測，同時用如圖13所示的篩分篩進行人工篩分實驗，把不同大小的礦石粒度區分開來。通過對比本文算法分割礦石的結果和實際人工篩選的結果，可驗證該方法的準確度。首先將礦石粒度人為的劃分為r≤10、10 ＜r≤20、20 ＜r≤25、25＜r≤30、30 ＜r≤35、35＜r≤40、40 ＜r≤50、r＞50共8個區間（r為礦石粒度的粒徑，單位為mm）。

圖12 圖像采集平臺Fig.12 Image Acquisition Platform

圖13 篩分篩Fig.13 Screen Sieve

累積誤差的計算方式，如式（7）所示。

這里算法得到的粒級數據與人工篩分得到的數據對比，如表1所示。

表1 礦石顆粒粒度分布統計表Tab.1 Ore Particle Size Distribution Data Sheet

根據表1的數據，各個區間的累積誤差在3%以內，累積誤差顯現的規律是先增大后減小，再突然驟增，其中35 ＜r≤40區間的誤差最小，說明前面區間的正負誤差已基本抵消，40 ＜r≤50區間累積誤差驟增，說明可能由于礦石的粘連，這里算法未能有效的進行分割，使得檢測到的礦石粒度增大，這也是今后需要改進的方向。綜合說明這里的算法能夠較準確的檢測礦石粒度的分布。

6 結語

（1）由于礦石顆粒存在大量無規律的噪聲，在進行圖像分割時，首先要濾除這些噪聲。提出了一種用三次B樣條構造的提升小波變換，首先用三次B樣條來構造預測函數P和更新算子U，對圖像進行提升小波變換，結果顯示使用基于三次B樣條函數的提升小波變換，不僅能去除礦石圖像的噪聲，還能極大限度的保存原有的礦石圖像邊界信息。再使用改進的分水嶺算法，成功的實現了礦石圖像的分割，最后利用圖像的連通域，對礦石粒度進行標定。

（2）對比這里算法結果與人工篩分結果，每個粒度區間的誤差都在3%以內，說明這里算法在實際的礦石粒度檢測中的可行性。